벡터 삼중곱 전개(선택사항)

이번 시간에 배워볼 것은 삼중곱의 전개 또는 라그랑즈 공식입니다 그래서 만약 a, b, c의 삼중곱을 취한다면 그것은 단지 벡터 3개의 내적를 간단히한 것입니다 여기서 이것을 내적의 합과 차를 이용해서 표현하고자 합니다 사실 그냥 내적은 아니고 내적된 값으로 다른 벡터에 상수배를 취한 것입니다 무슨 말인지 이해하게 될 거에요 하지만 이것은 식을 보기 좋게 간단히시키지요 왜냐하면 외적은 건드리기 어렵거든요 계산이 상당히 까다로울 뿐더러 아주 혼란스럽습니다 벡터를 다루게 되면 이것을 꼭 알아야 할 필요는 없지만 알면 유용합니다 이 동영상을 진행하게 된 동기는 인도 공과 대학의 입시 문제를 보면서 생겼어요 그 문제는 라그랑즈 공식 또는 삼중곱 전개에 대한 문제였습니다 그러면 이걸 어떻게 간단히 할지 보시죠 그렇다면 b와 c의 외적을 취해 봅시다 여기서 벡터 a가 있다고 가정합시다 a는 a의 x성분을 단위벡터 i와 곱한 것과 a의 y성분을 단위벡터 j와 곱한 것과 a의 z성분을 단위벡터 k와 곱한 것을 다 더한 것입니다 a의 z성분을 단위벡터 k와 곱한 것을 다 더한 것입니다 b와 c에 대해서도 동일하게 할 수 있습니다 따라서 만약 b의 y를 언급한다면 b벡터 j성분의 크기에 대한 것입니다 그러면 먼저 여기에 외적을 한 번 해보죠 제가 외적하는 걸 봤다면 판별식을 좋아하는 것을 알겁니다 여기에 한 번 그걸 써보죠 b x c 는 판별식이 될 거예요 그리고 이 위에다 i, j ,k를 놓을게요 이건 사실상 외적의 정의라서 왜 이게 참인지 보여줄 필요가 없어요 3 x 3 판별식을 어떻게 취하는지 기억한다면 이건 그저 외적을 외우기 위한 한 방법이예요 그리고 b의 x성분, y성분 z성분을 넣겠습니다 c에 대해서도 동일하게 할거예요 c의 x성분, y성분, z성분 그리고 이것은 다음과 같이 됩니다 먼저 i성분을 가지고 i성분에 b배를 하게 될 것입니다 따라서 첫 행과 첫 열을 건너뜁니다 그러면 bycz - bzcy가 되요 첫 행과 열을 건너뛰고 남은 2 x 2 행렬만 보도록 합니다 여기에서 bzcy를 빼주고요 그리고 j성분을 뺍니다 판별식을 취할 때 기호를 번갈아 쓴다는 것을 기억하세요 저것을 빼요 그리고 저 열과 행을 꺼내오죠 그래서 이것은 bxcz가 되요 좀 단조롭죠? 그래도 희망을 품으면 좋은 결과가 있을 것입니다 bxcz - bzcx bxcz - bzcx 그리고 마지막으로 k성분를 더해줘요 좋아요 bxcy - bycx 가 나올 것입니다 단지 내적을 했을 뿐이에요 미안해요, 외적을 했습니다 여러분을 혼란시키고 싶지 않아요 b와 c의 외적을 하였습니다 이제 저것을 a와 외적해야 하죠 또는 이것을 a와 외적해야 하죠 해봅시다 벡터를 다시 쓰는 것 대신에 다른 행렬을 여기에 세워보죠 i, j, k를 여기에 쓰고요 그리고 a의 성분을 쓸 거에요 그래서 a의 x성분, a의 y성분 a의 z성분이 있습니다 좀 정리해 볼까요? 이 문자는 무시합니다 이걸 검정색으로 하고 싶은데 말이죠 검정색으로 하죠 그러면 지울 수 있습니다 이제 이것은 -j 곱하기 저것이죠 이제 마이너스와 j를 없앨 것입니다 이제 마이너스와 j를 없앨 것입니다 하지만 이 기호를 바꿔 쓸 것입니다 이 기호를 바꿔쓰면 bzcx - bxcz가 될 거예요 나머지는 다 지우겠습니다 이렇게 음수를 취했고 곱했습니다 바라건데 여기서 무심결에 실수하지 않았으면 해요 확인해 봅시다 지우개 크기를 좀 더 크게 해야겠네요 더 잘 지워지게 말이죠 여기 이것도 없애겠습니다 지우개 크기를 다시 줄이겠습니다 좋아요 이제 외적을 취해보죠 다시 한번, 판별식을 세우겠습니다 여기서 집중할 것은 동영상의 대부분을 차지하고 오래 걸리기 때문에 i, j ,k 성분에서 이 외적의 i성분과 x성분을 보도록 합니다 그러면 j와 k에 대해서도 동일한 결과를 얻을 거라는 것을 알 수 있죠 그렇게 되면 바라건데 어떻게 간단히되는지 알 수 있습니다 그래서 여기 i성분을 보자면 이것은 i배가 될거예요 여기 2 x 2 행렬만 봅시다 i 행과 열을 무시해요 그러면 ay와 이것을 곱한 것이 나옵니다 해봅시다 그러면 ay × bxcy - ay × bycx 입니다 그러면 ay × bxcy - ay × bycx 입니다 다음은 뺄셈을 해 봅시다 - az와 이 식을 곱한 값이 나옵니다 봅시다 -azbzcx가 되요 -azbzcx가 되요 그리고 -az와 이 식을 곱한 값이 나와요 그래서 +azbxcz가 됩니다 자 지금부터 원하는 결과가 나오도록 하는 이 증명을 위한 얕은 속임수를 보여주겠습니다 정확하게 같은 것을 더하고 뺄거에요 axbxcx를 더합니다 axbxcx를 더합니다 그리고 axbxcx를 뺍니다 그리고 axbxcx를 뺍니다 명백히 이 식을 건드리지 않았습니다 단지 똑같은 식을 더하고 뺐을 뿐이죠 이제 간단히할게 있는지 봅시다 기억하세요 이것은 삼중곱의 x성분입니다 기억하세요 이것은 삼중곱의 x성분입니다 단지 x성분입니다 하지만 간단히하기 위해 인수를 뽑아봅시다 bx를 뽑아봅시다 우선 bx를 봅시다 bx를 뽑았다면 bx를 가지고 있는 이 항을 뽑아낼 것이에요 이 항도 뽑아내고 그리고 나서 이 항도 뽑아낼 것입니다 bx를 가져오면 aycy가 나옵니다 bx를 가져오면 aycy가 나옵니다 이번엔 조금 다르게 써볼게요 이 인수를 먼저 뽑아볼게요 그러면 axcx가 나옵니다 그러면 axcx가 나옵니다 이 항은 끝났습니다 이제 이 항을 봅시다 bx를 뽑는다면 aycy가 나옵니다 이 항도 끝났습니다 하나가 남았네요 bx를 뽑아올 거에요 그러면 azcz가 남지요 자, 이렇게 됩니다 인수를 이용하여 처리했습니다 지금부터, 여기 이 식에서 -cz를 뽑아 봅시다 -cz를 뽑아 봅시다 이 항에서 이 인수를 뽑으면 axbx가 나옵니다 그래서 axbx가 되고 이 항은 끝입니다 여기서 이제 ayby를 가지게 되죠 -cx를 뽑고 있습니다 그래서 +ayby를 가지게 되요 마지막으로 azbz를 가지게 되죠 마지막으로 azbz를 가지게 되죠 그러면 이게 뭐죠? 물론 여기에 있는 녹색은 a와 c의 내적과 완전히 똑같아요 a와 c의 내적이죠 벡터 a와 벡터 c의 내적입니다 그래서 a · c × bx - 같은 방식으로 진행합니다 이것은 a와 b의 내적이죠 - a · b × cx 잊지 마세요, 이 식 모두는 단위벡터 i가 곱해져 있습니다 삼중적 전체에서 x성분 혹은 i성분을 봅시다 그래서 저것은 이것의 모든 것이 되요 이 식 모두는 단위벡터 i가 곱해져있죠 만약 정확하게 같은 방식으로 진행된다면 계산하기 복잡하기 때문에 하지 않을 것입니다 하지만 여러분에게 믿음을 주지 못할 것 같네요 이것은 x성분에 대한 식입니다 y성분과 j성분에 대해 같은 방식으로 진행한다면 j성분에 대해 같은 방식으로 한다면 동일한 패턴을 찾을 수 있어요 x에 대하여 bxcx를 가지고 j에 대하여 bycy를 가질 것입니다 이건 특정 성분에 관한게 아니에요 따라서 여기는 a · c 여기는 a · b가 됩니다 무엇이든 스스로 증명해도 됩니다 믿지 못하겠다면 말이죠 하지만 아까와 똑같은 방식으로 진행하였습니다 마지막으로, z성분 또는 k성분에 대해 여기에 괄호를 넣을게요 같은 방식으로 bz와 cz를 얻을 수 있어요 그러면 a · b가 나옵니다 또 a · c가 나오고요 그러면 이제 어떻게 되나요? 어떻게 간단히 할 수 있을까요? 여기 이 식을 전개할 수 있습니다 여기 이 모든 항으로부터 a · c 를 인수로 뽑을 수 있습니다 기억하세요 여기에 i가 곱해질 것이에요 너무 건너뛰지는 말죠 지금 뭘 하고 있는지 믿음을 주고 싶어요 다시 쓰지 않고 i를 여기에 전개한다면 이렇게 합시다 좀 지저분하겠지만 i를 이렇게 쓸 수 있습니다 x의 단위벡터를 분배하는 중입니다 단위벡터 i라고도 하죠 그러면 j에 대해서도 똑같이 해봅시다 j를 이렇게 놓을 수 있어요 또 이렇게 놓을 수 있죠 k에 대해서도 똑같이 할 수 있습니다 k를 이렇게 전개합니다 그러면 이 식은 무엇이 될까요? 자, 여기있는 이 부분은 (a · c) × 여기에 쓸게요 (bx × i + by × j + bz × k) 입니다 그리고 여기서 이 식을 빼겠습니다 a · b a · b와 정확히 똑같은 것을 곱한 식을 뺄 것입니다 눈치 챌거에요 이 식은 벡터 b입니다 이 식은 벡터 b입니다 이 식을 같은 방식으로 푼다면 벡터 c가 나오겠네요 여기에 써 보겠습니다 벡터 c가 나옵니다 이렇게 삼중곱을 간단히하였습니다 이렇게 삼중곱을 간단히하였습니다 여기까지 오는데 오랜 시간이 걸렸지만 이것이 간단히하는 과정입니다 간단해 보이지 않지만 계산하면 그렇게 됩니다 더 쉬워집니다 만약 a × (b × c) 가 있다면 이에 대한 한가지 방법은 이에 대한 한가지 방법은 괄호 안에 있는 첫 번째 벡터와 내적의 곱과 첫 번째 벡터와 두 번째 내적의 곱을 하는 것입니다 먼저 해야할 것은 첫 번째 벡터를 가져오는 거에요 벡터 b겠지요 여기에 다른 두 개 백터를 내적한 것을 곱하는 것이죠 a · c입니다 a · c입니다 여기서 두 번째 백터를 뺄거에요 a · b가 곱해진 채로 말이죠 끝났습니다 이것이 삼중곱 전개입니다 다시 한번 말하지만 이걸 굳이 알 필요는 없어요 여러분은 항상 그것을 곱할거에요 사실 손으로도 할 수 있어요 이것을 알 필요는 없지요 하지만 정말로 복잡한 벡터가 있거나 이 문제가 일종의 수학 대회 문제라면 때때로 이것은 내적으로 줄여나갈 때 굉장히 빠를 것 같아요 이건 알면 유용하게 쓰이지요. 바로 라그랑즈 공식 또는 삼중곱 전개가 말입니다