평면방정식의 법선벡터

이번 강의에서 보여주고 싶은 것은 면에 관한 방정식이 주어졌을 때 법선벡터를 구하는 방법입니다 일단 한 면에서부터 시작해보도록 하죠 이것이 면이라면 이것은 한정된 면이 아니라 모든 방향으로 계속해서 진행합니다 이것이 우리에게 주어진 면이라고 해봅시다 이것이 이 면에 대한 법선벡터라고 해봅시다 면에 대한 법선벡터가 맞죠 이것이 ai+bj+ck라는 식으로 표현된다고 합시다 면에 대한 법선벡터이므로+ 수직하겠죠 면 상에 존재하는 다른 벡터들과도 수직할 것입니다 면에 어떠한 점이 있다고 해봅시다 어떠한 점이요 이렇게 부를게요, (xp, p는 면, plane, 에서 따온 것입니다 아무튼 면 위의 점을 (xp, yp, zp) 이라고 하도록 하죠 원점을 정해본다면, 축이 여기에 있다고 해봅시다 좌표 축을 그려보면 이렇게 되겠네요 이것은 z-축입니다 이것이 y-축이라고 할게요 그렇다면 이것은 x-축이 되겠군요 이것이 이쪽 방향으로 뻗어나오는 x-축이라 하겠습니다 이 점을 가르키는 위치벡터도 그려보겠습니다 이렇게 그릴 수 있겠죠 면의 뒤쪽에 위치벡터가 존재할 것입니다 이 위치벡터는 xpi+ypj+zpk 로 표현하도록 하겠습니다 이 좌표를 가르키고 있죠 면 위의 이 좌표를요 다른 이름으로 불러보도록 하죠 위치벡터 p1이라고 부릅시다 이것은 면 상의 점이니까 p1= xpi+ypj+zpk 라고 두겠습니다 이제 면 상의 다른 점을 사용해봅시다 방금 이 점은 면 상의 특수한 점이라고 했죠 임의의 다른 점을 (x, y, z)라 해봅시다 (x, y, z)도 면 위에 존재합니다 이곳의 점을 (x, y, z)라 해볼게요 이 점 역시 같은 논리를 사용하여 다른 위치벡터로 표현될 수 있겠죠 이러한 위치벡터가 존재할 거에요 점선도 잊지 말고요 면의 아래쪽에서 뻗어나오는 이 벡터는 p1 대신, p라고 하겠습니다 이 벡터 역시 xi+yj+zk 로 표현할 수 있겠죠 자, 제가 방금 이렇게 점과 벡터를 정의한 이유는 면 위에 존재하는 어떠한 점과 역시 면 위에 존재하는 또 다른 점이 주어졌을 때 확실히 면 위에 존재하는 벡터를 찾을 수 있기 때문입니다 우리는 이미 면의 방정식을 구할 때 이 과정을 거쳤었죠 확실하게 면 위에 존재하는 그 벡터는 두 개의 벡터의 차이가 될 것입니다 파란 색으로 그려볼게요 노란색 벡터에서 초록색 벡터를 뺀다면 방향을 잘 설정해서 봐야합니다 이 점과 이 점을 잇는 벡터가 생성되겠죠 벡터를 이동시킬 수는 있으나 확실히 면 위에 존재하는 벡터가 생성될 것입니다 그러니까 이 점들 중 하나에서 시작하는 벡터는 면 위에 반드시 존재할 거라는 거에요 벡터는 이런 모양이겠네요 면 위에 존재합니다 면 위에 존재하는 이 벡터는 p-p1 p-p1 이겠죠? 이 위치벡터에서 저 위치벡터를 뺀 것이 이 벡터라는 거에요 다른 방법으로도 생각해보면 초록색 벡터에 파란색 벡터를 더한 것은 이 노란색 벡터가 맞겠죠? 머리에서 꼬리 방향으로 더해보면 확실히 맞습니다 방금 이 과정을 거친 이유는 이제 파란색 벡터와 붉은 벡터를 내적할 수 있기 때문입니다 이미 예전에 했었어요 파란색 벡터가 면 위에 존재하기 때문에, 이 둘을 내적하면 0이어야만 합니다, 붉은색 벡터는 면 위에 존재하는 모든 것과 수직하잖아요 그렇다면 이제 면에 관한 식을 구할 수 있겠군요 그 전에, 파란색 벡터의 모든 요소들을 우리가 알고 있는지 다시 한 번 짚고 넘어갑시다 파란색 벡터는 p-p1이죠 각각의 요소들을 빼면 되겠네요 (x-xp)i (x-xp)i+(y-yp)j+(z-zp)k (x-xp)i+(y-yp)j+(z-zp)k 이렇게 되겠죠 파란색 벡터는 면 위에 존재한다고 했었습니다 그리고 이 법선벡터는 면에 수직합니다 이 둘을 내적하면 0이 될 것입니다 n과 이 벡터를 내적하면 0입니다 여기 a와 (x-xp)를 곱한 것과 같겠죠 이곳에 써보도록 하겠습니다 그러니까, 다른 색깔로 써볼게요, a에 이것을 곱한 것, ax-axp ax-axp+by-byp, 그리고, 또 다른 색으로 써야죠, 이것과 이것을 곱한 걸 더하면 되겠죠, ax-axp+by-byp+cz-czp 가 되겠네요 ax-axp+by-byp+cz-czp=0 이 될 것입니다 이걸 다시 써보도록 하겠습니다 우리는 이 항들이 나타내는 것이 무엇인지 이미 알죠? x부터 시작하면, ax 이 x는 면에 존재한다면 그 어떤 x라도 이 식을 만족한다는 것을 잊지 마세요 ax, by, cz 이 항들을 오른편에 두도록 하죠 그럼 이런 식이 나오겠죠, ax+by+cz= 이 항들을 양쪽에서 빼면 되겠군요, 다른 방식으로는 반대쪽 항으로 넘기면 됩니다 이 항들을 왼편으로 옮기도록 할게요 axp를 양쪽에 더하는 것은 -axp를 빼는 것과 같죠 그러므로 +axp가 됩니다 그리고 +byp도 같은 방식으로, +czp 또한 같은 방식으로 써볼게요 axp+byp+czp 이렇게 되겠죠 방금 이렇게 식을 다시 쓴 이유는 이건 예전의 강의에서, 면의 방정식을 구할 때 이미 했었죠 법선벡터가 있다면 그리고 면에 존재하는 점이 주어진다면 이 경우에는 (xp, yp, zp)이겠죠 식을 간단하게 구할 수 있음을 보여주기 위해서 입니다 하지만 다른 방식으로 풀어보고 싶네요 면에 관한 방정식 Ax+By+Cz=D가 주어질 때, 이것은 일반적인 면의 방정식이죠? 이 식이 주어질 때 여러분이 법선벡터를 찾을 수 있기를 바랍니다 어떻게 할 수 있을까요? 이 Ax+By+Cz는 위에서 봤던 것과 완전히 유사하죠? 그걸 여기에 다시 옮겨 써보겠습니다 ax+by+cz는 위의 식에서 왼쪽 편에 있는 것들과 같습니다 복사해서 붙여넣기 할게요 위의 식을 단순히 좌우를 바꾼 것입니다 이제 보이나요? 여기 a는 아래의 A와 같아야 하고 여기 b는 아래의 B와 같아야 하며 c는 이 C와 같아야하겠죠 D는 이 항들과 같을 것입니다 단순히 어떠한 숫자가 되겠죠 법선벡터를 안다는 가정 하에 단순한 숫자일 것입니다 a, b, c가 각각 무엇인지 알 때 특정 값도 알 수 있는 것이죠 아무튼 이 항들은 D와 같습니다 이것이 바로 면의 방정식을 푸는 방법입니다 자 그렇다면 면의 방정식이 주어졌을 때 법선벡터는요? 방금 봤죠? 법선벡터는, a는 A와 같고 b는 B와 같고, c는 C와 같음을 이미 확인했습니다, 이 면에 대한 법선벡터는 a, b, c로 이루어져 있었죠 그러니까 면의 방정식이 주어졌을 때 이 면에 대한 법선벡터는 ai+bj+ck 가 될 것입니다 아주 쉽죠? 면의 방정식이 주어질 때 예시를 들어보도록 합시다 3차원 공간에 어떠한 면이 존재한다고 가정해봅시다 3차원이 아니라 더 높은 차원의 공간에서도 이 식은 성립하지만요 -3x+√2y -3x+√2y+ -3x+√2y+7z=π 이러한 면의 방정식이 있다고 합시다 이러한 복잡한, 아닙니다 복잡하지는 않지요 어떠한 면이 3차원의 공간에 있다고 합시다 이 면에 대한 법선벡터는 무엇일까요? 그야말로 이 계수들을 뽑아내어 이 면에 대한 법선벡터는 -3i+√2j+7k -3i+√2j+7k 라고 할 수 있습니다 d 부분은 상관하지 않아도 돼요 그래도 되는 이유는 d 부분은 면을 이동시키기는 해도 면이 기울어진 정도에는 아무 영향도 주지 않기 때문이죠 그러므로 이 법선벡터는 이 부분이 e여도 100이어도, 모든 면에 수직했을 거라는 말입니다 위치가 바뀌기는 해도 같은 기울기를 갖고 있기 때문이지요 그러므로 같은 방향을 가르키고 있을 것입니다 법선벡터 또한 같은 방향을 가르키겠죠 여러분에게 이 정보가 도움이 되었으면 좋겠군요 이를 기반으로 3차원에서 어떠한 면과 임의의 점 사이의 거리를 구하는 방법을 알아보도록 합시다 면까지의 최단거리를 구하는 방법을요