벡터의 삼각부등식

지난 강의에서 코시-슈바르츠 부등식에 관하여 배웠습니다 이번 강의에서도 계속 등장할 것 같으므로 다시 써 놓는 것이 좋겠네요 이 부등식은 매우 유용합니다 두 개의 벡터 x와 y가 있고 이들은 Rⁿ의 원소라 합시다 x와 y는 모두 0이 아닌 벡터입니다 이렇게 가정해야만 하는 이유는 증명하는 과정에서 이 중 하나의 벡터의 길이로 나눠야 할 수도 있기 때문이었죠 0일 때는 나눌 수 없으므로 문제가 발생했을 것입니다 그러므로 0이 아닌 벡터라고 가정함으로써 내적 연산한 절대값이 벡터 각각의 길이를 곱한 값보다 같거나 작을 것이라고 예측할 수 있습니다 이것이 벡터 x의 길이를 나타내는 표현이라는 것은 예전에 배웠었죠 그리고 이것은 벡터 y의 길이입니다 왼쪽 항과 오른쪽 항 모두 단순한 숫자라는 것을 잊지 마세요 길이를 나타내는 것이므로 더 이상 벡터가 아닙니다 50차원의 벡터일지라도 길이가 3일 수 있는 겁니다 단순한 스칼라 값이라고 볼 수 있죠 그러므로 단순한 스칼라 곱을 행하면 되겠네요 우리는 이미 이 부등식이 등식이 되는 경우는 x가 y의 스칼라 배인 경우 뿐이라는 것도 배웠습니다 어떠한 교과서들에는 스칼라 배의 상수 c가 0이 아니어야한다고 나와있죠 그건 어쩌면 당연합니다 x와 y가 0이 아니라고 이미 가정했으니까요 c가 만약 0이라면 x도 0이어야 합니다 x는 0이 아니라고 했으므로 이 경우는 성립하지 않을 것이고 c도 0이 아니어야 한다는 사실은 당연하겠죠? 이 정보에 직관적으로 쓰여있지는 않지만 말이에요 아무튼 x가 y의 스칼라 배수라면 두 벡터의 내적연산한 값의 절대값이 두 벡터의 길이의 곱과 같을 것입니다 방금까지 지난 강의의 내용을 복습해봤습니다 이걸로 또 무엇을 할 수 있을까요? 이 식을 한 번 가지고 놀아보죠 무작정 실험하는 것은 아닙니다 어떤 결과가 나올지 저는 이미 알고 있어요 벡터 x와 y의 길이를 더하면 어떻게 되는지 살펴봅시다 이렇게 두 벡터를 더하고 그 길이를 제곱해보겠습니다 우리가 배운 바로는 벡터 길이의 제곱은 벡터 자신을 내적한 값과 같습니다 여기 x+y라고 쓰여져 있기 때문에 두 개의 벡터처럼 보일 수 있지만 이것은 두 개의 벡터가 하나로 더해진 것입니다 그냥 하나의 벡터라고 볼 수 있죠 x+y는 그려서 표현될 수도 있습니다 x+y의 길이를 제곱한 것을 벡터 자체의 내적으로 바꾸어 써보겠습니다 (x+y)∙(x+y)로 쓸 수 있겠죠 내적한 것이므로 스칼라 값이 아닌 벡터입니다 단순한 곱셈이 아니라 내적이라는 것도 잊지마세요 전 전 강의에서 확인했듯이 벡터의 내적에 대해서는 다른 스칼라 곱과 같이 분배법칙, 결합법칙, 그리고 교환법칙이 성립합니다 이 이항식을 차례로 전개해 볼 수 있겠지요 분배법칙을 두 번 사용해도 괜찮습니다 x∙x 이렇게 전개할 수 있겠죠 사실 분배법칙을 사용하는 것이 더 쉬울 수도 있을 듯합니다 여기 x를 노란색으로 바꾸어 쓸게요 전체 항 x+y 을 노란색으로 쓰도록 하죠 전개해보면 x ∙ 노란색 x∙ 다음 항인 (x+y)가 되겠죠 계속해서 y∙(x+y) y도 색깔을 바꿔써줄게요 y∙(x+y)가 되겠죠 이렇게 하면 분배법칙을 사용하고 있다는 것이 정확히 보입니다 뒤의 항을 앞 항의 x와 y 각각에 곱해준 것입니다 그래서 이 식이 나왔죠 분배법칙을 한 번 더 사용하도록 합시다 색깔에 유의하여 더 전개해보겠습니다 x∙x + x∙y 너무 쉬운 과정일지 모르지만 헷갈리지 않게 써보는 게 좋은 것 같습니다 방금 전 사용한 분배법칙을 다시 사용해볼게요 식으로 돌아가봅시다 y∙x +y∙x 미안합니다 y∙y 죠 벡터 x+y의 길이의 제곱은 이렇게 다시 쓸 수 있습니다 이제 한 가지 색깔로만 쓸게요 이 식을 풀면 어떻게 될까요? 첫 번째 항은 x∙x 이지요 x∙x은 무엇이지요? x 벡터의 크기이죠? 벡터 x의 크기로 다시 써보도록 하겠습니다 크기라는 말을 그만 사용해야겠어요 벡터 x 길이의 제곱이요 다음의 두 항으로 넘어가볼까요 x∙y 와 y∙x 항이 있죠 우리는 이 두개의 항이 결국 똑같은 것이라는 걸 이미 알고 있습니다 내적을 할 때는 순서가 중요하지 않지요 보통의 곱셈처럼요 그래서 두 개의 항은 같다고 볼 수 있습니다 2(x∙y) 이렇게 바꿔쓸 수 있겠네요 마지막 항도 봅시다 y∙y y∙y도 역시 벡터 y 길이의 제곱으로 쓸 수 있겠습니다 코시-슈바르츠 부등식을 벗어나는지 살펴봅시다 제가 제대로 발음하고 있는지 모르겠지만요 아무튼 x∙y 여기 위에 x∙y의 절대값에 관한 식은 써놓았습니다 아래의 식에서는 절대값이 아닌 그냥 x∙y이므로 이 값은 x∙y의 절대값보다 작거나 같아야할 것입니다 왜 그럴까요? 이 값은 음수일 수도 있기 때문이지요 내적한 값이 음수인 경우는 아주 많습니다 x가 양수이고 y가 음수일 땐 모든 내적 값이 음수가 되겠죠 그러므로 이 항은 음수일 수도, 양수일 수도 있습니다 양수일 때는 절대값과 같겠죠 음수일 때는 절대값이 당연히 더 클 것입니다 코시-슈바르츠 부등식에 넣어서 살펴봅시다 방금 전의 부등식을 대입하여보면 x∙y 가 |x∙y| 보다 작거나 같고 이것은 또한 x의 길이 |x|와 y의 길이 |y|를 곱한 것보다 작거나 같다는 것을 알 수 있습니다 그러므로 x∙y는 유한한 값입니다, x와 y의 내적 값은 그것의 절대값보다 당연히 작고 x∙y의 절대값은 x와 y 각각의 길이를 곱한 것보다는 확실히 작습니다 x∙y의 절대값은 x와 y 각각의 길이를 곱한 것보다는 확실히 작습니다 이를 이용하여 아까의 식을 다시 써보면 이 식은 다음의 식보다 반드시 작거나 같을 것입니다 이 부분을 벡터의 길이들로 바꿔써야겠죠 다음의 식보다 반드시 작거나 같을 거에요, 이 부분을 일단 옮겨쓰면 ||x||²+2 ||x||²+2 가운데 항은 헷갈리지 말고 써야하겠죠 일단 +||y||² 그러니까 이 식이 x와 y 내적의 절대값, 즉 |x∙y| 보다 반드시 작다는 것입니다 그리고 코시-슈바르츠 부등식에 따르면 |x∙y|는 두 개의 길이의 곱보다 반드시 작습니다 그러므로 가운데 항을 두 개 길이의 곱으로 바꿔쓰겠습니다 ||x||∙||y|| 이렇게요 첫 번째 항은 아래 식의 첫 번째 항과 같고 세 번째 항도 아래 식의 세 번째 향과 같습니다 이 부분은 세 번째 식보다 반드시 작습니다 그러므로 이 항 전부는 아래 식 보다 작겠죠 우리가 하려던 걸 상기시켜보도록 하겠습니다 이 식이 위의 식과 같다고 썼었죠 그러므로 저 위의 식, 이 식과 같고 제일 아래의 식보다는 작은, 이 식을 옮겨쓸 수 있겠네요 그러므로 x+y 길이의 제곱 ||x+y||²은 이 식보다 작겠습니다 여기 쓴 식보다 작거나 같겠군요 이 항을 살펴볼까요? 이중선 등을 사용한 복잡한 표기법으로 어렵게 느껴질 수 있지만 이 항들은 단순한 숫자입니다 ||x||² 는 숫자일 뿐이지요 여기 각각의 항들도 숫자라고 생각해보면, 보세요! 이 식은 완전제곱의 형태를 띄고 있네요 부등식의 오른쪽에 있는 식은 ||x||+||y|| 전체를 제곱한 것, 즉 (||x||+||y||)²와 같을 것입니다 제곱하여 풀어내면 이전의 식과 같다는 것을 볼 수 있죠 ||x+y||²은 그러므로 이 값보다 작거나 같다는 것입니다 부등식 양쪽 모두의 제곱근을 구하면 ||x+y||가 ||x||+||y|| 보다 작거나 같습니다 이 식을 우리는 삼각부등식이라고 배웠었죠 기하학을 배울 쯤에요 이 식은 왜 삼각부등식이라고 불리죠? 각각의 항을 삼각형의 변이라고 생각해보면 되겠죠 그려봅시다 2차원 벡터 공간에서 그려봅시다 그래프 도면을 가져올게요 그래프 도면을 가져올게요 여기에 그려보겠습니다 x 벡터 부터 그려보죠 이러한 x 벡터가 있다고 가정해봅시다 이러한 x 벡터가 있다고 가정해봅시다 (2,4) 벡터를 x라고 해봅시다 y도 그려봅시다 두 벡터를 더할 것이므로 편의상 벡터 x의 머리 부분에서 시작해보겠습니다 벡터 y는 비표준적인 위치에 있겠죠 이렇게 그려보도록 합시다 이렇게 그려보도록 합시다 제대로 그려볼게요 이러한 벡터 y가 있다고 해봅시다 벡터 x 더하기 벡터 y를 하면 어떻게 돼죠? 이러한 2차원 벡터 공간에서 모든 두 벡터의 합을 그릴 수 있는 것은 아닙니다만 아무튼 2차원 벡터 공간을 가정하도록 하죠 하나의 예시로 생각해주세요 이것이 두 벡터의 합이 되겠죠? 벡터 x의 꼬리 부분에서 벡터 y의 머리부분 방향으로 갑니다. 이 벡터가 벡터 x와 y의 합이 되는 것이죠 그렇기 때문에 이 식이 삼각부등식이라고 불리는 것입니다 이 변은, 그러니까 이 변의 길이는 이 변의 길이와 이 변의 길이를 더한 것과 같거나 작습니다 이차원의 기하학을 배울 때 어쩌면 당연한 것이죠 이 점에서 이 점으로 이어지는 쪽이 이 점에서 바깥쪽의 점, 다시 안쪽의 점으로 이어 돌아오는 것보다 효과적일 것입니다 이 길이가 나머지 두 변의 길이와 같을 때는 언제일까요? 이 삼각형을 계속해서 납작하게 만들면 벡터 x가 이러한 모양이 될 수 있겠죠 이러한 모양이 될 수 있겠죠 벡터 y도 같은 방식으로 해보면 같은 방향으로 이런 식으로 더해지겠죠 이것이 벡터 x이고 이 부분이 벡터 y입니다 x+y가 이 전체 벡터가 되겠죠 이 전체 벡터가 벡터 x와 y를 합한 것이라고 볼 수 있습니다 이 경우, 삼각부등식이 등식이 되겠습니다 이 경우가 바로 삼각부등식에 등호도 포함되는 이유입니다 x와 y가 동일 선상에 있는 아주 극단적인 경우이지요 이게 왜 가능하냐고요? 수학적으로 접근하여 이해하여 봅시다 그래프를 끌게요 수학적으로 돌아가서, 이 부분의 식을 다시 보면 이 항이 여기 이 항보다 작습니다 하지만 제가 한 가지 가정을 한다면요? x가 만약 y의 스칼라 배수라면 어떨까요? 단순히 그냥 스칼라 배수이면 안됩니다 코시-슈바르츠 부등식에서 x가 y의 0이 아닌 배수일 때 부등식이 등식으로 바뀐다고 했었기 때문이죠 이걸 적용해봅시다 x∙y의 절대값, |x∙y|은 이 식과 같다고 했었죠 하지만 이 식에는 x∙y의 절대값이 아닌 그냥 x∙y가 있습니다 이 항이 양수인지 우리는 알 수 없습니다 반면 이 값이 양수라는 건 당연합니다 절대값이기 때문이죠 아래의 식에서는 절대값이 아닙니다 그러므로 이 값이 양수라는 것을 확인하기 위해서는, 그러니까 x∙y의 절대값과 같다는 것을 확인하기 위해서는 c가 양수일 수밖에 없습니다 c가 양수일 수밖에 없습니다 c가 양수여야, x∙y가 cy∙y와 같을 것이기 때문이죠 x∙y가 cy∙y와 같을 것이기 때문이죠. 이는 y 길이의 제곱에 c를 곱한 것과 같을 것입니다 또한 이 식이 x∙y의 절대값과 같다는 것을 확실히 하기 위해서도 c가 양수여야만 합니다 c가 음수라면, 이 부분은 음수가 되고 이 부분은 양수가 되어 식이 성립하지 않겠죠 c를 양수라고 가정함으로써 x∙y의 값이 그 절대값과 같다고 확신할 수 있는 것입니다 스칼라 곱이기 때문에 이 항이 x와 y의 길이보다 작거나 같은 것이 아니라 그냥 같다고 할 수 있는 것이죠 헷갈리지 않았으면 좋겠네요 그러니까 다시 말해, x가 y의 양수배일 때는 여기 이 식에 부등호는 필요 없어진다는 것이죠 그럼 x∙y의 값이 그 절대값과 같을 것입니다 c가 양수이기 때문에요 그 절대값과 같다면 스칼라 곱이 되기 때문에 이렇게도 생각할 수 있습니다 여기 이 식이, 여기 이 식이, 이 식과 같다고 할 수 있겠네요 그렇다면 이 부호에서 등호만 남길 수 있습니다 이 경우의 제한은, 굳이 제한이라고 하기는 좀 그렇지만 ||x+y||는 등호를 사용하여, ||x+y||= x의 길이 더하기 y의 길이, ||x+y||=||x||+||y|| 라고 표현할 수 있습니다 이 경우 x=cy, 즉 x는 y의 양수배입니다 그러니까 c는 0보다 크겠죠 이 두 식은 서로를 의미합니다 기하학적으로도 이를 확인했습니다 그래프 종이는 사라졌지만 x+y의 길이가 x의 길이와 y의 길이를 더한 것과 같은 때는 두 벡터가 동일 선상에 있을 때 라는 것을 확인했었죠 x와 y를 더한 값은 한 눈에 보기에도 여기 이 변보다 깁니다 여러분들은 이런 생각이 들 수도 있겠죠 이 선형대수학은 의미가 없어요 8, 9학년에 이미 삼각부등식에 대하여 배웠는걸요 이걸 재정의하기 위해 왜 이런 과정들을 겪어야하죠? 하지만 제가 흥미로운 사실을 알려드리죠 여기 방금 그렸던 것은 여러분이 9학년 때 배운 기하학이 맞습니다 9학년 때 배운 기하학이 맞습니다 이건 2차원의 벡터 공간이죠 단순한 데카르트 좌표라고 볼 수 있죠 '차원' 이라는 단어를 나중에 정식으로 정의할 것이기 때문에 자꾸 사용하고 싶지는 않지만 2차원의 공간이라고 할 수 있겠습니다 2차원의 공간이라고 할 수 있겠습니다 여기서 알아야 할 사실은 우리가 삼각부등식을 임의의 큰 벡터들, 그러니까 임의의, 아주 많은 성분들을 가지고 있는 벡터들에 대하여 정의했다는 것입니다 이 성분들은 2차원의 공간에 있을 필요가 없습니다 이 식은 100차원의 공간에서도 유효합니다 각각의 벡터가 100개의 성분을 가질 때에도 말이죠 방금 우리는 삼각부등식에 대한 개념을 정의했습니다 2차원의 데카르트 좌표를 넘어서 다양한 차원으로 확장하였습니다 3차원, 혹은 그 이상의 n차원의 공간으로 말이죠 차원에 대해서는 아직 정의하지 않았지만 여러분은 이미 감을 잡기 시작한 것 같군요 아무튼 도움이 되었으면 좋겠네요 이제 이 결과를 이용해서 이 결과와 이것 또한 이용하여 두 벡터 사이의 각도라는 개념은 무엇인지 살펴보도록 합시다 여러분들은 '왜 각도를 정의해야 해?' 라고 생각할 수도 있어요 '각도는 그냥 각도 아닌가?' 우리는 2차원에서의 각도가 무엇인지 압니다 하지만 n차원에서의 각도는 어떨까요? 여러분이 n차원에 존재한다는 개념은요? 다음 강의해서 얘기해보도록 합시다