내적과 외적의 비교 / 직관

지난 강의들에서 0이 아닌 벡터 a, b의 내적이 │a││b│cosθ와 같다는 것을 배웠습니다 │a││b│cosθ와 같다는 것을 배웠습니다 a와 b를 그려볼게요 이것을 벡터 a, 저것을 벡터 b라고 하고 그 사잇각을 θ라 하겠습니다 우리는 이것을 이렇게 정의했어요 여러분은 두 벡터가 있을 때 그 사잇각을 구하고자 합니다 전에 한 번도 한적이 없지만 지금 바로 하는게 낫겠어요 여러분에게 주어진 정보만으로 풀 수 있습니다 aㆍb를 │a││b│로 나눠준 aㆍb / │a││b│가 cosθ와 같습니다 θ를 구하려면, 여러분은 양변에 아크코사인을 취해야 합니다 θ=arccos(aㆍb / │a││b│)가 됩니다 θ=arccos(aㆍb / │a││b│)가 됩니다 θ=arccos(aㆍb / │a││b│)가 됩니다 θ=arccos(aㆍb / │a││b│)가 됩니다 만약 임의의 두 벡터가 주어진다면 이것의 좋은 점은 무엇을 해야하는지 명확하다는 거에요 제가 이 평면에 두 벡터를 그리면 여러분은 각도기를 꺼내서 각을 측정하면 됩니다 하지만 a와 b가 100개의 성분을 갖는다면 두 벡터 사이의 각을 보기 어려워집니다 하지만 여러분은 더이상 그들을 시각화 할 필요 없어요 여러분은 바로 계산하면 됩니다 여러분은 aㆍb / │a││b│의 값을 계산하면 됩니다 계산기에 아크코사인을 입력하거나 코사인의 역함수에 값을 입력하면 θ값을 구할 수 있을 거에요 정의에 의해서 말이죠 깔끔한 개념이에요 그리고 여러분은 수직 또는 다른 것들을 다룰 수 있습니다 탄젠트도 살짝 포함입니다 제가 이전 강의에서 공들여 증명한 것은 다음과 같습니다 │a×b│가 │a×b│가 │a×b│가 두 벡터의 곱인 │a││b│sinθ와 같습니다 │a││b│sinθ와 같습니다 │a││b│sinθ와 같습니다 이것은 같은 각이에요 여기서 이 두 아이디어를 통해서 θ를 어떻게 구하는지 봅시다 조금 벗어나는 이야기지만 이것을 한 적이 없다는 걸 깨달았거든요 하지만 제가 원하는 것은 여기있는 표현과 저기있는 표현으로 적어도 3차원 공간에 대한 직관력을 기를 수 있는지 보는 것입니다 왜냐하면 우리는 외적을 3차원 공간에서만 정의했기 때문이죠 왜냐하면 외적은 3차원에서만 정의되기 때문이죠 두 아이디어를 3차원으로 가져가서 직관력을 기를 수 있는지 확인해 봅시다 그리고 저는 내적과 외적을 비교한 물리학 강의에서 이와 비슷한 것을 했습니다 벡터를 다시 그려볼게요 벡터 a와 b를 그려볼게요 벡터 a가 b보다 크다고 합시다 봅시다 이것이 벡터 b이고 이것이 벡터 b이고 저게 벡터 a 입니다 │a││b│cosθ의 값은 무엇일까요? │a││b│cosθ의 값은 무엇일까요? 여기에 계산해 볼게요 이것이 θ입니다 이 벡터에서 a의 길이는 이것입니다 이것이 벡터 a의 길이 입니다 이것이 벡터 a의 길이 입니다 이것이 벡터 a의 길이 입니다 그래서 이것을 │a│라고 합니다 지금 이 칠판에 맞게 3차원으로 설명하고 있어요 그래서 이것이 길이가 됩니다 그리고 벡터 b의 길이는 이 선입니다 이게 b의 길이에요 이것을 여기에 다시 적어볼게요 여기 다시 적어보면 │b│곱하기 ㆍ을 사용하면 내적으로 오해할것 같군요 내적으로 오해할것 같군요 곱하기 │a│cosθ 지금까지 한 것은 aㆍb=│a││b│cosθ을 재배열 한 것입니다 이것은 aㆍb과 같은 것이에요 그런데 │a│cosθ가 뭐죠? 기본적인 삼각함수 도구 SOH CAH TOA를 이용해 봅시다 SOH CAH TOA를 이용해 봅시다 cosθ는 이웃한 변/빗변과 같아요 수선의 발을 그으면, 삼각형을 만들 수 있어요 다른 색을 사용해서 그릴게요 여기에 수선의 발을 그으면 직각 삼각형을 만들 수있고 이것이 θ에요 그럼 │a│cosθ가 뭐죠? 다음과 같습니다 다른 색을 사용할게요 이것은 이웃한 변과 같아집니다 이것은 자홍색과 같아져요 벡터 b 전체가 아니라 직각이 있는 곳까지에요 이 변이 이웃한 변입니다 좀 크게 하고 싶네요 cosθ는 이웃한 변/빗변과 같아요 여기 적어볼게요 cosθ = 이웃한 변/빗변 과 cosθ = 이웃한 변/빗변 과 같아집니다 그런데 빗변이 무엇이죠? 빗변은 벡터 a의 길이입니다 저게 빗변입니다 저게 빗변입니다 그래서 빗변은 │a│에요 그래서 양변에 │a│를 곱해주면 │a│cosθ = 이웃한 변이 됩니다 │a│cosθ = 이웃한 변이 됩니다 자홍색으로 하겠습니다 │a│cosθ = 이웃한 변이 됩니다 그래서 여기 있는 표현은 │a│cosθ가 이웃한 변과 같다고 말한 것처럼 │a│cosθ = 이웃한 변 입니다 그래서 여러분은 aㆍb =│b│×이웃한 변 임을 알 수 있어요 여러분은 이게 뭐하는 건지 궁금해할 것입니다 이것이 의미하는 바는 벡터 b의 길이에 벡터 b와 같은 방향으로 나아가는 벡터 a의 크기만큼을 곱해준다는 것이죠 이것을 벡터의 정사영으로 볼 수 있어요 나중에 정사영에 대해서 알려드리고 정사영의 정의를 내리겠습니다 하지만 궁금하다면 이렇게 생각해보세요 만약 햇빛이 위에서 내리쬐고 있다면 │a│와 같은 벡터는 벡터 b 위로 그림자가 생길 거에요 만약 이 두 벡터가 같은 방향을 가리키고 있다고 생각해 봅시다 위에 것을 벡터 a라 하고 아래 것을 벡터 b라 할게요 정사영된 벡터 a는 벡터 b와 같은 방향으로 상당히 겹치게 됩니다 벡터 a가 벡터 b와 동일한 방향으로 진행되는 부분이 더 커질거에요 이것은 더 큰 내적 값을 갖게 됩니다 왜냐하면 내적은 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하고 있는지가 중요하기 때문이에요 이것은 스칼라 값이에요 그래서 이것은 이웃한 변 ×│b│가 됩니다 만약에 서로 거의 수직하다면 어떻게 될까요? 이와 같은 두 벡터를 갖는다면 어떨까요? 이런 벡터 a와 이런 벡터 b가 있다면 어떨까요? 이웃한 변의 방향을 벡터 b로 정의하고 직각삼각형을 만들면 이웃한 변은 매우 작게 됩니다 벡터 a와 b가 더 클지라도 방향성의 공통점이 거의 없으므로 내적 값은 더 작습니다 이것을 다른 방법으로도 할 수 있이요 수선의 발을 벡터 a 위로 내려서 구할 수도 있어요 이 둘은 임의의 벡터이기 때문에 상관없어요 핵심은 내적이 각각의 변의 길이를 곱한 것에 cosθ의 값을 곱한것과 같다는 것이에요 이것은 내적은 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하고 있는지 말해줍니다 또는 같은 방향을 향하는 벡터 길이의 곱과 같아요 같은 방향을 향하는 벡터 길이의 곱입니다 벡터 길이의 곱입니다 이 이웃한 변을 a가 b의 방향으로 향하는 일부로 볼 수 있어요 그것이 b의 방향으로 향하는 a의 일부입니다 그래서 저것에 b를 곱하세요 이것이 벡터의 내적입니다 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하고 있는지가 중요합니다 그리고 두 벡터가 서로 수직일 때를 주목하세요 aㆍb = 0일 때 두 벡터는 수직 입니다 그리고 이것은 벡터의 내적이 무엇인지에 대한 감각을 기를 수 있어요 왜냐하면 이것은 두 벡터가 수직을 이루고 있다는 것을 의미하기 때문이에요 이것을 벡터 b 저것을 벡터 a라 할게요 직각삼각형을 만들려면 바로 아래로 내리면되요 그래서 벡터 a의 정사영은 나타낼 수 없습니다 또는 위에서 빛을 내린다고 하면 벡터 a의 b위로의 그림자는 무엇일까요? 여러분은 아무것도 얻을 수 없어요 0이라는 값을 얻을거에요 여유 있게 그렸더라도 이 화살표는 존재하지 않습니다 정사영이 없어요 그래서 여러분은 0이라는 값을 얻게 됩니다 a의 일부는 b와 같은 방향으로 움직입니다 이 벡터의 어느 일부도 벡터 b와 같은 방향이 없어요 그래서 여러분은 0에 벡터 b를 곱해주어야 합니다 그래서 여러분은 0을 얻게 되요 이해했길 바랍니다 이제 벡터의 외적을 생각해 봅시다 벡터의 외적은 │a×b│가 │a││b│sinθ와 같다는 것을 의미해요 │a││b│sinθ와 같다는 것을 의미해요 똑같이 예를 들어볼게요 두 벡터를 그려볼게요 이것을 벡터 a 이것을 벡터 b라고 합시다 SOH CAH TOA에 따라 sinθ는 높이/빗변이 됩니다 높이/빗변이 됩니다 여기에 작은 직각 삼각형을 그리려면 수직인 선을 내리면 되고 이것이 θ가 됩니다 여기에서 sinθ는 뭐가 되나요? 여기에서 sinθ는 뭐가 되나요? 이쪽 변을 대변이라고 하면 sinθ는 대변/빗변이 됩니다 그리고 빗변은 │a│입니다 벡터 a의 길이에요 그래서 빗변은 │a│가 됩니다 │a│를 양변에 곱해주면 │a│sinθ는 대변과 같게 됩니다 그래서 │a││b│sinθ를 다시 적어보면 내적을 수월하게 하기 위해 재배열 하겠습니다 │b│×│a│sinθ가 됩니다 │b│×│a│sinθ가 됩니다 │a│sinθ는 대변의 길이에요 │a│sinθ는 대변의 길이에요 │a│sinθ는 대변의 길이에요 바로 이 변 입니다 벡터의 외적을 하면 벡터 b의 길이에 벡터 b의 수직한 방향의 벡터 a의 일부를 곱해야 합니다 대변은 벡터 b의 수직한 방향의 벡터 a의 일부입니다 이것이 대변에 관한 개념입니다 내적은 b 방향으로 향하는 a의 일부에 b를 곱하는 거에요 반면에 외적은 b방향의 수직인 a의 일부에 벡터 b를 곱하는 거에요 │a×b│을 계산하는 것은 얼마나 두 벡터가 수직인지를 확인하는 거에요 그리고 내적은 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하는지를 확인하는 거에요 몇 가지 예를 들어볼게요 여러분이 수직인 두 벡터를 갖고 있다면 이것을 벡터 a라 하고 저걸 벡터 b라 해요 이 때 │a×b│는 앞의 공식을 사용하면 │a││b│고 sin90의 값이 얼마죠? 1 이에요 그래서 이 경우가 외적의 최댓값이에요 이게 가장 높은 값입니다 왜냐하면 sinθ가 최댓값이기 때문이죠 sinθ는 항상 1보다 같거나 작아요 그래서 이것이 가장 큰 값이 됩니다 두 벡터가 완벽히 수직일 때 이 값은 최댓값이 됩니다 │a││b│cosθ로 돌아가 봅시다 │a││b│cosθ로 돌아가 봅시다 내적에서 cosθ의 값은 언제 최대가 될 수 있을까요? 바로 두 벡터가 동일선상에 있을 때입니다 벡터 a가 다음과 같이 보이고 다른 벡터 b가 같은 방향으로 가면 θ는 0이 됩니다 두 벡터 사이 각은 0도 에요 따라서 aㆍb는 │a││b│cosθ와 같아지는데 │a││b│cosθ와 같아지는데 cosθ의 θ는 0 입니다 θ가 0이므로 cosθ=1입니다 따라서 같은 방향을 향하는 두 벡터가 있을 때 내적이 최대가 됩니다 외적은 그들이 수직일 때 최대가 됩니다 정리하자면 두 벡터가 수직일 때 내적의 값은 최소가 됩니다 음수의 내적 값을 얻을 수 있지만 절대값을 취했을 때에는 두 벡터가 수직일 때 내적이 최소가 되요 비슷하게 동일선상에 벡터 a와 다른 벡터 b가 있을 때 한번 그리면서 해봅시다 감 잡은것 같네요 이것을 벡터 b라고 합시다 그러면 θ가 0이 됩니다 여러분은 볼 수조차 없어요 완전히 겹쳐져 있습니다 두 벡터를 서로에게 가져다 주면 이 상황에서 a×b는 sinθ가 곱해지게 되요 sinθ가 곱해지게 되요 sin0=0이에요 그래서 │a×b│=0입니다 따라서 같은 방향의 두 벡터의 외적의 절대값은 0입니다 하지만 두 벡터의 내적 값은 최대가 될 것이에요 최대가 될 것이에요 aㆍb=│a││b│가 됩니다 여기에 정반대의 내용이 있이요 두 벡터가 서로 수직일 때 외적은 최대가 됩니다 왜냐하면 외적은 a의 수직부분이 얼마나 큰지를 측정하기 때문이에요 그리고 두 벡터가 수직일 때 내적 값은 최소가되며 절대적인 값을 갖게 됩니다 따라서 이 경우에 aㆍb = 0이에요 여러분이 공식과 정의만을 사용하면 이것이 진짜로 의미하는 것을 잊어버릴 수 있으므로 지금까지의 이야기가 명확하게 전달되었길 바라요 그리고 다른 주제로 넘어가기 전에 외적의 또다른 해석을 공부해 봅시다 왜냐하면 외적은 좀 까다로운 경향이 있기 때문이에요 이것이 벡터 a와 b 입니다 이 평행사변형의 넓이를 구하려면 어떻게 해야 할 까요? 벡터 a를 평행이동 해서 여기 그리고 벡터 b를 평행이동 해서 여기 그렸을 때 이 평행사변형의 넓이를 구하려면 기본적인 기하학만을 사용한다고 할 때 어떻게 해야 할까요? a에서 b로 수선을 내려볼게요 a에서 b로 수선을 내려볼게요 이것은 수직하고 이 길이는 높이를 의미해요 그러면 이 평행사변형의 넓이는 벡터 b의 길이에 높이를 곱한 것이 됩니다 높이를 곱한 것이 됩니다 그런데 높이가 무엇인가요? 여기에 θ를 그려볼게요 녹색으로 하면 더 잘 보이죠 여기에 θ가 있습니다 우리는 sinθ가 대변/빗변이라는 것을 알아요 따라서 sinθ=높이/빗변이 됩니다 빗변은 │a│에요 벡터 a의 길이죠 이것을 높이에 관해 풀어주면 높이=│a│sinθ가 됩니다 높이=│a│sinθ가 됩니다 이것을 다시 써볼게요 높이를 │a│sinθ로 바꿔쓸 수 있고 평행사변형의 넓이가 │a││b│sinθ와 같음을 확인할 수 있어요 │a││b│sinθ는 a×b의 절대값과 같아요 이 둘은 서로 같은 것이에요 이 말은 a와 b를 다시 배열할 수있다는 거에요 이제 외적을 다르게 생각하는 방법을 배웠어요 두 벡터의 외적의 절대값은 두 벡터의 외적의 절대값은 일단 외적을 계산하면 여러분은 세번째 벡터를 구할 수 있고 세번째 벡터의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같아요 여러분이 여기서 조금의 직관력을 배웠기를 바라요 그리고 이번 강의를 통해 여러분이 외적과 내적에 대한 감각을 얻었을 것입니다