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주요 내용
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증명 : 외적과 각의 사인값 사이의 관계

동영상 대본

이번 시간의 목표는 우선 외적의 정의와 다른 동영상에서 다뤘던 그 결과에 대해 알아보는 것입니다 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적에 대해서 aㆍb = │a │× │b │가 성립한다는 내용의 세 번째 전 동영상이었습니다 │a│×│b│cosθ에서 θ는 두 벡터 사이의 각도입니다 이 두 가지로 시작해 볼거에요 외적은 R3에서만 정의됩니다 외적은 R3에서만 정의됩니다 우리는 외적의 절대값을 계산해보고자 합니다 그리고 외적을 계산하면 벡터를 얻을 수 있습니다 하지만 절댓값을 계산하면 스칼라 값을 얻을 수 있고 이것은 각 벡터 길이의 곱과 같습니다 외적의 절댓값은 │a │× │b │sinθ이고 θ는 두 벡터 사이의 각도 입니다 이것은 꽤 깔끔한 결과입니다 이 결과는 동전의 양면임을 보여주기 때문이죠 내적은 cos이고 외적은 sin이죠 여러분이 이전에 봤을 것이라 믿어요 여러분이 저의 물리학 강의를 들었다면 확실히 봤을 것이고 이것이 무엇을 의미하는지 직관에 대해서 이야기하는 모든 강의에서 언급하였습니다 여러분이 그 강의를 다시 들었으면 합니다 그리고 저는 선형대수학적 맥락에서 다시 설명할 거에요 하지만 이 강의 목적은 이 사실을 증명하는 것입니다 하지만 이 강의 목적은 이 사실을 증명하는 것입니다 이제, 여러분이 저를 믿는다면 전에 본적이 있다거나 저 사실이 당연하다고 생각하신다면 이 남아 있는 강의를 볼 필요 없습니다 미리 말하지만 복잡한 증명이 될 겁니다 정말로 복잡한 증명이 될 것입니다 하지만 보고 견딜 의지가 있다면 결과 증명을 시작하겠습니다 │a×b│를 제곱하면서 시작해 봅니다 이는 a와 b의 외적입니다 이 제곱된 벡터에 절대값을 취해요 많은 강의에서 보고 제가 여러번 했듯이 임의의 벡터를 잡아요 임의의 벡터를 잡아요 그 벡터의 절대값에 제곱을 취한 것은 자기 자신을 내적하거나 X₁부터 Xn까지 각각의 제곱을 모두 더한 것과 같습니다 이것이 무엇와 같을까요? 이건 위의 벡터와 같아요 이건 오직 세개의 성분을 갖으므로 │a×b│²은 세 개 성분의 제곱의 합과 같아요 그럼 적어보겠습니다 이건 a₂b₃-a₃b₂의 제곱과 같아요 이제 적어보겠습니다 (a₂b₃-a₃b₂)의 제곱 여기에 이것의 제곱을 더합니다 (a₃b₁-a₁b₃) 의 제곱 그리고 마지막으로 이걸 더할께요 (a₁b₂-a₂b₁)의 제곱 이제 어떻게 할까요? 식을 전개해봅시다 식을 전개해봅시다 빨간색으로 된 이항식의 제곱을 전개햐야만 합니다 우리는 이것을 여러번 해야되요 a₂²b₃²과 같아요 그리고 두 항이 두 번 곱해진 것을 얻게됩니다 그리고 두 항이 두 번 곱해진 것을 얻게됩니다 그래서 -2 그냥 이 항을 곱하고 있어요 -2a₂a₃b₂b₃ 깔끔하게 재배열 하였습니다 + a₃²b₂² 이 항은 제곱되었습니다 이 항은 제곱되었습니다 이번엔 이 부분을 더해봅시다 + a₃²b₁² 이 두 항을 곱한걸 빼줘요 -2a₁a₃b₁b₃ a₁²b₃²을 더해줘요 a₁²b₃²을 더해줘요 마지막으로 제곱된 이 항을 전개합니다 + a₁²b₂² -2a₁a₂b₁b₂ + a₂²b₁² 자, 여기 있군요 이것을 깔끔한 형태로 쓸 수 있는지 봅시다 나중에 더 유용한 형태로 적어볼께요 나중에 더 유용한 형태로 적어볼께요 a₂, a₁, a₃의 제곱들로 묶어 줄께요 이렇게 적어볼 수 있어요 무채색으로 해 봅시다 a₁²으로 묶고 어디에 a₁²항이 있죠? 여기 하나 있고, 여기에도 있어요 a₁²(b₂²+b₃²)이 되요 a₁²(b₂²+b₃²)이 되요 좋습니다 a₂²항은 어디에 있을까요? a₂²항은 여기있어요 a₂²(b₁²+b₃²) a₂²(b₁²+b₃²) a₂²(b₁²+b₃²) a₂²(b₁²+b₃²) 마지막으로 다른색을 골라봅시다 노란색으로 돌아갈께요 + a₃² a₃²가 들어간 항은 b₁과 b₂에요 a₃²가 들어간 항은 b₁과 b₂에요 + a₃²(b₁²+b₂²) 여기 가운데 복잡한 항들을 잊어서는 안되겠죠 여기 가운데 복잡한 항들을 잊어서는 안되겠죠 여기 가운데 복잡한 항들을 잊어서는 안되겠죠 이 항들을 -2로 묶어줍시다 이 항들을 -2로 묶어줍시다 빠르게 적어봅시다 a₂a₃b₂b₃ +a₁a₃b₁b₃ +a₁a₂b₁b₂ 자 이 식을 다시 봅시다 이 식을 다시 봅시다 이 식을 다시 봅시다 이 식은 │a×b│²을 전개한 식임을 기억하세요 좋습니다 꼭 기억하세요 이제 다른 지저분하고 복잡한 계산을 해봅시다 위의 결과를 가져와 봅시다 │a││b│cosθ가 │a││b│cosθ가 aㆍb와 같습니다 내적을 계산하면 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ 가 되요 가장 복잡한 문제를 해결하기 위해서 양변을 제곱해 봅시다 이쪽을 제곱하면 │a│²│b│²cos²θ 그리고 (aㆍb)² 다음 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃를 제곱하세요 (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)² 이걸 계산하면 어떻게 되죠? 제곱을 쓰는 것 보다 다시 적는게 계산하는데 더 쉽더라구요 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ 이제 다항식의 곱셈을 해봅시다 a₁b₁과 옆의 다항식을 곱해봅시다 a₁b₁ 곱하기 바로 계산할게요 a₁²b₁² + a₁a₂b₁b₂ + a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₁a₃b₁b₃ 좋아요 이제 두 번째 항을 계산해 봅시다 a₂b₂와 옆의 다항식을 곱해봅시다 a₂b₂ 곱하기 a₁b₁ 여기 있는 항과 같아요 a₂b₂a₁b₁ 위와 같은 항이기 때문에 간단히 하기 위해 여기에 적을게요 a₂b₂와 a₂b₂를 계산 해봅시다 a₁²b₁²아래에 적을게요 a₁²b₁²아래에 적을게요 a₂²b₂² + 를 넣습니다 마지막으로 a₂b₂와 a₃b₃를 계산해봅시다 보세요 + a₂a₃b₂b₃ 이제 하나 남았어요 이제 하나 남았어요 파란색을 사용할께요 a₃b₃과 나머지를 계산해야되요 a₃b₃ × a₁b₁ a₃b₃ × a₁b₁는 이것과 같죠 a₃가 있기 때문입니다 여기 봅시다 a₁a₃b₁b₃ a₁a₃b₁b₃ a₃b₃와 a₂b₂를 곱해봅시다 a₂a₃b₂b₃ 여기에 +를 적을게요 마지막으로 a₃b₃을 제곱해 봅시다 a₃²b₃² 이제 이걸 더하면 어떻게 되죠? 이제 이걸 더하면 어떻게 되죠? 이제 이걸 더하면 어떻게 되죠? 다른 색으로 바꿔볼께요 a₁²b₁² 일부러 색을 바꿨습니다 a₂²b₂² + a₃²b₃² 흰색으로 표시하겠습니다 여기 a₁a₂b₁b₂에 2를 곱한 것과 a₁a₃b₁b₃에 2를 곱한 것과 a₂a₃b₂b₃에 2를 곱한 것이 있어요 + 2(a₁a₂b₁b₂ + 2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₁a₃b₁b₃ 마지막으로 a₂a₃b₂b₃를 더할께요 a₂a₃ + b₂b₃ 여러분이 흥미로운 점을 이미 발견했을지도 모르겠네요 여기 있는 것과 저거를 비교하면 이 둘은 서로 같아요 a₁a₂b₁b₂ 저기도 a₁a₂b₁b₂가 있어요 이 항과 저 항이 같아요 다른 항들도 봅시다 a₁a₃b₁b₃ 그리고 a₁a₃b₁b₃ 이 항과 저 항도 같아요 마지막으로 a₂a₃b₂b₃를 비교해보면 더하기가 아니에요 a₂a₃b₂b₃에요 모두 곱해진거에요 a₂a₃b₂b₃가 있습니다 이 항과 저 항이 같죠 (aㆍb)²을 전개했을 때 +2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃) 를 얻고 │a×b│²를 전개했을 때 -2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃) 를 얻었어요 이제 이것들을 간단히 할 수 있는지 봅시다 이 둘을 더하면 어떻게 될까요? 더해봅시다 조금 흥분되는데요 │a×b│²항을 얻고 여기에 │a │²× │b │²cos²θ를 더해줄 거에요 │a │²× │b │²cos²θ │a │²× │b │²cos²θ 이게 뭐와 같죠? 이것은 이 두 박스를 더한 것과 같을 거에요 계산해 봅시다 계산해 봅시다 이미 위에는 -2가 곱해졌고 아래는 +2가 곱해졌다고 말했어요 명료하게 보여줄께요 지금 이 항을 아래 녹색 박스와 더하면 사라지게 됩니다 이 두 다항식은 사라집니다. 신이시여 지워졌습니다 안도가 되는군요 이제 뭐가 남았죠? 이것과 저것이 남아있어요 a₁²으로 묶어진 항이 있으니깐 여기에 같이 더해줄께요 a₂²항을 더해주고 a₃²을 더해줄께요 어떻게 되나요? 이 둘을 더해서 a₁²으로 묶어 줄께요 이 둘을 더해서 a₁²으로 묶어 줄께요 a₁²(b₁³ + b₂² + b₃²) 좀 정리된 것처럼 보이죠 좀 정리된 것처럼 보이죠 a₂²로 묶고 나머지 계수를 더해줍시다 a₂²로 묶고 나머지 계수를 더해줍시다 a₂²(b₁² + b₂² + b₃²) 마지막으로 노란색으로 하겠습니다 a₃²로 묶습니다 b₁²,b₂²,b₃²이 있어요 a₃²(b₁² + b₂² + b₃²) b₁² + b₂² + b₃²을 모두 곱해주었다는 것을 볼 수 있어요 b₁² + b₂² + b₃²로 묶어주면 흥미로운 형태를 얻을 수 있어요 b₁² + b₂² + b₃²로 묶어주면 (b₁² + b₂² + b₃²) 여기에 앞의 제곱된 항들을 곱해줄 께요 (a₁² + a₂² + a₃²) 고지가 눈앞에 보입니다! 두 식은 서로 같아요 (b₁² + b₂² + b₃²)(a₁² + a₂² + a₃²)를 어떻게 다른 방법으로 쓸 수 있을까요? (b₁² + b₂² + b₃²)(a₁² + a₂² + a₃²)를 어떻게 다른 방법으로 쓸 수 있을까요? 이건 bㆍb 또는 │b│²과 같아요 (a₁² + a₂² + a₃²)는 뭐죠? 이건 │a│²과 같아요 이건 │a│²과 같아요 즉 a의 내적이죠 모두 다시 써봅시다 │a×b│² │a×b│² 여기에 더하기 복사, 붙여넣기 합니다 좀 지루하네요 │a│²│b│²cos²θ를 더해줄께요 왜 안되죠? 복사, 붙여넣기 했는데 작동이 안되네요 그냥 손으로 │a│²│b│²cos²θ를 더해줄께요 +│a│²│b│²cos²θ +│a│²│b│²cos²θ 이게 │a│²│b│²과 같아요 │a│²│b│²cos²θ를 양변에 빼주면 어떻게 될까요? │a│²│b│²cos²θ를 양변에 빼주면 어떻게 될까요? │a×b│²는 │a│²│b│²에서 │a│²│b│²cos²θ를 뺀 것과 같습니다 그리고 │a│²│b│²로 묶어 줄 수 있어요 그냥 이 식에 바로 적을게요 │a│²│b│²cos²θ를 양변에 빼주면 -│a│²│b│²cos²θ -│a│²│b│²cos²θ │a│²│b│²로 묶어줄 수 있죠? │a│²│b│²로 묶어줄 수 있죠? a와 b의 순서를 바꿔줍니다 │a×b│²는 │a│²│b│²로 묶어주면 │a│²│b│²(1-cos²θ)와 같게 됩니다 │a│²│b│²(1-cos²θ)와 같게 됩니다 1-cos²θ는 뭐죠? 가장 기본적인 삼각함수 공식으로 가장 기본적인 삼각함수 공식으로 sinc²θ + cos²θ =1이 있어요 sin²θ + cos²θ =1이 있어요 cos²θ를 양변에 빼주면 sin²θ = 1 - cos²θ가 됩니다 sin²θ = 1 - cos²θ가 됩니다 1 - cos²θ는 sin²θ 에요 그리고 양변에 루트를 씌우면 어떻게 되죠? 그리고 양변에 루트를 씌우면 어떻게 되죠? 너무 재밌지 않나요? │a×b│가 │a││b│sinθ와 같다는 것을 확인할 수 있습니다 양변에 루트를 씌웠을 뿐이에요 마침내 증명을 끝냈습니다 여기 까지 올 줄 상상도 못했습니다 여러분이 만족했기를 희망해요 이 공식을 더이상 맹신하지 않아도 됩니다 여러분이 만족했기를 바라며 잘못 건드려서 조심성 없는 실수 때문에 모든걸 망치기 전에 강의를 마치겠습니다