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만약 평면 Ax-2y+z=d와 다음 직선들을 포함하는 평면 사이의 거리가 여기 3차원의 직선 2개가 주어져 있습니다 평면 사이 거리가 √ 6이라면 d는 무엇일까요? 잠시 생각해봅시다 평면과 평면 사이의 거리에 대한 이야기입니다 한 평면은 직선 2개를 포함하고요 현실적으로, 평면 사이의 거리는 두 평면이 평행해야 구할 수 있습니다 만약 그들이 평행하지 않다면 즉, 만난다면 거리는 명확히 0이 되기 때문입니다 여기선 그 거리가 √6으로 주어졌습니다 따라서 두 평면은 만나지 않고 평행한다는 걸 알 수 있습니다 자, 평면 ax - 2y + z = d이 있고 또다른 평면은 앞서 언급한 평면과 평행해야 합니다 아마 이렇게 생겼을 거예요 다른 평면은 평행하고 두 직선을 포함해요 이 직선을 초록색으로 표현해보면 이렇게 나타낼 수 있고 다른 직선을 자홍색으로 표현하면 마찬가지로 파란 평면 위에 이렇게 나타낼 수 있어요 이제 어떻게 거리를 구할 수 있을까요? 파란 평면의 방정식을 구하고 시작하는 편이 좋습니다 두 평면은 평행하기 때문에 이 방정식은 주황색 평면과 비슷해야 합니다 둘은 명확히 기울기가 같기 때문에 적어도 이쪽은 d와 다른 값을 가질 것이고요 그러니까 일단 이 평면의 방정식을 구하려면 사실 a의 값을 알아야하죠 그래서 이 파란 평면 위의 한 점을 찾아야 합니다 어떠한 점에서 이 주황색 평면까지의 거리를 구하기 위해 알고 있는 평면과 점 사이의 거리를 구하는 방법을 써봅시다 자 이제 파란 평면의 방정식을 구해봅시다 이 평면 위의 두 벡터를 구하면서 시작해 봅시다 그 후, 이 평면에서의 법선을 구하기 위해 두 벡터의 외적을 구할 것입니다 그리고 이 평면의 방정식을 구하기 위해 주어진 정보를 이용합니다 자, 이 평면 위의 몇 개의 점들을 알아봅시다 여기 있는 초록색 직선에서 모든 항이 0이 되길 원한다면 x = 1, y = 2, z = 3이어야 하므로 점 (1,2,3)이 됩니다. 파란 평면 위에 있습니다 다른 점을 생각해 봅시다 만약 모든 항이 1이 되기를 원한다면 x - 1 = 2 이므로 x = 3이 됩니다 (y - 2)/3 = 1이라면 5 - 2 = 3이니까 y = 5가 되고요 마찬가지로 7 - 3 = 4니까 z = 7이죠 (1,2,3)과 (3,5,7)은 서로 다른 점이고 모두 직선상에 있어요 이번엔 평면 위의 두 점을 구해봅시다 사실 평면 위의 점 하나만 알아도 됩니다 만약 점 3개를 알고 있다면 서로 스칼라배가 아니면서 평면에 대한 법선을 구하기 충분한 서로 다른 벡터 2개를 구하는데 용이하기 때문이죠 그럼 이제 한 점만 더 알아내면 되겠네요 이 항들이 모두 0이 되려면 (2,3,4)가 되겠죠 이 점은 평면 위에 있고 동시에 자홍색 직선 위에도 있는 거에요 이 점은 평면 위에 있고 동시에 자홍색 직선 위에도 있는 거에요 서로 배수가 아닌, 평면 위의 두 벡터를 구하기 위해 앞의 3개의 점들을 사용해 봅시다 그 후 파란 평면에 대한 법선벡터를 구하기 위해 두 벡터의 외적을 구해봅시다 평면 위의 첫번째 벡터를 a라고 합시다 이 두 점에 대한 위치벡터의 차는 평면 위에 있다는 것을 알고 있습니다 그래서 (3 - 1 = 2)i, (5 - 2 = 3)j, (7 - 3 = 4)k 가 되는 거죠 두 점이 초록색 직선상에 있으므로 벡터 a 또한 초록색 직선상에 있는 것입니다 만약 그게 평면에 있거나 이 점들 중 하나에서 시작했더라도 벡터 a는 초록색 선에 있을 거에요 다른 벡터를 만들어 봅시다 그 벡터는 초록색 직선상의 한 점과 자홍색 직선상의 한 점 사이에 있지만 파란 평면 위에 있는 것은 명백하죠 두 점으로 다른 벡터도 구해봅시다 벡터 b라고 부를게요 벡터 b도 마찬가지로 (2 - 1 = 1)i, (3 - 2 = 1)j, (4 - 3 = 1)k가 됩니다 따라서 이 벡터 또한 평면 위에 있습니다 이제, 벡터 a와 b를 외적한다면 그 평면에 수직한 벡터, 혹은 법선 벡터를 얻게 될거에요 a×b 의 값이 무엇인지 구해봅시다 어떻게 쉽게 구하는지 알려줄게요 일단 단순히 i, j, k를 적습니다 이건 외적의 정의대로 하는 거죠 먼저 첫 번째 벡터인 (2,3,4)를 적어요 두 번째 벡터인 (1,1,1)도 마찬가지로 적습니다 먼저 i를 봅시다 외적을 계산합니다 그러면 (3×1 - 4x1 = -1)i 이고 j를 해보자면, 먼저 -를 적어주세요 앞에 붙여둘게요 계산하면 2x1 - 4x1 = -2가 되죠 따라서 -2를 적습니다 그런데 - 가 있으므로 상쇄되어 +2가 되겠네요 마지막으로 k에 대해서 2x1 - 3x1 = -1이 됩니다 즉 -k가 됩니다 이게 바로 평면의 법선벡터가 됩니다 이 평면의 방정식을 찾는건 많이 해봤듯이 평면의 법선벡터와 임의의 x, y, z에 대하여 대응하는 임의의 벡터를 내적하면 됩니다 지난 동영상에서 여러 번 해봤었죠 만약 이 점이 평면 위의 임의의 점이라면 벡터를 그려봅시다 이 점으로 향할 때 벡터는 이렇게 되고 반대로 그리면 이렇게 됩니다 이 점과 (x,y,z)로 만들어진 벡터는 (x-3)i + (y-5)j + (z-7)k가 됩니다 이 점과 (x,y,z)로 만들어진 벡터는 (x-3)i + (y-5)j + (z-7)k가 됩니다 이 벡터는 평면 위에 있고 (x,y,z)도 평면 위에 있다고 할 수 있습니다 이제 법선벡터와 이 벡터를 내적해보면 0이 될 것입니다 이 벡터가 평면 위에 있기 때문이죠 따라서 방정식을 세울 수 있어요 내적한 식을 써보면 다음과 같아요 혼란스럽다면 지난 강의에서 깊게 다뤘으니 참고하세요 특히 선형대수학 강의에서 평면 위의 한 점이 주어졌을 때 평면의 방정식부터 법선벡터까지 구하는 방법이 나와있어요 따라서 복습을 위해 그 강의를 봐도 됩니다 이 식이 0이 되니까 법선벡터와 내적한다면 (x - 3) x (-1) = -(x - 3)이므로 (3 - x)로 나타낼 수 있어요 2 x (y - 5) = 2y - 10이 되고 마지막으로 7 - z가 됩니다 우린 무엇을 얻었죠? 정리해보면 - x + 2y - z가 있고 양변에 3을 빼고 10을 더한 뒤 7을 빼면 양변에 3을 빼고 10을 더한 뒤 7을 빼면 우변은 -3 + 10 - 7 = 0이 됩니다! 파란 평면의 방정식이 나왔습니다 이 평면은 이 두 직선을 포함합니다 처음에 무엇을 구하고자 했는지 기억해봅시다 두 평면은 평행하므로 x항, y항 및 z항의 계수의 비율은 동일해야 합니다 아래 평면의 y의 계수는 +2이고 위 평면은 -2 입니다 단순화하면 둘은 서로 비슷합니다 아래의 식 양변에 -1을 곱하면 다음과 같은 식이 나옵니다 타당한 방법으로 같은 평면을 다른 방식으로 나타낸다고 할 수 있죠 -1을 곱한 이 식은 위의 평면 방정식과 유사해요 적어도 두 식의 x, y, z끼리의 비율은 -2y와 -2y, z와 z 같이 일정해야 합니다 적어도 두 식의 x, y, z끼리의 비율은 -2y와 -2y, z와 z 같이 일정해야 합니다 따라서 z와 z의 계수들 간의 비율은 일대일이고 y의 계수, 그리고 x의 계수들 간의 비율도 일대일이 될 것입니다 즉 파란 평면과 평행하니까 A의 값도 동일하게 1이 되는 거죠 원래의 식은 다음과 같으므로 이제 두 평면 사이의 실제 거리를 구해봅시다 먼저, 파란 평면 위의 점을 알아야 합니다 이미 파란 평면 위의 점들을 여러 개 알고 있죠 이제 그 점과 평면 사이의 거리를 구합니다 사실 이전 강의에서 점과 평면 사이의 거리를 어떻게 구하는지 설명했으므로 공식을 써 봅시다 (증명하고 싶다면 이전 강의를 듣도록 합니다 꽤 재미있는 증명이에요) 거리를 구하기 위해 점 (1,2,3)을 선택할게요 거리는 이 법선의 방향을 보면 알 수 있습니다 이러한 방식으로 구합니다 분자를 구해봅시다 식의 x, y, z에 점을 대입한 뒤 d를 빼줍니다 거리를 구하는 공식에서 이런 형태를 볼 수 있습니다 지금 점 (1,2,3)을 사용하는 중입니다 (1 x 1 = 1) - (2 x 2 = 4) + (1 x 3 = 3) - d 를 계산합니다 (1 x 1 = 1) - (2 x 2 = 4) + (1 x 3 = 3) - d 를 계산합니다 분모에 해당하는 법선 벡터의 크기는 여러 강의에서 보았듯이 각 항의 계수를 제곱하여 다 더한 후 제곱근을 취하면 됩니다 1² = 1, (-2)² = 4, 1² = 1이 되네요 이제 이 식을 계산하면 분자는 1 - 4 + 3 = 0이 됩니다 따라서 -d만 남게되고 분모는 √(1+4+1)로 √6이 됩니다 그러므로 평면 사이의 거리는 √6입니다 이것이 바로 여기 이 정보가 의미하는 바입니다 다른 색으로 해야겠네요 두 평면 사이 거리는 √6이고 d를 풀어보겠습니다 방정식의 양변에 √6을 곱하면 -d = 6이 나옵니다 즉, d = -6 입니다 신경써야할 부분은 d의 절댓값이에요 따라서 거리값의 기호는 평면의 위에 있는지 아래에 있는지 알려줍니다 평면 아래에서 계산하였으니 음수가 나온 것이고 위에서 계산했다면 양수가 나왔을 거에요 그래서 거리는 -6이 되고 절댓값은 6이 되요 그러므로 파란 평면 위의 한 점과 이 점에서 가장 가까운 주황 평면에서의 한 점 사이의 거리는 정확히 6일 것입니다 어쨌든 이 영상을 보고 흥미를 느꼈길 바라요