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이번 수업에서는 평면상에 있지 않은 또는 반드시 평면상에 있지 않은 점에 대해 알아봅시다 점을 하나 그리고 이 점을 (x0, y0, z0)라 합시다 위치벡터로 표현할 수도 있습니다 이렇게 위치벡터를 그릴 수 있겠죠 위치벡터는, 점선을 다시 그리도록 하죠 위치벡터는 x0i+y0j+z0k 의 식을 가지겠네요 이 좌표를 가르킵니다 여기 이 점과 평면 사이의 거리를 구해보도록 합시다 물론 당연히 여러가지 거리가 존재하겠죠 이 점으로부터의 거리 또는 이 점으로부터의 거리 등등이 될 수 있겠죠 하지만 거리를 구한다고 할 때는 보통 최단거리를 의미하는 것입니다 평면에 수직할 때 최단거리를 구할 수 있을 것입니다 그 거리를 구하면서 시각적으로 확인할 수 있는지 한 번 봅시다 먼저 우리가 할 수 있는 것은 평면상에 존재하지 않는 점과 평면상에 존재하는 점 사이에 어떠한 벡터를 생성해보는 것입니다 지난 강의에서도 사용했던 평면상의 점은 (xp, yp, zp) 가 있죠 그렇다면 벡터를 만들어봅시다 평면상에서 시작하여 그 꼬리는 평면에 있고 평면 밖으로 벗어나는 주황색 벡터를 그려봅시다 주황색으로 그리고 싶네요 (x0, y0, z0)의 좌표로, 평면 밖으로 벗어납니다 이 벡터는 어떻게 표현할 수 있을까요? 이 벡터는, 이것을 뭐라고 부를까요? 안 쓴 알파벳이 뭐가 있죠? 벡터 f라고 해봅시다 벡터 f는 노란색 위치벡터에서 초록색 위치벡터를 뺀 것과 같습니다 그러므로 이 벡터의 x 성분은 x 좌표의 차이가 될 것이고 y 성분은 y 좌표의 차이가 될 거에요 그러므로 (x0-xp), x 좌표끼리 뺐습니다, (x0-xp)i (x0-xp)i+(y0-yp)j+(zo-zp)k (x0-xp)i+(y0-yp)j+(zo-zp)k 이러한 식이 되겠죠 이 평면으로부터 시작해서 이 점으로 이어지는 벡터입니다 우리가 구하고 싶은 것은 이 거리입니다 노란색으로 된 이 거리 평면에서 이 점으로 수직으로 뻗은 이 거리를 구하고 싶은 것이죠 이제 시각적으로도 확인할 수 있습니다 여기 보면, 직각삼각형이 생기는데 이 직각삼각형의 밑변이 평면과 맞닿아있기 때문이죠 이 변은 평면에 수직합니다 그러므로 이것은 직각입니다 평면상의 임의의 또 다른 점을 고른다면, 직각삼각형의 빗변을 형성할 것입니다 분명하게도, 평면으로 가는 가장 짧은 거리는 빗변이 아닌 이 거리겠지요 이 변은 빗변보다 항상 짧습니다 이 벡터가 주어졌다고 할 때 이 길이는 어떻게 구할까요? 파란색의 이 거리는 어떻게 구할까요? 이 벡터의 크기를 구할 수 있겠죠 이 변의 길이는 벡터의 크기가 될 것입니다 벡터 f의 크기를 알면 이 길이도 알 수 있습니다 하지만 우리는 파란색의 길이를 알고 싶은 것이죠 생각해봅시다 이 각이 어떠한 각도일 때, 글씨가 너무 작죠 이 각이 θ라는 각도일 때, 삼각함수를 써서 구할 수 있겠죠 우리가 구하려는 길이가 d라고 할 때 cos(θ)은, 인접한 면의 길이를 빗변 길이로 나눈 것과 같겠군요 cos(θ)=d, d는 인접한 면의 길이입니다, cos(θ)=d/빗변의 길이 로 쓸 수 있겠습니다 빗변은 이 벡터의 크기라고 했죠? 벡터 f의 크기입니다 이렇게도 쓸 수 있겠네요 벡터 f의 크기 |f|xcos(θ), 양쪽을 벡터 f의 크기로 곱하고 있을 뿐입니다, |f|xcos(θ)=d 여러분은 이렇게 질문할 수도 있겠네요, f는 구할 수 있어요 f의 길이는 구할 수 있지만 θ가 무엇인지 모르는 걸요 θ는 어떻게 구할 수 있을까요? 조금만 생각해봅시다 각도 θ는 이 각도와 같을 거예요, 그러니까 이 길이는 법선벡터의 길이와 항상 같을 필요는 없을 것입니다 하지만 분명히 같은 방향을 향합니다 그러니까 이 각도는 이 벡터와 법선 벡터 사이의 각도와 같을 것입니다 선형대수학에서 예전에 배운 것을 상기해보면 두 벡터를 내적할 때 두 벡터들이 이루는 각도의 코사인과 관련된 무엇인가가 있었다는 것을 기억할 것입니다 여러분의 기억을 상기시키는데 도움이 되게 위해서 식의 양쪽을 곱하고 나누어보도록 하죠 왼쪽에 있는 식을 법선 벡터의 크기로 곱하고 나누겠습니다 당연히 값이 변하는 것은 아닙니다 똑같은 수로 곱하고 나누는 것입니다 법선 벡터의 크기로 곱하고 법선 벡터의 크기로 다시 나눠봅니다 실질적으로 그냥 1을 곱하는 것과 같겠죠 그래서 변한 것은 없습니다 하지만 이렇게 해보면 뭔가 떠오를지도 모르겠네요 이 부분이 바로 법선벡터와 여기 이 벡터 f의 내적을 의미하겠죠 이 부분이 바로 내적값을 나타내고 있네요 n·f 로 바꿔쓸 수 있겠죠 두 벡터의 크기와 벡터 사이의 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같습니다 그러므로 거리, 우리가 구하려는 최단거리는 이 벡터와 법선벡터의 내적값을 법선벡터의 크기로 나눈 것과 같습니다 한 번 풀어보도록 하죠 법선벡터와 이 벡터을 내적하도록 합시다 지난 강의에서 이미 평면의 방정식이 있을 때 법선벡터는 단순히 x, y, z 항의 계수를 따오면 된다고 했었습니다 그러므로 이것이 법선벡터가 되겠네요 내적을 해봅시다 n·f=A(x0-xp) 분홍색으로 써볼게요 n·f=Ax0-Axp... 더하기 B 곱하기 y 요소들이므로 n·f=Ax0-Axp+By0... n·f=Ax0-Axp+By0-Byp... 더하기, 이것 역시 다른 색으로 써볼게요 더하기 C 곱하기 z 요소들 n·f=Ax0-Axp+By0-Byp+Cz0-Czp 이 식을 법선벡터의 크기로 나누면 되겠죠 법선벡터의 크기는 그렇다면 어떻게 구할 수 있을까요? 법선벡터 자신과 내적한 값의 제곱근이 될 것입니다 그러니까 여기 각각의 계수를 제곱하여 더한 후 제곱근을 구하면 되겠죠 그것은 근호를 다시 그리겠습니다, A² A²+B²+C² 의 제곱근이겠네요 이 위에 있는 것은 어떻게 정리될 수 있을까요? 다시 써보면 이것은 우리가 구하려는 거리입니다 이 전체를 d로 둘 수 있죠 간소화 할 수 있는지 봅시다 x0로 이루어진 항을 먼저 살펴보도록 하죠 이 항들은 평면을 벗어나는 점을 의미합니다 기억하세요, (x0, y0, z0)는 평면 밖의 점이었습니다 Ax0+By0+Cz0 로 묶어쓰겠습니다 이 항들은 무엇과 같을까요? 이 항들이 무엇이죠? -Axp-Byp-Czp 이 식을 다시 살펴보면, 평면의 방정식에서의 D는, 지난 강의에서, 우리가 평면에 관한 법선벡터의 식을 구하고자 했을 때, 만약 이 점 xp가 평면상에 존재한다면 D는 Axp+Byp+Czp와 같다고 했었죠 다시 말하면, -D는 -A, 이것은단지 소문자와 대문자의 차이죠? 여기 소문자 a가 대문자 A와 같다고 말하고 있는 것입니다, 그러므로 -D=-Axp-Byp-Czp 가 되겠습니다 지난 강의에서 알아낸 것을 사용하고 있을 뿐이에요 이것이 D 이므로, -D는 이렇게 되겠습니다 여기 바로 이 식입니다 -Axp-Byp-Czp 그러므로 이 모든 항이 -D로 단순화되겠죠? 그리고 여기 대문자 -D는 평면의 방정식에서의 D이지 거리를 나타내는 d가 아닙니다 아무튼 이것이 우리가 찾고자 하는 거리의 분자가 되겠네요 분모도 구해보면 A²+B²+C²의 제곱근이라고 했었습니다 그럼 끝났죠? 이 식이 임의의 점과 임의의 평면 사이의 거리를 알려줍니다 꽤 직관적인 공식입니다 왜냐하면 우리가 푼 것은, 예시를 들어 설명하도록 하죠 어떠한 평면이 있다고 합시다 이 평면의 방정식은 1x-2y+3z=5라고 합시다 1x-2y+3z=5라고 합시다 평면상에 존재하지 않는 어떤 점을 골라보도록 하죠 어떠한 점 (2, 3, ...)이 있다고 합시다 이 점이 평면상에 존재하지 않는다는 사실을 확실히 해보면 2-6은 음수, 네 이 점은 평면상에 존재하지 않겠군요 (2, 3, 1)이라고 합시다 이 점은 확실히 평면상에 존재하지 않습니다 평면의 방정식에 대입해보면 2-6+3 즉, 5가 아니라, -1가 되기 때문이죠 이 점은 그러므로 확실히 평면상에 존재하지 않아요 이 점과 평면상의 거리를 우리가 유도한 공식을 이용하여 구해보도록 합시다 말그대로 대입하여, 1 곱하기 2가 되겠죠 다른 색으로 쓰겠습니다, 1·2-2· , 채워넣는 방식으로 쓰도록 하죠 1·2-2· +3· -5 전체를 나누는 것이죠 빈 부분을 채워 넣으면 1·2-2·3+3·1 1·2-2·3+3·1-5, 5는 오른쪽에서 왼쪽으로 넘겨주세요 이 전체를 1+ 1+4+9 의 제곱근으로 나눕니다 그러므로 이 식은, 2 빼기 6 아니면 2 더하기 -6 더하기 3 빼기 5가 되겠죠 그럼 뭐가 나오죠? 이렇게 더하면 5죠 2+3-5 이 부분은 상쇄되겠네요 그러므로 -6이 남을 거에요 -6을 14의 제곱근으로 나누게 되겠네요 14의 제곱근으로 나누면, 끝입니다 도움이 되었으면 좋겠네요 다른 예시 문제들이 적용해볼 수 있었으면 좋겠습니다