벡터의 내적과 벡터의 길이

벡터들을 가지고 가능한 몇 가지 연산들에 대해서 알고있죠 벡터들을 더하는 방법에 대해서 정의하였고 다음과 같이 이야기 할 수 있습니다 만일 a1, a2부터 an까지의 값을 가지는 벡터와 더하고자 하는 다른 벡터 b1, b2부터 bn까지의 값을 가지는 벡터가 있습니다 그리고 이 두 벡터를 가지고 세 번째 벡터를 만든다면 이 벡터를 만들기 위해 덧셈 연산을 사용할 수 있습니다 세 번째 벡터의 성분은 단순히 두 벡터들의 대응되는 성분들을 서로 더하는 것으로 만들 수 있습니다 따라서 a1 + b1, a2 + b2 계속해서 an + bn까지 더합니다 이미 알고 있는 사실이죠 벡터의 덧셈에 대한 강의에서 이미 정리하였습니다 또한 스칼라 곱에 대해서도 알고 있습니다 이러한 것을 스칼라 곱이라고 부를겁니다 이 경우처럼 만일 어떤 실수 c를 어떤 벡터 a1, a2, ... , an에 곱한다면 벡터의 스칼라곱은 다음과 같이 정의됩니다 벡터와 어떤 스칼라의 곱은 기본적으로 벡터의 각 성분에 스칼라를 곱하는 것입니다 벡터의 각 성분에 스칼라를 곱하는 것과 같습니다 ca1, ca2, ... , can 이런 식으로 말이죠 그다음 이 두 연산을 보면 이것은 두 벡터를 곱하는 방법이 아니지 않냐고 할 것입니다 이는 단지 한 벡터를 스칼라배 한 것일 뿐입니다 즉, 단순히 크기만 키운거죠 그리고 이를 3차원 공간 혹은 그 이하의 차원에서 시각화해보면 이러한 것이 실제로 어떤 효과가 있는지 보다 명확하게 알 수 있습니다 단순히 벡터의 크기를 키우는 겁니다 그러고 보니 정확한 사이즈도 가지고 있지 않군요 그러나 적어도 이 연산에 대해서는 이해할 수 있을 것입니다 벡터의 곱 혹은 그 결과 만들기 위한 방법은 두 가지 있습니다 여기서는 그 중 하나의 방법을 정의하겠습니다 바로 내적입니다 내적은 a·b로 표현합니다 곱셈기호 중 하나를 따온 것인데요 여기서 십자 형태의 기호는 사용할 수 없습니다 그 기호는 다른 벡터의 곱셈에 사용되기 때문입니다 내적은 매우 흥미롭습니다 외적과는 다르게 수학적으로 상당히 간단하거든요 재밌지만 아주 흥미로운 녀석이죠 왜냐하면 예를 들어 벡터 a1, a2, ... , an이 있다고 합시다 그 벡터와 벡터 b를 내적합니다 벡터 b는 b1, b2, ... , bn 이죠 내적의 결과는 대응하는 성분끼리의 곱과 같을 것입니다 그러므로 a1 × b1 + a2 × b2 + ... + an × bn 이 됩니다 그러므로 a1 × b1 + a2 × b2 + ... + an × bn 이 됩니다 이게 무엇일까요? 벡터인가요? 아닙니다 단순한 실수입니다 그저 실수끼리 곱하고 더하는 과정입니다 따라서 그 결과는 실수값이 됩니다 그러므로 내적은 두 벡터를 곱하여 그 결과 스칼라 값을 가지게 됩니다 이와 같은 몇 가지 예시를 보여드리자면 살짝 추상적일 수도 있습니다 벡터 (2, 5)와 벡터 (7, 1)을 내적한다고 합시다 그 결과는 2 × 7 + 5 × 1 즉, 14 + 6 입니다 아, 미안합니다 14 + 5 = 19가 됩니다 그러므로 이 두 벡터의 내적값은 19입니다 예시 하나 더 들어봅시다 비록 꽤 간단한 아이이디어지만 말이죠 연보라색으로 해보죠 자, 벡터 (1, 2, 3)을 벡터 (-2, 0 ,5)와 내적하면 1 × (-2) + 2 × 0 + 3 × 5 그러니까 -2 + 0 + 15 이므로 -2 + 15 = 13 입니다 이것이 바로 내적의 정의입니다 그럼 여기서 바로 또 다른 정의를 보죠 벡터의 길이에 대해 정의하겠습니다 우선 어떠한 것의 길이가 무엇인지는 알고 있습니다 어렸을 때부터 해왔으니까요 도대체 왜 대학까지 와서 배워야 하나요? 대학생이 아닌 학생도 있겠지만 말이죠 하지만 지금 대학 수준의 강의에서 길이에 대한 정의를 고민해야 합니다 3차원 공간을 넘어서 사용하도록 이를 추상화하여 표현할 수 있게 하기 위함입니다 50개의 성분을 가진 벡터를 추상화 할 것이고 길이에 대한 정의는 50개의 성분을 가진 벡터에서도 만족하고 제대로 작동할 것입니다 그리고 이 길이에 대한 정의는 우리가 아는 길이의 정의와 일관된 것입니다 그러므로 만약 벡터 a에 대한 길이를 표현한다면 이 두 줄을 벡터의 좌우에 두면 됩니다 이 벡터 a의 길이는 다음 정의와 같습니다 이는 각각의 성분을 제곱하고 모두 더한 값의 제곱근과 같습니다 이와 같이 a2² + ... + an² 까지 더합니다 꽤 간단하지 않나요 만일 이 벡터를 b라 하고 벡터 b의 크기를 여기에 적으려면 어떻게 해야할까요? √2²+5² 라고 적으면 됩니다 계산하면 어떻게 되나요 4 + 25 29의 제곱근이 됩니다 그리고 이 값은 이 벡터의 길이입니다 그리고 이 수식을 보면 우리가 이미 알고있는 피타고라스 정리의 형태 입니다 만일 벡터 b를 그린다면 여기에 벡터 b를 그려봅시다 여기 x-y 좌표축이 있습니다 벡터 b를 다음과 같이 일반적인 방식으로 그려봅시다 오른쪽으로 2만큼 1,2 그리고 위쪽으로 5만큼 1,2,3,4,5 그러면 다음과 같이 됩니다 벡터 b는 다음과 같이 생겼군요 그리고 우리가 알고 있는 피타고라스의 정리를 사용해봅시다 만일 R²에 속한 이 벡터의 길이를 계산하려 하거나 이러한 2차원 공간에 그리고자 한다면 이쪽으로 2만큼 이쪽으로 5만큼의 길이를 가지므로 이 길이는 피타고라스 정리에 따라서 2의 제곱과 5의 제곱의 합의 제곱근이 됩니다 이 위에서 한 방법과 동일합니다 그러므로 이러한 길이에 대한 정의는 1,2, 3차원 공간에서는 원래 알고 있던 길이를 측정하는 방법과 완벽하게 일치합니다 하지만 이 식의 유용한 점은 50개의 성분을 가진 벡터의 길이에 대해서도 생각할 수 있다는 것입니다 이미 알고 있는 방식으로 이를 시각화 하여 표현하는 것은 말도 안되는 일이죠 하지만 이 길이에 대한 개념을 적용하면 기존에 알고 있는 일반적인 경우들을 넘어서서 추상화 할 수 있습니다 그러면, 길이를 내적과 연관지을 수 있을까요? 만일 자기 자신과 내적을 한다면 어떤 일이 일어날까요? 즉, a · a는 무엇일까요? 다음과 같습니다 a1, ... , an과 a1 ... , an을 내적합니다 그러면 a1 × a1 = a1² 입니다 여기에 a2 × a2를 더합니다 즉, a2² 이죠 이런식으로 계속해서 an × an, 즉 an²를 더합니다 어떻게 되나요? 이것은 여기 루트의 아랫부분에 있는 것과 동일합니다 이 둘은 서로 동일합니다 그러므로 길이에 대한 정의 즉, 벡터의 길이에 대한 정의를 내적을 이용하여 표현할 수 있습니다 스스로 내적한 값의 제곱근이 되는 것이죠 또한 양쪽을 제곱하면 새로운 길이에 대한 정의를 쓸 수 있습니다 길이의 제곱은 벡터 a와 그 자신을 내적한 것과 같습니다 이는 대부분 매우 쉽게 증명할 수 있으며 또한 이는 매우 정리된 결과이고 이후 강의에서도 유용하게 쓰일 것입니다 이번 시간에는 내적이란 무엇인지 그리고 길이란 무엇인지 설명하였습니다 다음 시간에는 이에 대한 여러가지 성질들을 보도록 하죠 대부분 평범하겠지만 모든 성질들을 알고 싶어요 그러면 후에 증명에서 쓰일 것입니다