벡터의 외적이란?

지금까지 꽤 많은 시간동안 내적을 배웠습니다 하지만 처음에 내적은 벡터 곱셈의 한 종류라고 이야기했습니다 다른 한 종류는 벡터 미적분학 또는 물리학에 자주 등장하는 외적입니다 외적입니다 하지만 외적은 내적보다 상당히 제한적입니다 유용하지만 한정적입니다 내적은 어느 차원에서든지 정의가 되어있습니다 따라서 Rn에 있는 임의의 두 벡터에 대하여 정의되어 있습니다 성분이 두 개인 벡터에 대해 내적을 취할 수 있습니다 성분이 백만 개인 벡터에 대해서도 내적을 취할 수 있습니다 외적은 오직 R3에서만 정의됩니다 나머지 중요한 차이는 내적입니다 정의되지 않은 내적을 정의할 때 한번 알아보겠습니다 내적의 결과는 스칼라입니다 두 벡터에 내적을 취합니다 그냥 숫자가 나오겠죠 하지만 외적에서는 또 다른 벡터가 나옵니다 그리고 나오는 벡터는 외적을 취할 두 벡터에 대해 모두 직교할 것입니다 여러분이 지금 기대감에 부풀어 있으니 정의를 내리도록 하겠습니다 아마 수학공부를 하면서 한두 번은 봤을 것입니다 벡터 a가 있습니다 이 벡터는 R3에 존재해야 하므로 성분이 세 개입니다 a₁, a₂ 그리고 a₃가 있습니다 그리고 이 벡터를 벡터 b와 외적합니다 벡터 b도 성분이 b₁, b₂ 그리고 b³ 이렇게 세 개입니다 a x b 는 세 번째 벡터에 의해 정의됩니다 지금 하는 것이 이해하는데 이상하고 어려울 수 있습니다 정의이기 때문이지요 벡터를 열 형식으로 썼을 때 어떻게 하는지 알려주겠습니다 물리학 강의목록을 보면 외적에 관한 동영상이 여러 개 있습니다 그리고 i, j, k 형식일 때 외적에 대하여 알아보도록 합니다 하지만 첫 번째 항은 다른 벡터 세 개 혹은 R3의 또 다른 벡터이므로 항이 1, 2, 3개 있습니다 첫 번째 항에 대해서 이 벡터의 위쪽 두 항을 건너뛰고 아래쪽 두 항을 확인합니다 그러면 첫 번째 항의 식은 a₂ × b₃ - a₃ × b₂ 입니다 비록 선형대수학 강의목록에 공식적으로 포함하지는 않았지만 행렬식에 관한 동영상을 몇 개 만들었습니다 그러나 행렬식을 정의하거나 2×2 행렬의 행렬식을 취할 때 여인수 항을 구한 적 있다면 아마 이와 상당히 비슷할 것입니다 이 첫 번째 항은 사실 행렬식입니다 벡터들의 첫 번째 행을 빼고 a₂ × b₃ - a₃ × b 를 취합니다 따라서 첫 번째 항은 a2 × b3 - a3 × b₂ 입니다 꽤 간단하네요 이제 더 이상 복잡하게 만들지 않기 위해 두 번째로 해야 하는 것은 가운데 행을 구할 때 교차시키는 것입니다 그러므로 식 a₁ × b₃ - a₃ × b₁ 이 가장 자연스러울 것입니다 왜냐하면 위에서 한 방식이니까요 하지만 가운데 행은 반대입니다 식 a₃ × b₁ - a₁ × b₃가 맞습니다 여러분이 만든 식에 음수를 취했다고 볼 수 있습니다 아마 a₁ × b₃ - a₃ × b₁을 만들었을 것입니다 하지만 a₃ × b₁ - a₁ × b₃를 만들 것입니다 이는 오직 가운데 행만 해당됩니다 그리고 마지막 행에서 위와 같이 항을 교차시키고 건너뛰면서 계산합니다 첫 번째 행에서 했듯이 a₁ × b₂를 계산합니다 a₂× b₁이므로 - a₂ × b₁ 입니다 외우기 상당히 힘들어 보이네요 이것이 바로 앞서 말했던 시스템을 도입해야하는 이유입니다 꽤나 이상하고 어려워 보일 수 있습니다 따라서 R3에서의 내적의 정의를 이해할 수 있도록 몇 가지 예제를 함께 풀어보겠습니다 어떤 벡터가 있습니다 그 벡터를 외적하고 있다고 합시다 벡터 (1, -7, 1)이 있습니다 이 벡터를 벡터 5, 2, 4와 외적하겠습니다 그러면 세 번째 벡터가 될 것입니다 공간을 조금 만들어야겠네요 이 벡터의 첫 번째 원소에 대해서 이 벡터들의 첫번째 성분을 건너뜁니다 그러면 -7 × 4 - 1 × 2가 나옵니다 이건 그냥 평범한 곱셈입니다 내적을 취하지 않았습니다 이들은 그냥 평범한 숫자들입니다 가운데 항에 대해서는 여기 가운데 항을 건너뜁니다 그 후 반대로 계산합니다 1 × 5 - 1 × 4 입니다 기억하세요! 아마 1 × 4 - 1 × 5가 나왔을 것입니다 왜냐하면 첫 번째 항에서 이런 방식으로 했기 때문이죠 하지만 가운데 항은 반대입니다 마지막으로, 세 번째 항에서 여기 세번째 항을 건너뜁니다 그리고 첫 번째 항에서 했던 것처럼 하면 됩니다 좌측 상단에서 시작합니다 1 × 2 괄호를 치겠습니다 - (-7) × 5 어떻게 되는지 보시죠 무엇이 나올까요? -7 × 4 여기서 실수를 하고 싶지 않네요 -28입니다 -2 즉, 첫 번째 항은 -30입니다 이 항은 5 - 4네요 5 - 4는 그냥 1입니다 그리고 2 - (-35) 2 - (-35) 이것은 2 + 35 입니다 37이죠 자, 나왔네요 다행히 최소한으로 외적하는 방법을 이해했네요 다음 것도 잘할 수 있습니다 좋아요 두 벡터의 외적을 구할 수 있습니다 이게 어디에 좋을까요? 무슨 도움이 될까요? 그 대답은 바로 여기 있는 세 번째 벡터가 추상적인 경우인지 숫자를 다루는 경우인지 상관없이 외적을 취하는 두 벡터에 직교한다는 것에 달려있습니다 따라서 이 벡터는 a와 b에 직교합니다 상당히 멋지네요 평면의 법선 벡터에 대한 저번 동영상을 떠올린다면 두 벡터에 의한 평면을 정의할 수 있습니다 만약 평면을 정의한다면 여기에 벡터 a와 벡터 b가 있다고 합시다 벡터 b는 이렇습니다 이 둘은 R3에서 한 평면을 결정합니다 평면을 정의해 봅시다 이 두 벡터의 모든 선형 결합은 R3안에 있는 평면입니다 두 벡터가 R3의 부분공간을 형성하는 것으로도 볼 수 있죠 그것은 평면을 형성합니다 만약 a x b를 취한다면 이 두 벡터와 직교하는 세 번째 벡터를 얻게 됩니다 그러면 a x b는 이렇게 나올 것입니다 그 벡터는 이 두 벡터 모두와 직교할 것이고 이렇게 보일 것입니다 따라서 여기 있는 이 벡터가 a x b 입니다 수직인 벡터는 여러 개 있습니다 확실하게 벡터의 길이를 명시하진 않았지만 이 벡터는 이렇게 위로 튀어나올 수도 있었거나 쉽게 생각해볼 수 있듯이 저렇게 아래로 튀어나올 수도 있었습니다 그렇지 않은 이유는 무엇인가요? 그 벡터 또한 a와 b에 대해 수직일 것입니다 그리고 a x b가 정의된 방식에서 오른손 법칙이라는 것을 이용하여 시각적으로 방향을 알아낼 수 있습니다 이 법칙은 다음과 같이 적용됩니다 일단 여러분의 오른손을 가져옵니다 알맞은 오른손을 그릴 수 있는 지 보죠 검지를 a 방향으로 향하게 하십시오 검지가 a 방향에 있으면 중지를 b 방향으로 가리킵니다 따라서 중지는 이렇게 될 것입니다 중지는 이렇게 됩니다 그리고 다른 손가락들은 내버려 둡니다 그렇다면 엄지는 a x b 방향을 가리킬 것입니다 여기서 확인할 수 있습니다 엄지는 a x b 방향을 가리킵니다 여러분이 저와 해부학상 비슷하다고 가정하면 같은 결과를 얻을 수 있을 것입니다 한번 그려보겠습니다 이것이 벡터 a 입니다 벡터 b는 이 방향입니다 다행히 엄지는 늘어져있지 않네요 이 예제에서 a x b가 위를 향하는 것과 두 벡터 모두에 수직이라는 것을 알고 있습니다 이 벡터가 명백히 수직이거나 두 벡터에 수직이 된다는 사실을 받아들일 수 있도록 이를 여러모로 활용해 봅시다 그럼 분명한 사실이라는 것을 알 수 있을거에요 직교란 무엇인가요? 여기서 직교의 정의는 무엇입니까? 직교 벡터 만약 a와 b가 직교한다면 a와 b의 내적이 0이라는 것을 의미합니다 기억하세요 직교와 수직의 차이는 직교가 영벡터에도 적용이 된다는 사실입니다 따라서 이들은 영벡터도 될 수 있습니다 주의하세요 여기 이 값들이 0이 아니어야 한다고 한 적이 없습니다 자, 잠깐 벡터 사이의 각도에 대해 알아볼 것입니다 0이 아니라고 가정합시다 하지만 만약 외적을 취한다면 방해되는 요인은 없습니다 이 값들이 0이 안되는 이유는 없습니다 하지만 a x b가 명백하게 a와 b에 모두 직교한다는 것을 보여드리겠습니다 아마 여러분이 어느 정도 만족할 것 같습니다 그러면 여기에 a x b를 복사하도록 하겠습니다 다시 쓰기는 귀찮으니까요 좋습니다 이걸 붙이겠습니다 이것을 벡터 a와 내적을 해보겠습니다 벡터 a는 (a₁, a₂, a₃)였죠 그러면 내적은 어떻게 생겼나요? 이 항은 이렇게 곱해집니다 공간을 좀 확보하겠습니다 이것은 a₁ × a₂ × b₃ - a₁ × a₃ × b₂ 입니다 그리고 이 항과 이 항의 곱을 더합니다 즉, + a₂ × a₃ × b₁ - a₂ × a₁ × b₃ 입니다 마지막으로 아래에 이어서 하겠습니다 + a₃ × a₁ × b₂ - a₃ × a₂ × b₁ 입니다 지금까지 한 것은 그저 교차시킨 것입니다 두 벡터를 내적한 것입니다 그냥 내적을 취한 것이지요 두 벡터의 첫 번째 항의 곱은 이 두 항들과 같습니다 두 번째 항끼리의 곱은 다음 두 항들과 같습니다 그리고 세 번째 항끼리의 곱은 그 다음 두 항들과 같았습니다 만약 두 벡터가 실제로 직교한다면 이건 0이 될 것입니다 자, 어떤 상황인지 한 번 봅시다 양의 값인 a₁ × a₂ × b₃가 있습니다 그리고 여기 있는 같은 식을 뺍니다 이 식은 a₁ × a₂ × b₃와 같지만 음의 값을 가지네요 따라서 이 식을 삭제하겠습니다 한 번 봅시다 또 뭐가 있나요? - a₁ × a₃ × b₂가 있습니다 여기에는 + a₁ × a₃ × b₂가 있기 때문에 이 둘은 삭제되네요 그러면 이 식이 어떻게 되는지 확인해 봅니다 양수값 a₂ × a₃ × b₁이 있고 음수값 - a₂ × a₃× b₁이 있습니다 따라서 이들은 서로 지워집니다 지금까지 이것이 a와 직교한다는 것을 보여주었습니다 그러면 이것이 b와 직교한다는 것을 보여주겠습니다 이 두 벡터의 외적을 한번 더 써보도록 하죠 살짝 스크롤을 내려야 할 것 같네요 돌아가서 여기에 벡터 b를 곱해 봅시다 b₁, b₂, b₃ 여기에 공간이 좀 있으니까 여기서 하겠습니다 따라서 b₁ × a₂ × b₃ - b₁ × a₃ × b₂ 입니다 색깔 좀 바꾸겠습니다 b₂ 곱하기 이 항을 더할 것입니다 이 식은 여러 줄에 걸쳐서 쓰는 하나의 식입니다 벡터가 아닙니다 기억하세요 여러분이 어떤 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻게 됩니다 따라서 b₂ × a₃ × b₁ - b₂ × a₁ × b₃ 가 됩니다 마지막으로 + b₃ × a₁ × b₂ - b₃ × a₂ × b₁ 입니다 만약 이 벡터들이 확실히 직교한다면 그 결과는 0이어야 합니다 어떤 상황인지 한번 봅시다 b₁ × a₂ × b₃가 있습니다 b₁ × a₂ × b₃는 양수이고 b₃ × a₂ × b₁은 음수입니다 따라서 서로 지워집니다 - b₁ × a₃ × b₂가 있습니다 이 항은 b₁과 b₂를 갖고 있습니다 이 항은 - b₁ × a₃ × b₂입니다 이 항은 +를 붙이면 똑같습니다 곱셈의 순서를 바꿔보죠 그래도 이 항은 동일합니다 이 두 항은 서로 반대이므로 지워집니다 마지막으로 b₂ × a₁ × b₃가 있습니다 음수네요 여기 같은 양수 항이 있습니다 따라서 이 두 항은 서로 지워집니다 따라서 이 식은 0이 됩니다 따라서 여기 이 벡터는 두 벡터 a와 b에 대해 명백히 직교합니다 그 이유는 이 벡터가 그렇게 만들어졌기 때문입니다 이게 바로 정의에요! 대수학을 조금 이용하면 이 정의를 설명하지 않아도 알 수 있습니다 여러분은 스스로 이 정의를 생각해낼 수 있습니다 하지만 이것은 또 다른 흥미로운 성질을 가지고 있습니다 그러한 성질을 다음 시간에 다루겠습니다 안심하셔도 됩니다