벡터 사이의 각 정의하기

지난 강의에서 벡터의 길이의 개념에 대해 소개했습니다 지난 강의에서 벡터의 길이의 개념에 대해 소개했습니다 지난 강의에서 벡터의 길이의 개념에 대해 소개했습니다 지난 강의에서 벡터의 길이의 개념에 대해 소개했습니다 이것은 매우 깔끔한 개념이었습니다 왜냐하면 2차원 혹은 3차원 공간상의 무언가의 길이에 익숙하기 때문입니다 하지만 n차원이라면 상당히 추상적이겠죠 만약 성분이 100개라면 100차원의 벡터를 시각화하긴 어렵습니다 하지만 우리는 길이의 개념을 정의하였습니다 그리고 그 값은 스칼라였습니다 그냥 숫자죠 이번 강의에서는 벡터 사이의 각도에 대한 개념을 정의하고자 합니다 개념을 정의하고자 합니다 알다시피 우리는 벡터를 기초부터 다지고 있고 각도가 뭔지 안다는 듯이 가볍게 말할 수는 없습니다 왜냐하면 여러분이 알고 있는 각도, 심지어 길이는 2차원 혹은 3차원 공간과 관련이 있을 때 적용되기 때문입니다 하지만 선형대수학이라는 학문 자체가 이런 개념들을 다차원의 공간에 추상화시키는 것입니다 아직 차원에 대해 정의하지도 않았지만 여러분이 어느 정도는 차원의 개념에 대해 이해하고 있다고 생각합니다 1차원이나 2차원, 3차원에 대해 이야기할 때 말이죠 벡터 a와 벡터 b가 있다고 가정합시다 벡터 a와 벡터 b가 있다고 가정합시다 벡터 a와 벡터 b가 있다고 가정합시다 이들은 영벡터가 아니고 Rⁿ의 원소입니다 이들은 영벡터가 아니고 Rⁿ의 원소입니다 그리고 아직 두 벡터 사이의 각에 대한 개념을 이야기하지 않았지만 일단 한 번 그려보겠습니다 2차원상에 표현하듯이 그려볼게요 2차원상에 표현하듯이 그려볼게요 저게 벡터 a이고 저게 벡터 b입니다 그리고 저 벡터는 벡터 a-b 가 되겠네요 우리가 배웠던 벡터를 더하고 빼는 방법으로 이를 확인할 수 있어요 혹은 알디시피 머리에서 꼬리까지입니다 따라서 b+a-b 는 당연히 a입니다 계산하면 그렇습니다 각에 대한 개념을 정의하기 위해 이것과 상당히 닮은 삼각형을 만들어봅시다 하지만 기억해야 합니다 우리는 상상하기 쉽게 2차원에서 하고 있으나 꼭 2차원에 국한될 필요는 없습니다 성분이 100개일 수도 있죠 다른 삼각형 하나를 더 그려볼게요 다른 삼각형 하나를 더 그려볼게요 닮은 것을 그릴거에요 이렇게 생겼다고 해봅시다 그리고 이 삼각형의 변이 각각의 벡터의 길이가 되도록 정의하도록 하죠 잊지마세요 각 벡터의 길이는 성분이 얼마나 많은지와 상관없이 그냥 수일 뿐입니다 그래서 여기 이 변의 길이는 a의 길이가 되고요 여기 이 변의 길이는 a-b의 길이가 됩니다 a-b의 길이가 됩니다 여기 있는 이 변의 길이는 b의 길이가 될 것입니다 먼저 확실히 해야할 것은 항상 이런 삼각형을 그릴 수 있다는 것입니다 그렇다면 어떤 경우에 이런 삼각형을 그릴 수 없는 걸까요? 자, 이런 삼각형을 그릴 수 없을 것입니다 만약 이 변이 만약 b의 크기가 적어보겠습니다 좀 미묘한 점이긴 하지만 확실히 짚고 넘어가죠 한 각을 정의하기 위해서 항상 이 구조물을 만들 수 있다는 것에 대해 당연하게 여기고 싶어요 그리고 확실하게 해야 합니다 이 구조물을 만들 수 없는 이유를 써보도록 하죠 만약에 b의 크기가 혹은 b의 길이가 a의 길이와 a-b의 길이의 합보다 크면 어떻게 될까요? 2차원에서는 그런 삼각형을 절대 그릴수 없습니다 왜냐하면 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변의 길이보다 짧은 것이기 때문이죠 따라서 절대 그리지 못합니다 다른 모든 변도 마찬가지입니다 만약 이 길이가 다른 두 변의 길이보다 길면 어떻죠? 아니면 이 길이가 다른 두 변보다 길다면요? 이런 식으로 2차원상의 삼각형을 절대 그릴 수 없습니다 따라서 지금 하려는 것은 벡터 삼각부등식을 이용하여 각 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작거나 같다는 것을 증명할 것입니다 똑같은 걸 할 수도 있어요 이 점을 확실히 해둡시다 a가 b와 다른 변의 합보다 크다면 어떤 이유든 간에 삼각형을 만들 수 없습니다 마지막으로 당연한 것은 만약 a-b가 어떤 이유에서든지 다른 두 변들보다 크다면 a와 b가 있는 삼각형을 그릴 수 없을 거예요 영벡터이면서 Rⁿ의 원소인 어떤 실수 벡터에 대해서 이런 일은 일어날 수 없다는 것을 보여드리고자 합니다 저 모든게 일어날 수 없다는 것을 증명해야 해요 그렇다면 이 삼각부등식은 무슨 의미를 가지고 있죠? 삼각부등식은 두 벡터의 합에 대해서 두 벡터의 합의 길이가 참고로, 이 벡터들은 영벡터가 아닙니다 두 벡터의 합의 길이가 각 벡터의 길이의 합보다 작거나 같을 것이에요 자, 여기 이 삼각형에 적용해 봅시다 벡터 a의 크기는 무엇이죠? 벡터 a를 다시 써보겠습니다 벡터 a는 무엇과 같나요? 벡터 a는 벡터 b+a-b와 같습니다 벡터를 다시 쓰는 중입니다 벡터 a를 다른 두 벡터의 합으로 나타내고 있습니다 별거 없어요 아직 삼각부등식같은건 사용하지도 않았어요 벡터의 덧셈 정의를 사용했을 뿐이에요 그런데 만약 이쪽에 소괄호를 친다면 삼각부등식을 적용할 수 있게 돼요 그거 아세요? 이게 증명한 삼각 부등식을 통해서 다른 벡터들보다 작거나 같게 됩니다 벡터 b와 벡터 a-b 의 합 말이죠 따라서 a의 길이는 다른 두 벡터 길이의 합보다 작거나 같다는 사실을 알아냈습니다 그러므로 이 문제는 더 이상 걱정할 필요가 없어요 저게 사실이 아니라는 것을 아니까요 그럼 이제 b를 봅시다 b를 다른 두 벡터의 합을 이용하여 다시 표현할 수 있는 방법이 있나요? 당연히 있죠 이렇게 써 볼게요 만약 저 벡터가 a-b라면 반대방향의 벡터는 벡터 b-a가 될 거예요 따라서 a와 b-a의 합입니다 b와 같죠 바로 확인할 수 있습니다 a가 상쇄되고 b만 남는 거예요 삼각부등식을 통해 이것이 벡터 a의 길이와 벡터 b-a의 길이의 합보다 작거나 같다는 것을 알게 되었습니다 벡터 b-a는 a-b의 길이와 같죠 벡터 길이의 정의를 바탕으로 증명하기 위해 이걸 내버려 둘 수 있어요 하지만 벡터 b-a의 길이는 -1과 벡터 a-b의 곱과 같아요 여러분을 위해 그냥 놔 둘게요 이 길이들은 동일합니다 왜냐하면 기본적으로 그냥 둘게요 그 벡터들은 방향만 다른 정확히 같은 벡터라는 것을 시각적으로 알 수 있기 때문입니다 2차원에 대해서만 국한된 것이 아니기 때문에 조심해야 합니다 하지만 여러분이 이해했다고 생각하고 이 길이들이 같다는 걸 증명하기 위해 남겨둘게요 그래서 b가 다른 두 벡터의 길이보다 작다는 것을 알고 있습니다 따라서 이 부분에 대해서는 신경쓰지 않아도 됩니다 마지막으로, a-b가 남았어요 벡터 a-b의 길이 말이죠 이렇게 a + (-b)로 다시 표현할 수 있습니다 이렇게 a + (-b)로 다시 표현할 수 있습니다 이렇게 a + (-b)로 다시 표현할 수 있습니다 이 a-b가 반대 방향으로 간다면 -b+a가 되고, 즉 벡터 a-b를 뜻하게 됩니다 사실, 저렇게 할 필요는 없어요 여기서 이미 명백한걸요 이 괄호에 음수를 넣습니다 삼각부등식은 좀 지루하겠지만 이를 이용하여 평면 위의 삼각형을 이 벡터들을 바탕으로 항상 이렇게 정의할 수 있습니다 이 길이가 벡터 a + (-b)의 길이보다 작거나 같다는 것을 알려줍니다 이것은 b의 길이와 같다는 것을 스스로 증명할 수 있을거에요 그러므로 이 둘보다 명백하게 작다는 것을 알게 되었죠 이것은 확실히 다른 둘보다 작고요 이것 또한 다른 둘보다 작아요 이제 삼각형을 만들 수 없는 이유는 전혀 없습니다 즉, Rⁿ의 원소 중에서 영벡터가 아니라면 언제나 이런 방식으로 삼각형을 만들 수 있습니다 항상 만들 수 있어요 이제, 각을 정의하기 위해 이 밑에 다시 그려보겠습니다 좀 더 큰 벡터들을 다시 그려볼게요 저게 벡터 a 이게 벡터 b에요 그리고 이렇게 하나 그려볼게요 저기 벡터가 있습니다 저게 벡터 a-b에요 각각의 길이가 벡터의 길이로 정의된 지극히 평범한 삼각형을 정의하려고 합니다 정의하려고 합니다 따라서 저 변은 b의 길이와 같죠 그리고 저게 a-b의 길이고요 그리고 이게 a의 길이입니다 이렇게 삼각형을 항상 만들 수 있으므로 두 벡터 사이의 각을 정의하겠습니다 두 벡터 사이의 각을 정의하겠습니다 여기서 각도가 무엇을 의미하는지 알고있죠 여기 아주 평범한 기하학적 삼각형이 있습니다 두 벡터 사이의 각도의 정의는 지금 해보겠습니다 다음과 같습니다 성분의 수가 임의적이기 때문에 시각화하기 어려워요 하지만 일반적인 삼각형의 각도에 대해 정의하겠습니다 이 삼각형의 변 중에서 두 변은 두 벡터이고 다른 변은 두 벡터의 차입니다 이건 그냥 정의에요 성분의 개수를 알 수 없는 Rⁿ의 원소인 두 벡터 사이의 각도를 정의하겠습니다 이 각도는 한 평범한 삼각형의 벡터의 길이로 이루어진 두 벡터 사이의 각도와 같습니다 이제 어떻게 하면 될까요? 여기 있는 이들 사이의 관계를 찾을 수 있을까요? 그럼요 여러분이 삼각법 수업을 기억하시나요? 기억하지 못해도 강의목록에 있어요 코사인 법칙이 있습니다 코사인 법칙이 있습니다 여기 있는 임의의 삼각형으로 해 볼게요 헷갈리지 않게 말이죠 따라서 이 변을 a, b, c 그리고 여길 θ라고 하면 코사인 법칙은 c² = a² + b² - 2abcos(θ) 라는 것을 알려줍니다 더 넓은 범위의 피타고라스 정리라고 생각해요 왜냐하면 이건 직각과는 아무런 상관이 없기 때문이에요 모든 각에 대한 이야기니까요 만약 이게 직각이라면 이 항은 사라지고 피타고라스 정리만 남게 되지요 하지만 이걸 증명했어요 이건 평범한 아무 삼각형에나 적용되죠 운 좋게도 여기 아주 평범한 삼각형이 있어요 운 좋게도 여기 아주 평범한 삼각형이 있어요 그럼 이제 코사인 법칙을 이 삼각형에 적용해봅시다 제가 그린 삼각형과 대응합니다 이 변의 길이를 제곱합니다 즉 a-b의 길이의 제곱이죠 벡터 a-b의 길이는 저 변의 길이니까요 저 변을 제곱하는 것입니다 이렇게 되겠죠 ‖b‖² + ‖a‖² -2‖a‖‖b‖cos(θ) ‖b‖² + ‖a‖² -2‖a‖‖b‖cos(θ) ‖b‖² + ‖a‖² -2‖a‖‖b‖cos(θ) ‖b‖² + ‖a‖² -2‖a‖‖b‖cos(θ) 이 두 벡터 사이의 각 θ를 여기 있는 이 각과 같다고 정의하겠습니다 즉 이 각도를 안다면 정의에 의해 이 각도를 알게됩니다 길이의 정의를 이용했을 때 이 벡터 길이의 제곱이 벡터 스스로 내적한 것과 같다는 것을 알게됩니다 따라서 저건 (a-b)·(a-b)가 되죠 우변 전체와 같아집니다 우변 전체와 같아집니다 그렇다면 좌변을 좀 더 간단하게 정리해 봅시다 (a-b)·(a-b)는 다음과 같습니다 a·a - a·b a·a - a·b 빼기 b·a 더하기 (-b)·(-b) 즉, 더하기 b·b 입니다 좌변을 간단히 하는 중임을 기억하세요 좌변을 간단히 하는 중임을 기억하세요 이렇게 다시 쓸 수 있겠죠 a·a는 a 길이의 제곱입니다 a·b와 b·a는 똑같고요 따라서 같은 항 두 개가 있는 것입니다 간단히 -2(a·b)로 나타낼 수 있어요 간단히 -2(a·b)로 나타낼 수 있어요 마지막으로, b·b 입니다 b 길이의 제곱이죠 이렇게 간단히했습니다 아마 확장했다고 하는게 맞겠네요 항이 한 개에서 세 개가 되었으니 간단하게 했다고 하긴 좀 그렇죠 하지만 현재 좌변만 나온 상태고 코사인 법칙에 의해 우변과 같아지게 해야합니다 따라서 이걸 다시 쓸 바에야 차라리 복사, 붙여넣기 하는게 낫겠네요 차라리 복사, 붙여넣기 하는게 낫겠네요 제가 방금 뭘 했죠? 복사, 수정 복사, 붙여넣기 이제 됐네요 이게 필요했는지는 잘 모르겠지만 아마 조금이라도 시간을 아낄 수 있을 거예요 따라서 이것과 저것이 같습니다 이제 간단하게 할 수 있겠네요 여기 a²이 있습니다 여기 a²이 있습니다 양변에서 이를 뺍니다 그리고 여기 b²이 있습니다 이 또한 양변에서 뺍니다 그 다음은 어떻게 할까요? 양변을 -2로 나눌 수 있습니다 다른 항들은 다 사라졌으니까요 따라서 이 항과 저 항의 계수는 둘 다 1이 됩니다 이제 남은건 a·b 밖에 없네요 이 부분은 흥미롭습니다 두 벡터의 내적의 관계에 대해 알게 되니까요 길이의 정의에서 좀 멀어진 것 같네요 하지만 두 벡터의 내적은 벡터 길이의 곱과 같습니다 그리고 그들은 성분이 임의의 수만큼 있습니다 거기에 두 각도 사이의 코사인값을 곱합니다 기억하세요, 이 θ는 이와 비슷한, 평범한 삼각형을 그렸을 때와 같습니다 이 각을 이와 같도록 정의하겠습니다 이 각을 이와 같도록 정의하겠습니다 따라서 이것은 이 사이의 각도라고 할 수 있습니다 알다시피, 두 벡터 사이의 개념은 3차원을 넘어간다면 시각화하기 어렵습니다 하지만 적어도 지금은 이것을 수학적으로 정의하였지요 하지만 적어도 지금은 이것을 수학적으로 정의하였지요 따라서 두 벡터가 주어진다면 정의를 통해 증명한 이 공식을 이용하여 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다 확실히 짚고 넘어가죠 저 정의를 이용하면 아마 분명하지 않을겁니다 이 정의를 이용하여 분명히 하죠 a가 0보다 큰 스칼라 c와 b의 곱이라면 θ = 0으로 정의합니다 그리고 만약 c가 0보다 작으면 a는 동일선상에 있지만 방향은 반대입니다 여기서 θ = 180º로 정의합니다 2차원 벡터에서는 우리가 이해한 바와 동일합니다 만약 동일선상에 있고 스칼라배가 같다면 말이죠 이 말은 a는 이렇게 b는 저렇게 생겼다는 뜻입니다 따라서 이 각도는 0입니다 만약 방향이 반대라면 a가 이렇게 생겼다면 a와 b가 방향이 반대인 경우입니다 a와 b가 방향이 반대인 경우입니다 a는 이런식이고 b는 저런식입니다' 둘 사이의 각도를 180º로 정의했죠 하지만 다른 모든 것들은 예시의 삼각형을 통해 정의되었습니다 하지만 다른 모든 것들은 예시의 삼각형을 통해 정의되었습니다 이런 특별한 경우를 만들어야 했습니다 왜냐하면 삼각형은 이 상황에서 얻는 게 불확실해서 사라지기 때문이죠 만약 a와 b가 겹쳐있거나 방향이 정반대라면 이것은 평평해집니다 여기에 필기를 좀 하겠습니다 여기에 필기를 좀 하겠습니다 이제 이 벡터 사이의 각의 정의를 이용하여 수직 벡터에 관한 개념을 정의할 수 있어요 따라서 우리는 수직벡터라고 할 수 있습니다 이것은 다른 정의입니다 그리고 크게 놀랄 만한 것은 아니지만 그럴만 합니다 왜냐하면 이것을 성분이 임의의 개수만큼 있는 벡터로 일반화시켰기 때문입니다 수직의 정의는 다음과 같습니다 두 벡터 a와 b 사이의 각도가 90º입니다 두 벡터 a와 b 사이의 각도가 90º입니다 저걸 정의할 수 있죠 두 벡터를 내적합니다 내적을 해요 두 벡터의 길이를 구하고 나면 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있습니다 만약 각도가 90º라면 이들은 수직이라고 할 수 있죠 사실 이것은 이 영벡터를 위해 정의된 게 아니라는 것을 명확하게 짚고 넘어가겠습니다 이 상황에서는 영벡터가 정의되지 않습니다 왜냐하면 영벡터를 가지고 있다면 그 값은 0이 될 것이고 그러면 이 값도 0이 되기 때문입니다 그리고 이 각도에 대해서는 명확한 정의가 없어요 이것이 0이라면 0= 0 x cos(θ) 가 되겠죠 만약 θ를 구한다면 cos(θ) = 0/0이 됩니다 정의되지 않죠 cos(θ) = 0/0이 됩니다 정의되지 않죠 하지만 수직이라는 전문용어보다 좀 더 대중적인 용어를 만들어 봅시다 따라서 수직에 대해서 이야기할 때 각도가 정의돼있어야 합니다 만약 두 벡터 사이의 각도가 90º라면 정의에 의해 두 벡터는 수직이라는 뜻입니다 그렇다면 명제를 만들어 볼까요? 만약 두 벡터 사이의 각도가 90º라면 무엇을 의미할까요? θ = 90º라고 합시다 직선을 하나 그릴게요 θ = 90º 입니다 θ = 90º 입니다 이 식은 무엇을 말해주는 걸까요? a·b = abcos(90º) 를 말합니다 a·b = abcos(90º) 를 말합니다 cos(90º)는 무엇일까요? 0이죠 이해하기 좀 어려우면 원에 대한 강의를 복습하면 되요 이 값이 0이기 때문에 전체 항의 값은 0이 됩니다 θ = 90º 면 a·b = 0 입니다 θ = 90º 면 a·b = 0 입니다 이건 또 다른 재밌는 부분이에요 만약 a와 b가 수직이라면 내적값은 0이 됩니다 이들의 내적값이 0이라면 그들이 수직이라는 것을 굳이 언급할 필요가 있을까요? 만약 a와 b가 영벡터면 어떻게 되죠? 영벡터를 z라 부르겠습니다 그려볼게요 그려볼게요 영벡터와 어떤 벡터를 내적해도 그 결과는 항상 0입니다 이게 영벡터가 모든 벡터와 수직이라는 뜻일까요? 이게 영벡터가 모든 벡터와 수직이라는 뜻일까요? 그건 아니죠 왜냐하면, 말했다시피 수직이라는 용어는 둘 사이의 각도에 대한 개념이 있어야 합니다 따라서 영벡터는 쓸 수 없는거죠 두 벡터의 내적값이 0이라는 이유로 두 벡터가 수직이라고 할 수는 없는 것입니다 영벡터가 정의되지 않았기 때문에 영벡터가 어지럽히게 됩니다 만약 a와 b가 영벡터가 아니면서 만약 a와 b가 영벡터가 아니면서 내적값이 0이라면 a와 b는 수직이라고 할 수 있어요 이렇게 하면 식이 성립 되는거죠 여기 이 조건이 있다면 어떨까요? a·b= 0 이라는 조건이 있다면 어떻게 될까요? 참 간단한 조건처럼 보이는데요 이에 대한 용어가 있습니다 이 용어들이 종종 같은 뜻으로 쓰이기도 하지만 차이를 이해하게 됩니다 만약 두 벡터의 내적값이 0이라면 우리는 이걸 직교라고 합니다 우리는 이걸 직교라고 합니다 항상 말하지만 저는 스펠링에 약해요 그렇지만 이건 훌륭한 생각입니다 이것은 모든 수직인 벡터가 직교라는 것을 말합니다 이것은 모든 수직인 벡터가 직교라는 것을 말합니다 또한 영벡터는 모든 벡터와 직교한다는 것을 말합니다 또한 영벡터는 모든 벡터와 직교한다는 것을 말합니다 자기 자신도 포함해서 말이죠 0·0 = 0 이니까요 정의에 의해서 이건 직교입니다 수학 공부를 하면서 이 단어를 처음 봤을 겁니다 항상 수직이고 직교고 뭐 이런 말들은 물리학이나 기하학 등등에선 처음엔 다 비슷한 단어들이었어요 처음엔 다 비슷한 단어들이었어요 하지만 여기서 작은 차이를 소개하고자 합니다 그리고 여러분은 선생님들께 가서 아는 척을 할 수도 있을 거예요 알다시피, 벡터가 모두 0이 아닐 때만 수직이 될 수 있어요 그렇지 않으면, 내적값이 0일때 직교한다고만 할 수 있습니다 하지만 벡터가 0이 아니라면 이들은 직교이면서 수직이라고 할 수 있습니다 어쨌든, 이 작은 차이를 알려줘야 한다고 생각했어요 가끔 말실수를 하는 경우가 있거든요 가끔 말실수를 하는 경우가 있거든요 또한, 수학을 차근차근 공부하면서 단어 사용에 신경을 써야 한다는 것을 강조합니다 단어 사용에 신경을 써야 한다는 것을 강조합니다 정의에 있어서는 정확하게 해야합니다 정의를 정확하게 다루지 않고 수많은 수학적 지식을 쌓고 수많은 증명을 하다보면 언젠가 머리를 긁적이며 모호하다고 느끼게 될 것입니다 그리고 정의를 분명하게 하지 않았다는 사실이 드러나게 될 지도 모릅니다 어쨋든 유용한 내용이길 바랍니다 이제, 성분이 임의의 수만큼 있는 벡터 사이의 각도를 결정할 수 있습니다