코시-슈바르츠 부등식의 증명

영벡터가 아닌 두 벡터가 있다고 합시다 하나는 벡터 x 다른 하나는 벡터 y입니다 두 벡터는 집합 Rⁿ의 원소이며 영벡터가 아닙니다 두 벡터는 집합 Rⁿ의 원소이며 영벡터가 아닙니다 두 벡터의 내적의 절댓값은 다른 색깔로 써보겠습니다 이 색이 좋겠네요 두 벡터의 내적의 절댓값은 기억하세요 이 값은 스칼라입니다 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같습니다 이전에 벡터의 내적과 벡터의 길이를 정의하였습니다 이것은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같습니다 더 나아가서 두 값이 같은 경우는 즉, 두 벡터의 내적이 두 벡터의 길이의 곱과 같아지는 경우는 써보도록 하겠습니다 하나의 벡터가 다른 벡터의 스칼라배인 경우입니다 즉, 동일선상에 있는 경우입니다 하나의 벡터가 다른 벡터의 길이를 늘리거나 줄이거나 해서 만들어지는 경우입니다 따라서 벡터 x가 벡터 y의 스칼라배인 경우에만 해당됩니다 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이라고 불립니다 코시-슈바르츠 부등식이라고 불립니다 이런 식들을 있는 그대로 받아들일 수는 없기 때문에 증명해보도록 하겠습니다 당연하게 받아들여선 안됩니다 인위적으로 한 함수를 만들어보겠습니다 변수 스칼라 t에 대한 함수를 만들어보죠 변수 스칼라 t에 대한 함수를 만들어보죠 함수 p(t)를 t × y - x로 정의하겠습니다 t × y - x로 정의하겠습니다 이것은 이 벡터의 길이에 해당합니다 이건 지금 벡터에요 이 식을 제곱한 것으로 함수를 정의하겠습니다 하나만 짚고 넘어가겠습니다 하나만 짚고 넘어가겠습니다 임의의 벡터의 크기에 대해서 벡터 v에 대해서 해보죠 그 값은 양수가 될 것입니다 적어도 0보다 크거나 같겠죠 왜냐하면 각 항을 제곱했기 때문입니다 v1²에서 vn²까지 더합니다 모든 값은 실수입니다 실수를 제곱하면 그 값은 0보다 크거나 같습니다 이 값을 모두 더하면 0보다 크거나 같게 됩니다 이 값에 루트를 씌운다해도 즉, 양의 제곱근을 구해도 0보다 크거나 같습니다 그러므로 벡터의 크기는 항상 0보다 크거나 같습니다 이것은 벡터의 길이입니다 그러므로 이 값은 0보다 크거나 같을 것입니다 지난 강의에서 아마 지지난 강의일 것입니다 벡터의 크기를 제곱한 것은 벡터 자기자신을 내적한 것과 같다고 하였습니다 따라서 벡터를 이렇게 써보겠습니다 벡터의 길이의 제곱은 벡터 자기자신을 내적한 값과 같습니다 그러므로 이 함수는 (ty - x) · (ty - x) 입니다 지난 강의에서 결합법칙, 분배법칙 그리고 교환법칙을 벡터의 곱셈 혹은 내적에도 일반적인 수의 곱셈에처럼 적용할 수 있음을 보았습니다 따라서 두 벡터를 곱하는 것은 두 이항식을 곱하는 것과 비슷하게 생각할 수 있습니다 일반적인 대수적 이항식을 곱하는 것과 같이 계산할 수 있습니다 분배법칙을 이용하려고 합니다 하지만 기억하세요 지금 단순 곱셈을 하는 것이 아니라 두 벡터를 내적하고 있는 것입니다 벡터의 곱셈 중 하나입니다 벡터의 곱셈 중 하나입니다 분배법칙을 사용하면 ty · ty가 됩니다 써보도록 하죠 ty · ty 입니다 그 다음 이렇게 해보겠습니다 빼기 x 곱하기 ty가 되겠죠 곱하기라고 하지 않고 내적이라고 하겠습니다 따라서 - x · ty 입니다 그 다음은 ty · (-x) 입니다 즉 - ty · x가 되겠죠 마지막으로 벡터 x끼리 내적합니다 (-x) 와 (-x)의 내적 되겠죠 더하기 -1x (ty+(-1x)) · (ty+(-1x))로 생각하여 풀어봅시다 따라서 이것은 (-1x) · (-1x) 입니다 확인해 봅시다 이것은 식을 간단히한 것 또는 전개한 것으로 볼 수 있습니다 간단히 했다고 보기는 어렵겠군요 그래도 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 식을 다시 한 번 써보도록 하겠습니다 이것은 (y·y)t² 입니다 t는 스칼라입니다 그리고 -2가 나옵니다 이 두 항은 같죠 같은 것을 두 번 쓴 것이고 내적은 결합법칙이 성립하기 때문에 빼기 2(x · y)t 가 됩니다 다른 색깔로 써보겠습니다 이 두 항은 저 항과 같습니다 이것을 다시 정리하면 (-1) × (-1)이 나오는데 곱하면 +1이 되므로 x·x만 남습니다 역시 다른 색깔로 써보겠습니다 주황색으로 써볼게요 이 항은 저 항과 같습니다 기억하세요 제가 한 것은 위의 식을 다시 쓴 것이므로 0보다 크거나 같을 것입니다 여기 다시 써보도록 하겠습니다 이것은 여전히 같은 값입니다 다시 쓴 거니까요 그러므로 0보다 크거나 같겠죠 치환을 통해 식을 조금 간단히 하겠습니다 치환을 통해 식을 조금 간단히 하겠습니다 나중에 다시 이 형태로 바꿔줄 것입니다 y·y를 a로 치환하고 2(x·y)를 b로 치환하겠습니다 통째로 b로 치환했습니다 t는 남겨두도록 하겠습니다 그리고 x·x를 c로 치환하겠습니다 c로 치환하겠습니다 그러면 이 식은 어떻게 바뀔까요? 이 식은 색을 잘 구분해서 쓰겠습니다 at² - bt+ c가 됩니다 물론 이 식은 0보다 크거나 같습니다 위에 있는 식과 같기 때문에 0보다 크거나 같은 것입니다 위에 있는 식과 같기 때문에 0보다 크거나 같은 것입니다 p(t)를 여기에도 써보겠습니다 어떤 t의 값을 대입하더라도 p(t)는 0보다 크거나 같습니다 어떤 실수 t를 대입하든 말이죠 함수에 b/2a를 대입해봅시다 b를 2a로 나누려면 a가 0이 아니면 됩니다 a는 벡터 스스로의 내적값입니다 벡터는 영벡터가 아니었고요 그러므로 이는 벡터의 길이의 제곱과 같습니다 영벡터가 아니므로 벡터의 길이는 양수일 것입니다 그러므로 a도 양수입니다 영벡터가 아니기 때문입니다 여기에 2배를 하더라도 0이 되진 않습니다 그러므로 2a로 나눌 수 있습니다 0으로 나누는 경우에 대해선 신경쓰지 않아도 되겠네요 그렇다면 p(b/2a)는 무엇일까요? 초록색으로 쓰겠습니다 색깔을 바꾸는데 시간이 좀 걸리네요 a × (b/2a)² 이므로 b²/4a² 입니다 2a를 제곱해서 4a²을 얻었습니다 그리고 (-b) × b/2a 이것은 단순 곱셈입니다 b × b/2a 여기엔 단순 곱셈 기호를 쓰도록 하죠 더하기 c 이 식이 0보다 크거나 같다는 것을 알고 있습니다 이것을 간단히하면 어떻게 될까요? 여기 a는 분모와 약분되므로 분자가 b²이 됩니다 그러므로 b²/4a - b²/2a이 됩니다 앞의 두 항은 이렇습니다 여기에 c를 더하면 이 식이 0보다 크거나 같게 되겠죠 다시 써보도록 하겠습니다 여기에 분자와 분모에 2를 곱하면 어떻게 될까요? 2b²/4a 공통분모로 나타내기 위해서 의도적으로 바꾸었습니다 그럼 어떻게 되죠? b²/4a - 2b²/4a 이 두 항을 간단하게 해봅시다 분자는 b² - 2b² 입니다 따라서 (- b²/4a) + c가 0보다 크거나 같다는 부등식이 됩니다 이 두 항은 저 항들과 같습니다 양변에 -b²/4a을 더해주면 c는 b²/4a보다 크거나 같다는 부등식이 됩니다 좌변에서는 - 였습니다 양변에 더해주면 우변은 +가 될 것입니다 점점 부등식의 형태가 보이네요 다시 치환하기 전의 값으로 바꿔줍시다 지금까지 얻은 식이 무엇인지 알아보기 위해서요 치환한 것이 어디있었죠? 여기있네요 그리고 조금 더 간단하게 표현하기 위해 양변에 4a를 곱해주도록 하겠습니다 a는 0이 아니면서 양수입니다 벡터의 길이의 제곱이기 때문이죠 그리고 이미 어떤 벡터의 길이든 양수라는 것을 보였습니다 a가 양수인 것을 굳이 보이는 이유는 a를 양변에 곱해주었을 때 부등식의 방향이 바뀌지 않게 하기 위해서입니다 다시 치환하기 전에 양변을 4a로 곱해주겠습니다 그러면 4ac는 b²보다 크거나 같다는 식이 나옵니다 좋아요 기억하세요, 공을 많이 들였죠 a는 양수입니다 왜냐하면 벡터의 길이의 제곱이기 때문입니다 y · y 는 y² 이고 이는 양수입니다 양수여야 합니다 우리는 실수 벡터를 다루고 있습니다 다시 치환해보겠습니다 4a는 4 × y·y 입니다 y·y는 또한 여기에 써보도록 하죠 그것은 벡터 y의 길이의 제곱과 같습니다 그것이 y·y 입니다 이게 바로 a죠 y·y 지난 영상에서 보였습니다 곱하기 c c는 x·x입니다 x·x는 벡터 x의 길이의 제곱과 같습니다 그 값이 바로 c입니다 4ac는 -b²보다 크거나 같죠 b는 무엇이었나요? 여기있네요 b²은 {2(x·y)}²입니다 여기까지 왔습니다 이제 뭘 할 수 있을까요? 아 죄송합니다 저 덩어리가 모두 b였네요 이걸 간단히 할 수 있을지 봅시다 다른 색깔로 바꿔서 써보겠습니다 4IIyII²IIxII²는 4(x·y)(x·y)보다 크거나 같습니다 4(x·y)(x·y)보다 크거나 같습니다 이렇게 써보도록 하겠습니다 4(x·y)² 그러면 양변을 4로 나눠줄 수 있겠네요 부등호의 방향이 바뀌지 않고 바로 양변에서 지워줄 수 있습니다 그리고 양변에 루트를 씌워봅시다 양변에 루트를 씌워봅시다 모두 양의 값을 가지므로 루트를 씌울 수 있습니다 간단한 지수법칙이죠 양변에 루트를 씌운다면 벡터 y의 길이와 벡터 x의 길이의 곱이 이 값의 제곱근보다 크거나 같다는 것을 알 수 있습니다 양의 제곱근을 구해봅시다 방정식의 양변에 루트를 씌워서 양의 제곱근을 구해봅시다 부등식이 복잡해지는 것을 막을 수 있습니다 양의 제곱근은 x·y의 절댓값입니다 절댓값인 이유는 두 벡터의 내적값이 음수일 수도 있기 때문입니다 제곱을 하면 루트를 씌울 때 그것이 양수가 되도록 주의해야합니다 단순히 제곱근을 구한다면 부등식이 지저분해질 것입니다 양의 제곱근을 구해봅시다 절댓값을 씌우면 그 값은 무조건 양수입니다 결과가 나왔습니다 벡터의 내적의 절댓값은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같습니다 여기서 코시-슈바르츠 부등식을 얻을 수 있습니다 이제 마지막입니다 x가 y의 스칼라배인 경우에는 어떻게 될까요? 그 경우에 절댓값은 어떻게 될까요? x·y의 절댓값 말입니다 어떻게 되죠? x를 cy로 치환합니다 x를 cy로 치환합니다 이건 사실 x·y 입니다 결합법칙을 이용해 볼까요? 이것은 c × y·y 입니다 절댓값이 모든 값을 양수로 만들어줍니다 절댓값이 모든 값을 양수로 만들어줍니다 이것은 c와 y 길이의 제곱의 곱과 같습니다 이것은 c와 y 길이의 제곱의 곱과 같습니다 즉, c의 절댓값에 y의 길이와 y의 길이를 곱한 것과 같습니다 한번 직접 증명해 보셔도 좋아요 c를 절댓값 안에 넣을 수 있습니다 연습삼아 해보면 도움이 될 거에요 하지만 너무 자명하죠 벡터의 길이의 정의해보세요 거기에 c를 곱합니다 그럼 cy가 나오네요 cy의 길이와 y의 길이의 곱이라고 하죠 벡터 기호를 쓰지 않았군요 봅시다 이것은 벡터 x입니다 그러므로 이것은 벡터 x의 길이와 벡터 y의 길이의 곱입니다 이를 통해 코시-슈바르츠 부등식의 등호 성립 조건을 증명해보았습니다 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배면 성립합니다 증명 과정에서 이해가 잘 되지 않는 부분이 있었다면 직접 증명해보는 것도 좋은 연습이 될 것입니다 예를 들어 c의 절댓값 곱하기 벡터 y의 길이는 cy의 길이와 같은 것처럼 말이죠 아무튼 이는 매우 유용합니다 코시-슈바르츠 부등식은 선형대수학의 증명에서 많이 쓰입니다 다음 강의에서는 이것이 벡터의 내적과 어떤 관련이 있는지 더 직관적으로 설명하도록 하겠습니다