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점과 법선벡터를 이용하여 R3에서 평면 정의하기

동영상 대본

복잡한 벡터 수학에 관한 내용을 잠깐 중단하고 3D 컴퓨터 프로그램을 다룰 때나 3차원 공간의 수학에 대해 다룰 때 마주할 내용들을 살펴봅시다 3차원 공간에서 면의 방정식에 관하여 살펴보겠다는 말입니다 면이 무엇인지는 알겠죠 3차원의 공간에서 살아가는 우리는 많은 면들을 볼 수 있습니다 여러분의 모니터의 면, 컴퓨터 모니터는 어떤 각도로 들고있어도 면이죠 3차원으로 그려볼게요 엉망이라 다시 그려볼게요 이것이 x축이라 하고 y축이라 할 때 이것은 z축이 되겠네요 우리는 모두 면이 어떻게 생겼는지 알고 있죠 이렇게 생겼죠 임의의 각도에서 모든 방향으로 계속해서 진행되는 면을 그려볼게요 면의 방정식을 살펴보겠습니다 아마 한번쯤 봤을 겁니다 x, y, z로 이루어진 일차함수이죠 ax+by+cz=d 이렇게 써볼 수 있겠네요 그래프가 이 면에 관한 것이라면 면 상의 모든 점, 모든 x, y, z는 이 식을 만족할 것입니다 어떠한 점이나 면을 명시하는 것만큼이나 면에 존재하는 점을 명시하는 것도 좋은 방법입니다 이 점을 면에 존재하는 점이라고 해보죠 (x0, y0, z0)라고 정의해 보겠습니다 이 점을 사용할 수도 있지만 이 점을 면에 존재하는 또 다른 점이라고 정의해보겠습니다 당연히 이 점만으로는 면을 정의할 수는 없겠죠 이 점을 중심으로 면을 돌리기엔 무수히 많은 경우의 수가 있습니다 하지만 점을 정하고 그 점에서 면으로 직각인 벡터를 명시한다면, 이렇게 그려볼게요, 이 벡터는 어디로든 옮길 수 있습니다만 그냥 여기에 그려보겠습니다 이렇게 면에 법선벡터를 그리면, 아, 여러분에게 아직 정의하지 않은 용어를 썼군요 법선백터라 하면 일단 n을 법선벡터라 정의합시다 법선벡터는 단순히 면에 직각을 이루는 벡터라고 할 수 있습니다 면의 모든 것에 직각을 이루죠 면의 모든 벡터에 직각을 이룹니다 애매한 정의라고 생각할 수 있지만 면의 모든 것에 직각을 이룬다는 말입니다 그러므로 면 위에 몇 개의 벡터가 놓여있다고 할 때 벡터가 여기에 있을 때 놓여있다고 표현합시다 면을 판지라고 상상해보면 방금 그린 이 노란색 화살표는 판지 위에 실제로 그려졌겠죠 면 위에 놓여 있습니다 이 노란색 벡터가, 벡터 a라고 부르기로 하죠 면 위에 있는 임의의 벡터라고 가정하고 이 벡터는 법선벡터라고 할 때 우리는 벡터 각도의 정의로부터 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다 이 벡터와 이 벡터의 내적, n∙a가 0일 경우에 한해서만 두 개의 벡터가 직각을 이룬다는 것을요 이 사실은 면 상에 존재하는 모든 벡터에 관하여 유효합니다 이 면에 관한 정의를 사용하여 법선벡터 n 그러니까 이렇게 n+ (x0, y0, z0) 라고 써보도록 하겠습니다 이 식을 선형 방정식 ax+by+cz=0 의 기본 형태로 바꿔 쓸 수 있을까요? 우리가 이미 알고 있는 것과 이 정보를 합쳐서 한 번 해보도록 하죠 먼저 이 점, 면 상에 존재하는 이 파란색 점을 위치벡터로 표현해보겠습니다 위치벡터 x0를 다음과 같다고 놓아봅시다 x0를 스칼라 [x0;y0;z0]로 정의하겠습니다 확실하게 얘기하자면 이것은 면 위의 좌표를 나타내는 것이지 이 벡터가 완전히 면에 속하는 것은 아닙니다 원점에서 시작하는 위치벡터입니다 여기에 그렸듯이 면의 뒤쪽에 존재하구요 화살표의 끝은 면 위에 있습니다 벡터 자체는 면 위에 그려진 것이 아니란 소리죠 이 면은 원점을 지나지도 않습니다 이 벡터는 그렇지만요 면의 한 점을 가르키고 있을 뿐입니다 비슷하게 다른 벡터도 정의해보도록 하죠 (x, y, z) 점이 면 상의 임의의 한 점이라 했으므로 이는 면 상의 그 어떤 점에 대해서도 유효할 것입니다 또 다른 벡터 x를 정의해보도록 하죠 [x;y;z]로 정의하겠습니다 x0처럼, 벡터 x는 이렇게 그려질 수 있겠죠 벡터 x는 면 상에 존재하지 않습니다 원점으로부터 시작하구요 면 상의 한 점을 나타내는 위치벡터입니다 원점으로부터 시작하여 뻗어나오죠 이 면이 커피 테이블이고 이 벡터들이 한 번 그려보죠 이 면이 어떤 편평한 면이고 x0는 면의 한 점을 가르키는 원점에서 시작하는 벡터입니다 x 또한 원점에서 시작하여, 다른 색으로 그려보죠 원점에서 시작하여, 이 면의 또 다른 점을 가르킵니다 왼쪽의 면을 옆에서 보는 것처럼 편평하게 그려보았습니다 그렇게 보게 된다면 이 벡터들이 면 상에 존재하지 않는다는 것을 정확히 알 수 있죠 하지만 이 벡터들을 이용해서 면에 존재하는 벡터를 구할 수는 있습니다 벡터 x에서 벡터 x0를 빼면 어떻게 될까요? 자, 여기 조그만 삼각형이 그려졌죠, x-x0는 초록색으로 그려볼게요 이렇게 생기겠죠 x-x0는 여기 초록선과 같이 표현될 수 있을 것입니다 이것이 바로 x-x0입니다 이 벡터 x-x0와 x0를 더한 것은 x가 되겠죠 이 그래프 상에서 해보면 이렇게 되겠네요 이렇게요 저것보단 더 잘 그려보죠 x0가 가르키고 있는 점으로부터 x가 가르키고 있는 점까지 이은 것입니다 면 상에 존재하겠죠 이것이 바로 x-x0입니다 이 그림이 매우 지저분해지고 있긴 하지만 이 벡터가 면 상에 존재하고 있다는 것은 분명해 보입니다 그러므로 이 벡터는 n과 직각을 이룰 것입니다 아까 법선벡터와 직각을 이룬다는 말이죠 자 그럼 법선벡터, 법선벡터 n이라고 부르겠습니다 이 벡터는 이 친구와 직각을 이룰 것입니다 직각을 이룰 것입니다 벡터 n1, n2, n3와 직각을 이룰 것입니다 이 정보를 사용하여, 어떻게 x, y, z로 이루어진 선형 방정식으로 표현할 수 있을까요? 우리는 n, 다시 색깔을 바꿔쓰도록 하죠 우리는 n, 탈자 기호를 쓰고 싶지 않군요 n이 단위벡터는 아니니까요 n이 x-x0와 직각을 이룬다고 합시다 내적 값은 지난 강의에서 봤었죠 n과 여기 이 벡터의 내적 값은 한번 그려봅시다 이미 면을 옆으로 뉘어 그려놓았으므로 n벡터도 그릴 수 있습니다 n 벡터는 이런 모양이겠군요 면에서 수직하게 뻗어나올 것입니다 다른 곳에서도 시작할 수 있지만 방향은 변함이 없을 거에요 항상 이 벡터에 수직할 겁니다 그러므로 n은 x-x0에 수직합니다 그 말은 곧 그들의 내적 값이 0과 같다는 말입니다 그렇다면 x-x0는 어떻게 생겼을까요? 이렇게 생겼을 거에요 벡터 자체를 써본다면 이렇게 표현할 수 있을 것입니다 [n1; n2; n3]을 x-x0와 내적하는 것은 x-x0는 스칼라 x-스칼라 x0 로 표현하여 쓸 수 있겠죠 첫번째 항끼리 빼고 두 번째 항도, 스칼라 y- 스칼라 y0 세 번쨰 항도 스칼라 z-스칼라 z0 로 쓸 수 있습니다 우리는 이 식이 0과 같아야 한다는 사실을 이미 알고 있습니다 이 항들이 서로 수직하기 때문에요 그래서 내적하면, n1(x-x0) n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0) n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=0 의 식이 나오겠죠 아마 한번에 알아보기 힘들 수 있지만 약간의 연산을 통해 정리해야하지만 이것이 바로 ax+by+cz=d 의 형태입니다 사실 아까 제가 실수를 한 것 같군요 이것은 0이 아니라 d여야겠죠 이 식이 바로 3차원 공간에서 면에 관한 보편적인 식입니다 면은 3차원 공간에 존재하는 1차의 표면입니다 여기 0을 쓰지 말았어야했어요 아무튼 그래서 이 형식을 따릅니다 믿기지 않는다면 예시를 통해 살펴보도록 합시다 어떠한 면이 있다고 가정해봅시다 법선벡터가 주어졌을 때 그 법선벡터가 [1, 3, -2] 이며 이 벡터가 면 상의 한 점을 지난다고 합시다 법선벡터와 점은 꼭 직교해야만 하는 것은 아닙니다 면 상의 한 점이 [1, 2, 3]이라고 하고 이 면에 대한 식을 구해야한다고 해봅시다 면의 다른 점 면의 다른 임의의 점 [x, y, z]를 벡터 x가 가르킨다고 하고 벡터 x와 이 벡터의 차이를 나타내는 벡터를 구한다면, 그 벡터는 면 상에 존재하지 않을까요? 이 점과 이 점은 둘 다 면 상에 존재하므로 두 개의 벡터의 차이는 면 위에 존재할 것입니다 차이를 구해보도록 하죠 x-x0=[x-1; y-2; z-3] x-x0=[x-1; y-2; z-3] 이 차이가 면 상에 존재한다는 말입니다 이 것은 면 위에 있어요 그리고 법선벡터와 수직할 것입니다 그러므로 법선벡터 [1; 3; -2]와 이 벡터 [x-1; y-2; z-3]을 내적시키면 0이 나와야합니다 왜냐하면 법선벡터는 면 상의 모든 것과 수직하기 때문이죠 이 식을 풀면 뭐가 나오죠? 1 곱하기 x-1은 x-1 (x-1)+3(y-2) 단순한 내적이죠 (x-1)+3(y-2)-2(z-3)=0 이 되겠습니다 연산하여 식을 조금 정리해보죠 x-1+3y-6-2z+6=0 이렇게 되겠죠 그렇다면 -6와 +6가 서로 상쇄되겠군요 -1에 대해서는 양쪽에 모두 1을 더해서 x+3y-2z, x+3y-2z=1 이렇게 될 것입니다 이 점이 면 상에 존재한다는 사실과 이것이 법선벡터라는 사실만을 이용하여 이 둘이 직각을 이루어야 한다는 것, 즉 면 위의 임의의 점과 면 상의 벡터의 내적 값이 0이여야 한다는 사실을 이용해서 풀어낼 수 있었습니다 이 과정을 굳이 거칠 필요는 없었어요 그냥 이 공식을 사용했어도 되긴 합니다 n1이 1이므로 1(x-x1) 아, 1(x-x0)이 되겠죠, 그러니까 1(x-1)+3(y-2)+-2(z-3)=0 1(x-1)+3(y-2)+-2(z-3)=0 그리고 단순히 이 식을 풀었다면 같은 결과가 나왔을 겁니다 방금 한 것이 여러분에게 도움이 되었으면 좋겠네요 3차원 공간의 수학을 풀 때 사실 아주 유용하답니다 사실 아주 유용하답니다 여러분이 만약 게임 프로그래머가 된다고 하면, 수천 개의 응용 방법이 있을 겁니다 우리가 풀던 조금은 딱딱한 수학의 유용한 부산물이라고 할 수 있죠