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이번 강의에서는 다소 지루할 수도 있는 이번 강의에서는 다소 지루할 수도 있는 내적의 몇 가지 성질을 증명할 것입니다 솔직히 얘기하자면 좀 지루할 거에요 하지만, 그래도 하는 이유는 두 가지가 있습니다 첫 번째는 여러분이 선형대수학 수업을 들을 때 자주 질문을 하는 주제라는 것입니다 그렇지만 더 중요한 것은 이 과정에서 우리가 실제로 벡터의 개념을 차근차근 공부해나가고 있으나 그 어떠한 것도 예측할 수 없다는 것입니다 모든 것을 증명할 수 있는 준비를 합시다 가장 먼저 증명할 것은 여러분이 벡터 v와 w를 내적할 때 교환법칙이 성립한다는 것입니다 내적할 때 그 순서는 아무 상관이 없다는 것이죠 v·w와 w·v가 같다는 것을 증명하겠습니다 어떻게 해야할까요? 자, 이것은 수많은 벡터 증명의 일반적인 패턴입니다 그냥 벡터를 한 번 써봅시다 벡터 v를 v1, v2, ... , vn이라고 가정합시다 벡터 v를 v1, v2, ... , vn이라고 가정합시다 그리고 벡터 w를 w1, w2, ... ,wn이라고 합시다 그리고 벡터 w를 w1, w2, ... ,wn이라고 합시다 그렇다면 v·w는 무엇일까요? v·w는 색깔을 바꿔서 하죠 v1 × w1 v1 × w1 더하기 v2 × w2 + ... + vn × wn 입니다 좋아요 그렇다면 w·v는 무엇일까요? w·v는 알다시피 정의에 따라 그냥 곱하면 되지만 문제에 제공된 순서로 풀어보도록 하겠습니다 이 값은 w1 × v1 + w2 × v2 +... + wn × vn 입니다 이 값은 아까 그 값과 같습니다 왜냐하면 첫 번째 항끼리 보면 정확히 같은 값이기 때문입니다 v1 × w1 = w1 × v1 이니까요 이렇게 단정지을 수 있는 이유는 일반적인 수를 다루고 있기 때문입니다 여기서 우리는 벡터와 낯선 형태의 곱셈을 이용하고 있으며 이 형태를 내적이라고 합니다 그렇지만 여기서 명확하게 이 값들이 같다고 할 수 있는 이유는 일반적인 수의 곱을 다루고 있기 때문입니다 이것이 바로 교환법칙입니다 이것이 바로 교환법칙입니다 교환법칙입니다 교환법칙입니다 전에 배운 적이 있어요 2학년 혹은 3학년인지 헷갈리지만요 따라서 같은 논리로 이 둘은 같다는 것을 알 수 있습니다 각 항의 위치를 바꿔서 다시 쓰면 됩니다 각 항의 위치를 바꿔서 다시 쓰면 됩니다 이것은 단지 일반적인 실수인 스칼라의 기초적인 곱셈에 불과합니다 이것은 단지 일반적인 실수인 스칼라의 기초적인 곱셈에 불과합니다 따라서 이 두 항이 같다고 이야기한 것입니다 따라서 이 두 항이 같다고 이야기한 것입니다 그러므로 내적에서는 곱의 순서가 중요하지 않다는 것을 증명하였습니다 다음으로 알아볼 것은 내적에 분배법칙을 적용할 수 있는지 입니다 자, 벡터 x가 있습니다 그리고 또다른 벡터 x가 있으며 이렇게 정의할 것입니다 x1, x2, ... , xn 이제 내적에 분배법칙이 예상대로 적용되는지 확인하기 위해 이제 내적에 분배법칙이 예상대로 적용되는지 확인하기 위해 v + w에 x를 곱하겠습니다 무엇보다 순서는 신경쓰지 않아도 됩니다 무엇보다 순서는 신경쓰지 않아도 됩니다 방금 보였듯이 말이죠 x와 이것을 내적합니다 교환법칙이 성립함을 보였기 때문에 순서에 신경쓰지 마세요 만약 분배법칙이 성립한다면 이것은 v·x + w·x와 같아야 합니다 만약 이 숫자들이 그냥 정수의 곱셈이였다면 각 항을 곱해줘야 하고 이것이 바로 제가 보여주려는 것입니다 그렇다면, 내적에서 이것이 성립하는지 확인해 봅시다 v + w는 무엇일까요? v + w는 각각 대응하는 항을 더합니다 v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn까지 말이죠 v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn까지 말이죠 바로 이겁니다 그 다음 x1, x2, ..., xn을 내적한다면 무엇이 나올까요? (v1 + w1) × x1 + (v2 + w2) × x2 + ... + (vn + wn) × xn이 될 것입니다 (v1 + w1) × x1 + (v2 + w2) × x2 + ... + (vn + wn) × xn이 될 것입니다 이 두 값을 내적하였습니다 대응하는 성분을 곱한 뒤 모두 더했죠 이것이 바로 내적입니다 (v + w) · x 입니다 식을 적어보겠습니다 (v + w) · x 풀어보겠습니다 여기에 다시 적어보죠 v·x는 무엇일까요? v·x, 저번에 본 적이 있죠 v1 × x1로 시작합니다 벡터가 아니죠 이들은 그저 성분일 뿐입니다 여기에 v2 × x2 + ... + vn × xn까지 더합니다 그럼 w·x는 무엇일까요? w·x는 w1 × x1 + w2 × x2 + ... + wn × xn 입니다 이제 이 둘을 더하면 어떻게 되나요? 주의하세요 지금 두 스칼라값을 더하는 중입니다 이것은 스칼라입니다 이것은 스칼라입니다 더이상 벡터는 없습니다 이것도 스칼라값이고 이것도 스칼라값입니다 이들을 더하면 어떻게 되죠? v·x + w·x는 (v1x1 + w1x1) + (v2x2 + w2x2) + ... + (vnxn + wnxn) 입니다 알아요, 상당히 지루하죠 그래도 일반적인 수를 다루고 있습니다 그래도 일반적인 수를 다루고 있습니다 여기서 x로 묶으면 어떻게 되죠? 여기에 적어보겠습니다 x로 묶습니다 x로 묶습니다 (v1+w1)x1 + (v2+w2)x2 + ... + (vn+wn)xn (v1+w1)x1 + (v2+w2)x2 + ... + (vn+wn)xn 이 식은 여기 이 식과 같죠 이 식은 여기 이 식과 같죠 따라서 이 식은 분배한 식과 같습니다 따라서 이 식은 분배한 식과 같습니다 예상한 대로 내적에서도 분배법칙이 성립하는 것 같네요 알아요, 재미없는거 이걸 왜 했을까요? 이 식이 만들어지는 것을 보여주기 위해서입니다 그냥 추측만 하고 말 수는 없으니까요 그런데 증명이 꽤 간단하죠 원래는 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈에서 이 증명을 하지 않았어요 하지만 했어야 했죠 그래도 교환법칙을 증명할 수 있습니다 혹은 스칼라 곱셈에 대해서 이와 같은 방식으로 분배법칙이 성립함을 보일 수 있습니다 수많은 수학 교재와 선형대수학 교재는 연습문제로 바로 넘깁니다 좀 지루하기 때문이죠 증명을 가르쳐줄 가치가 없다고 생각합니다 그러나 저는 보여드리겠습니다 마지막 법칙인 결합법칙을 말이죠 한번 봅시다 한 스칼라가 있고 어떤 벡터 v에 곱한다면 한 스칼라를 어떤 벡터 v에 곱하고 여기에 w를 내적하면 일반 곱셈과 같다면 결합법칙이 성립할 것입니다 일반 곱셈과 같다면 결합법칙이 성립할 것입니다 하지만 아직 미지수입니다 아직 증명을 안했으니까요 이것은 (c×v)·w 입니다 한번 풀어보도록 하죠 c × v는 무엇일까요? c × v는 c × v1, c × v2... c × vn 입니다 그리고 벡터 w에서 이미 어떻게 될지 알고 있죠 w와 내적하면 어떻게 될까요? w의 첫 번째 항과 이 값의 곱이 되겠죠 따라서 cv1w1 + cv2w2 + ... + cvnwn이 됩니다 좋아요 이쪽 변은 이렇습니다 그러면 이제 다른쪽 변을 해보죠 v·w는 무엇일까요? 여기에 적어보죠 이 과정을 수차례 했죠 v1w1 + v2w2 + ... + vnwn 입니다 저도 지치고 여러분도 지칠 거에요 하지만 이렇게 연습하는 것은 꽤 도움이 됩니다 알다시피, 누군가가 여러분에게 이 문제에 대해 물어본다면 이렇게 하면 되겠죠 c와 이 식의 곱은 무엇일까요? 이 식에 스칼라를 곱하는 것은 저 식에 스칼라를 곱하는 것과 같아요 따라서 스칼라와 이 커다란 식을 곱합니다 이 식은 일반적인 수의 일반적인 분배법칙입니다 이 식은 일반적인 수의 일반적인 분배법칙입니다 따라서 cv1w1 + cv2w2 + ... cvnwn 입니다 따라서 cv1w1 + cv2w2 + ... cvnwn 입니다 이 값과 이 값이 같기 때문에 이 값과 이 값이 같다는 것을 확인할 수 있습니다 이제 제일 어려운 부분이 남았어요 제가 처음 선형대수학을 들었을 때 교수가 증명하라는 문제가 있었죠 이 과제를 하는데 상당히 힘들었어요 딱봐도 터무니없었기 때문이죠 이들의 성분은 각 값의 성분을 곱하고 모두 더한 게 됩니다 따라서 이들은 결합법칙이 성립합니다 더 증명할 필요가 있나요? 이 과정을 적는데 시간이 별로 안걸렸죠 지구가 산산조각 날만한 것을 원하는 게 아닙니다 그저 각각의 성분에 대해서 일반적인 수에 대한 분배법칙, 결합법칙, 교환법칙이 일반적인 수에 대한 분배법칙, 결합법칙, 교환법칙이 벡터와 내적에 대해서도 비슷하게 적용할 수 있다는 것을 이해했기를 바랍니다 비슷하게 적용할 수 있다는 것을 이해했기를 바랍니다 유용하게 쓰였으면 좋겠네요 다음 강의에서 다시 만납시다 그때는 벡터의 더욱 흥미로운 성질을 증명하기 위해 이들을 활용할 것입니다