집합의 원상

원소들을 집합 X에서 집합 Y로 대응시키는 변환 T를 찾아봅시다 집합 X는 T의 정의역입니다 이 집합 X에 대응하는 집합 Y는 공역입니다 T는 집합 X의 아무 원소나 대응시켰을 때 집합 Y의 원소로 바뀌는 변환입니다 집합 Y의 원소로 대응시킬 것입니다 이것이 바로 변환 혹은 함수의 역할입니다 만약 T의 부분집합이 있다면 집합 A라고 합시다 집합 A를 이렇게 그려보겠습니다 이 표시는 T의 부분집합을 의미합니다 T의 부분집합 A의 상의 기호를 이렇게 정의하였습니다 T의 부분집합 A의 상입니다 이것을 이 집합과 같다고 정의하였습니다 여기 적겠습니다 이 부분집합의 모든 원소를 대응시키면 변환된 모든 원소의 집합이 만들어집니다 변환된 모든 원소의 집합이 만들어집니다 물론 이들은 집합 Y의 부분집합이 될 것입니다 물론 이들은 집합 Y의 부분집합이 될 것입니다 기본적으로 집합 A의 모든 원소를 대응시킵니다 이건 그 중 하나죠 변환을 찾아야 합니다 이 점이네요 집합 A의 다른 원소를 대응시킵니다 여기 있는 모든 부분이 집합 A에 해당됩니다 집합 A의 다른 원소를 찾습니다 그것의 변환을 찾습니다 아마 이 점이 될 것입니다 이 과정을 계속 진행합니다 변환을 찾습니다 아마 이 점이 될 거에요 그러면 이 모든 변환의 집합은 아마 이 구역이 될 것이고 이것을 T에 있는 집합 A의 상이라고 부릅니다 만약 반대로 생각하면 어떨까요? 만약 반대로 생각하면 어떨까요? 집합 Y, 즉 공역에서 시작하면 어떻게 될까요 여기가 집합 Y이고 집합 Y의 부분집합이 있습니다 그것을 S라고 부릅시다 집합 S는 공역 Y의 부분집합입니다 그러면 집합 X의 어떤 부분집합이 집합 S에 대응하는지 궁금하지 않나요 그러면 집합 X의 어떤 부분집합이 집합 S에 대응하는지 궁금하지 않나요 정의역에 포함되는 벡터 중에서 부분집합 S에 대응하거나 변환되는 벡터의 집합을 구하고자 합니다 제가 말하려는 것은 다음과 같아요 보세요, 정의역이 있으면 어떤 벡터의 부분집합이 존재할 것이고 이 집합에서 임의의 원소를 대응시키면 여기에 대응할 것입니다 이것이 바로 제가 정의하려는 바입니다 이것은 저것과 같습니다 따라서, 말 그대로 S에 대응하는 X의 모든 원소는 무엇인가요? 여기서 미묘한 차이를 알아봅시다 그렇다고 집합 S의 모든 원소들이 반드시 대응하는 것은 아닙니다 예를 들어 집합 S의 어떤 원소가 변환 T에 의해서 X의 어떤 원소에도 대응하지 않을 수 있습니다 괜찮아요 제가 말하고자 하는건 단지 이 집합의 모든 원소들이 집합 S의 무언가에 대응한다는 것입니다 그리고 이 집합을 표기할 때 집합 S의 역함수 T라고 부르지만 이것은 T에 있는 집합 S의 원상과 같습니다 그래서 이것이 집합 S입니다 이것은 T에 있는 집합 S의 원상입니다 이제 이해가 되네요 이 상은 정의역의 부분집합에서 공역의 부분집합으로 대응합니다 원상은 공역의 부분집합에 정의역의 어떤 부분집합이 대응하는지에 대한 답입니다 보너스 문제를 내볼게요 보너스 문제를 내볼게요 집합 S의 원상의 상은 무엇일까요? 집합 S의 원상의 상은 무엇일까요? 이것은 기본적으로 이것의 상이죠? 이 부분은 집합 S의 원상입니다 만약 이것의 상을 구한다면 만약 우리가 이것의 모든 원소를 취한다면 어떤 벡터들이 대응할까요? 그들 모두는 집합 S 안에 있게 되므로 따라서 집합 S 안으로 대응하지만 반드시 집합 S의 모든 것에 대응할 필요는 없습니다 따라서 이것은 집합 S의 어떤 부분집합이 될 것입니다 그러므로 여기 이 부분은 원래 집합 S의 어떤 부분집합이 될 것입니다 반드시 집합 S와 같지는 않지만 그것의 부분집합입니다 그래서 역함수 표기가 생겨난게 아닌가 싶어요 그래서 역함수 표기가 생겨난게 아닌가 싶어요 집합 S의 원상의 상을 구함으로써 집합 S의 부분집합을 만들 수 있습니다 상과 원상이 서로 상충되는 식으로 생각할 수 있고 그것이 아마 역함수 표기가 사용된 이유일 것입니다 이 모든 것들은 굉장히 추상적이에요 다음 시간에는 공역의 한 부분집합의 원상을 계산하거나 정의해봅시다