원상과 핵 예제

R2에서 R2로 변환 했다고 가정을 해보죠 본질적으로 이건 행렬을 곱이다 우린 모든 선형변환이 행렬의 곱으로 표현할 수 있는 걸 압니다 이건 행렬 1, 3, 2, 6 곱하기 정의역의 아무 벡터라고 말 할 수 있습니다 x1, x2를 곱한다고 할게요 이제 공역에서 어떠한 부분집합이 있다고 할게요 그려보겠습니다 제 정의역은 이렇게 생겼습니다 R2입니다 당연히 제 함수 또는 변화은 R2의 원소들을 공역의 원소들로 사상합니다 우연히도 이것도 R2입니다 자신한테 사상하는 걸 보여줄 수 있으나 간단히 설명하기 뭐해서 공역을 그려보겠습니다 우리의 변환은 당연히 여기 있는 어떠한 원소들로 사상합니다 이것의 변환은 R2에 결합 또는 사상합니다 만약 R2의 부분집합들을 있으면 두개의 벡터들의 집합이 있다고 가정할게요 R2에 속해 있는 영벡터랑 벡터 1,2요 다른 색갈로 설명드리겠습니다 이 포인트가 R2의 영벡터입니다 좌표계에서 그리는 게 아니라 그냥 R2에 속해 있는 걸 보여드리는 겁니다 이게 아까 말한 영벡터고 이건 벡터 1,2라고 합시다 정의역에 있는 어떤 벡터들이 변환돼 이 부분집합에 사상하는지 알고 싶습니다 이 포인트에 사상하는 벡터들이요 우린 본질적으로 s의 원상을 알고 싶습니다 면밀히 설명드리겠습니다 s의 T에 대한 원상을 알고 싶습니다 면밀히 설명해드리는 이유는 T에 대한을 말 안하시면 뜻이 좀 왜곡될 수 있습니다 그냥 무엇의 상이라고하면 변환 전체의 상을 말합니다 두 동영상 전에 말씀드린 것 같습니다 하지만 집합의 상 또는 원상을 구하는 거면 어떤 변환에 대한지 꼭 말해줘야 한다 그래서 우린 공역의 부분집합의 변환 T에 대한 원상을 알고싶은 겁니다 이걸 T'(s)로도 쓸 수 있습니다 이전 동영상에서 모든 x는 정의역에 속한 원소들이고 모든 x의 변환이 공역에 속한 부분집합의 원소이며 이것의 원상을 찾고 싶은 것입니다 맞죠? 지금까지 설명드린 걸 다른식으로 쓸 수 있습니다 이렇게 쓰겠습니다. 모든 x는 정의역에 속한다 이걸 A라고 하죠 행렬 A입니다 A 곱하기 x는 S의 원소입니다 그 뜻은 A 곱하기 x 는 이거랑 같거나 이거랑 같습니다 그래서 A 곱하기 벡터 x는 영벡터입니다 또는 A 곱하기 벡터 x는 벡터 1,2 입니다 이것은 바로 여기에 있는 것과 똑같은 말입니다 좀 더 명백히 실제 변환 A 곱하기 x의 관점에서 말한 것뿐입니다 실제 집합의 관점에서 말하면 우리 집합은 그냥 두 벡터들입니다 만약 s의 T에 대한 원상을 이 집합에서 찾고 싶으면 이 두개 식을 만족시키는 x 값들을 찾으면 됩니다 첫번째로 행렬 1, 3, 2, 6 곱하기 x1, x2 는 영벡터를 성립시키는 x 값들을 찾아야합니다 이 식은 아까 우리가 만든 이 식에서 왔습니다 이거에 대한 모든 해를 찾아야합니다 아마 기억하실 수 있을 겁니다 이걸 만족하는 모든 x는 행렬의 영공간이라는 것을 말입니다 그냥 도움을 드리려고 말해드렸습니다 다른 식도 풀어야합니다 파란색으로 하겠습니다 S의 T에 대한 원상은 행렬 1, 3, 2, 6 곱하기 x1, x2는 1, 2 식으로 찾을 수 있습니다 이 식은 첨가행렬로 풀이 할 수 있습니다 첨가행렬은 1, 3, 2, 6, 0, 0 으로 쓸 수 있습니다 이 첨가행렬은 1, 3, 2, 6, 1, 2 입니다 이걸 기약행사다리꼴행렬로 쓰겠습니다 두번째 행을 두번째 행 빼기 2 곱하기 첫번째 행으로 바꿔보겠습니다 그래서 답이 뭘까요? 첫번째 행은 그대로 있습니다 1, 3, 0 두 식 다 동시에 하겠습니다 이 시스템들을 병렬로 풀이 해보겠습니다 첫번째 행은 그대로 있습니다 1, 3, 1 두 첨가행렬들의 왼쪽항들을만 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들고 싶습니다 똑같은 행연산을 적용하겠습니다 두번째 행을 자기 자신 빼기 첫번째 행 곱하기 2로 바꿀겁니다 그래서 2 빼기 2 곱하기 1은 0 입니다 6 빼기 2 곱하기 3은 0입니다 0 빼기 2 곱하기 0은 0입니다 2 빼기 2 곱하기 1은 0입니다 6빼기 2곱하기 3은 0입니다 2 빼기 2 곱하기 1은 0입니다 그럼 두번째 행이 모두 0이 됩니다 첨가행렬을 기약행사다리꼴행렬로 만들었습니다 이제 이것들을 만족 시키는 x1과 x2를 어떻게 찾을까요? 첫번째 열이 추축열인 것을 인지할 수 있을 겁니다 이것들은 x1 변수와 연관된 걸 알 수 있습니다 그러므로 x1은 추축 변수인 걸 알 수 있습니다 두번째 열은 1이 없기 때문에 추축열이 아닙니다 그러므로 x2랑 연관됩니다 x2가 추축열이 아니므로 x2는 자유 변수입니다 그말은 x2는 아무값을 갖을 수 있다 x2를 설정하겠습니다 x2는실수의 원소인 t라고 합시다 이 경우에 x1는 뭘까요? 위 식을 한번 써보겠습니다 첫번째 행렬들을 다시 살펴보겠습니다 x1+3x2=0 입니다 x1+3x=0 입니다 x2가 t이면 이 식은 x1+3t=0 입니다 양변에 3t를 빼주면 x1=-3t 로 식을 정리할 수 있습니다 이 식에서 x2를 t로 치환해주면 x1=1－3t가 됩니다 이제 해의 집합들으로 벡터 표기법으로 써보겠습니다 이 첫번째 식은 좌변은 열행렬 x1, x2 로 표현하겠습니다 아까 x2는 t라고 했으니까 그럼 이 식에서 x2=t입니다 그러므로 x2는 t 곱하기 1 입니다 아까 x2=t 정의했으니까 이렇게 쓰는 게 맞습니다 그럼 x1은 뭘까요? 왼쪽 밑에 있는 식에 우리 x1=-3t라는 것을 찾았습니다 그럼 t를 스칼라로 행렬 바깥으로 빼고 x1는 t 곱하기 -3 으로 표현하겠습니다 첫번째 식의 벡터 해는 이겁니다 t는 실수의 원소니까 x1과 x2는 벡터 -3, 1의 스칼라배입니다 이걸 위치 벡터로 생각하면 이건 R2 선일 겁니다 곧 올겁니다 이건 첫번째식의 하나의 해입니다 두번째식의 해는 어떻게 구할까요? x1, x2에 집중해주세요. 한번 볼게요 x2 아까랑 마찬가지로 t 곱하기 1입니다 . 우리가 아까 x2=t 라고 정의했으니까요 이제 x2는 구했습니다 그럼 x1은 뭘까요? 두번째식은 x1= 1-3t 라는 걸 구했었습니다. 그럼 x1은 -3 곱하기 t 더하기 1로 표현할 수 있습니다 x1의 경우 벡터 1 더하기 t 곱하기 -3입니다 여기는 0이라고 할 수 있습니다 그러므로 x2는 0 더하기 t로 표현할 수 있습니다 또는 x2=t 입니다 두번째식의 해의 집합을 구했습니다 그럼 S의 원상은 뭘까요? S는 공역의 두점들이라는 걸 기억해야합니다 S의 T 대한 원상은 두 식을 모두 만쪽하는 x들입니다 한번 그것들을 그래프를 그려보겠습니다 그래프를 만들겠습니다 조금 지져분하니까 이 밑에 그래프를 만들겠습니다 보기 좋게 여기에 우리가 찾은 결과들을 복사해서 붙이겠습니다 이것들이 저희가 구한 두 결과들입니다 다시 펜을 사용해서 그래프를 그려보겠습니다 첫번째 식의 해의 집합은 벡터 -3,1의 배수들입니다 이 -3,1 벡터 이렇게 생겼습니다 하지만 첫번째 식의 해의 집합은 -3, 1의 스칼라배입니다 여기는 그냥 쉼표입니다 맞죠 만약에 벡터에 두배를 하면 -6, 2 가 되니까 그래프를 이렇게 그릴 수 있겠네요. 그러므로 이 직선에 있는 모든 점들이 해가 될 수 있습니다 이해하시겠죠? 이 선이 해의 집합입니다 그럼 두번째 식의 해의 집합은 뭘까요? 먼저 벡터 1,0 을 그래프에서 점 찍겠습니다 더하기 -3,1의 스칼라 배수을 그래프에 그려보겠습니다 -3,1의 1 스칼라배는 이렇게 생길겁니다 모든 t의 실수 스칼라 배수의 곱은 이렇게 그래프 할 수 있습니다 첫번째 식의 해의 집합과 똑같은 기울기를 가지며 평행이동한 선입니다 x축의 방향으로 1만큼 평해이동했습니다 그럼 이제 이걸 왜 했는지 생각해봅시다 이제 그래프를 끄고 더 자세히 설명드리겠습니다 정의역에 있는 벡터 변환하면 공역의 부분집합에 있는 벡터로 사상하는 걸 벡터를 찾고 싶었습니다 이 예시들에서는 벡터 0, 0 또는 1,2 로 사상는 벡터를 이 두 식들을 풀면서 찾았습니다 다시 그래프를 켜면 두 직선들이 점들로 사상합니다 이것들을 변환하면 같은 그래프에 그릴 수 있습니다 변환을 적용하면 그 값들은 0,0 그리고 1,2 포인트로 사상할 겁니다 여기서 볼 수 있습니다 파란색으로된 점들을 변환을 적용하면 0, 0으로 변환합니다 그걸 위 식을 풀어서 알 수 있었죠 오렌지색 점들을 변환하면 모두 포인트 1, 2로 사상합니다 이 파란색 선은 특별한 이름이 있습니다 아마 전에도 이 파란색 선에 대해 말했을 겁니다 이걸 파란색 선을 B라는 집합이라고하면 이 집합은 이 식의 벡터들의 집합입니다 이 파란색 벡터 집합의 T에 대한 상을 구하면 모두 영벡터로 사상합니다 그래서 T(B)는 영벡터의 집합과 같습니다 동영상 앞부분에 이 집합이 영공간이랑 같다고 했습니다 행렬의 영공간은 그 행렬과 곱이 0이 되는 벡터들입니다 이것도 비슷한 생각입니다 이 변환은 행렬로 정의돼 있습니다 우린 변환 값이 영벡터가 되는 모든 x들을 찾았습니다 그래서 여기 써 있는 파란색은 T의 핵이라고 합니다 가끔 간단하게 Ker(T)로 표현됩니다 Ker(T)은 말 그대로 변환이 영벡터가 되는 정의역에 있는 모든 벡터들을 뜻합니다 이게 핵의 정의입니다 만약 변환이 행렬 곱하기 벡터면 아무 선형변환은 행렬 곱하기 벡터로 표기할 수 있습니다. 그러므로 T의 핵도 A의 영공간이라고 할 수 있습니다 동영상 앞부분에서 그것을 보았습니다 여하튼 이게 도움이 됐으면 좋겠네요