행렬의 합과 스칼라 곱 심화

저번 시간에는 두 선형변환에 대해 알아보았습니다 Rn에서 Rm으로 대응시키는 선형변환 S가 있었죠 마찬가지로 Rn에서 Rm으로의 선형변환인 T도 있었습니다 그리고 이 두 변환의 합을 정의해 보았습니다 그리고 이 두 변환의 합을 정의해 보았습니다 x에 대한 변환 S + T는 x에 대한 변환 S와 x에 대한 변환 T의 합과 같다고 정의하였습니다 물론 이 x는 Rn에서 왔을 것이고 변환되어 나온 이 벡터는 Rm에 있겠죠 Rm의 벡터 2개를 더하게 되면 또 다른 Rm의 벡터를 얻을 수 있습니다 왜냐하면 Rm은 유효한 부분공간이거든요 또한 덧셈에 대해 닫혀있죠 따라서 대응관계가 유지됩니다 그래서 S+T는 여전히 Rn에서 Rm으로의 변환입니다 그리고 저번시간에도 말했듯이 모든 선형변환은 행렬로 표현될 수 있습니다 x에 대한 변환 S는 행렬 A와 x의 곱과 같습니다 마찬가지로 x에 대한 변환 T는 행렬 B와 x의 곱과 같죠 그리고 둘 다 m×n 행렬일 것입니다 써볼게요 둘 다 m×n 행렬입니다 왜냐하면 두 개 모두 Rn에서 Rm으로의 변환이거든요 다른 정의도 했었습니다 이거 말고 다른 정의 말이에요 이거 말고 다른 정의 말이에요 두 행렬의 합을 정의했었습니다 임의의 행렬 A와 B의 합을 구하려면 두 행렬은 같은 차원이여야 합니다 이 경우에는 둘 다 m×n 이겠죠 그리고 두 행렬의 합은 새로운 행렬로 정의할 수 있습니다 새로운 행렬의 열은 앞의 두 행렬의 대응되는 열의 합과 같습니다 따라서 이 행렬의 첫 번째 열은 A와 B의 첫 번째 열의 합이 되겠죠 즉, a₁ + b₂ 입니다 두 번째 열은 a₂ + b₂ 가 되겠죠 이런식으로 an + bn 까지 갑니다 이게 바로 정의입니다 그리고 이 정의를 만든 이유는 이렇게 행렬의 합을 정의하면 여기 이것을 Ax + Bx 로 대체해보면 여기 있는 이것이 이 정의에 의해 동일한 행렬이라는 것을 알 수 있습니다 (A+B)x가 됩니다 식을 좋게 표현하기 위한 디딤돌이었습니다 행렬의 합을 이렇게 정의하면서 말이죠 뜬구름 잡는 소리같나요? 자, 그럼 행렬을 직접 더해 봅시다 2×2 부터 시작하죠 행렬 1, 3, -2, 4 같은 차원의 행렬인 2, 7, -3, -1을 더해보세요 뭐가 나오죠? 여러분은 정의에 따라 대응하는 열들을 더했을 것입니다 첫 번째 열을 더합니다 대응되는 열을 더할 때 두 벡터의 열을 더하면 어떻게 되나요? 그냥 대응하는 성분을 더하면 되겠죠 기본적으로 행렬을 더할 때에는 대응하는 성분끼리 모두 더하면 됩니다 이것이 정의하는 방법이기 때문에 이런 식으로 얘기하겠습니다 하지만 결국 동일한 이야기입니다 첫 번째로 여기 있는 행렬의 첫 번째 열은 여기 있는 두 열의 합이 될거에요 1+2가 되겠죠 그리고 -2-3이 됩니다 마찬가지로 여기 두 번째 열은 3+7, 4-1이 될거에요 계산하면 3, 10, -5, 3 이렇게 나옵니다 알아두세요 정의에 따라 열을 더하고 있지만 알아두세요 정의에 따라 열을 더하고 있지만 무슨 일이 일어났죠? 그저 대응하는 성분끼리 더하고 있었어요 1과 2, 3과 7 -2와 -3, 4와 -1 정말 쉽죠 이렇게 쉬울 수가 없습니다 사실, 이 정의를 다시 쓸 수 있습니다 벡터 혹은 행렬 A의 행은 a11, a12, ... , a1n 이고 벡터 혹은 행렬 A의 행은 a11, a12, ... , a1n 이고 열은 a21, ... , an1 이런 식이라면 저쪽 아래는 ann이 되겠죠 전에 본 적이 있죠? 그리고 행렬 B는 똑같은 방식으로 b11에서 시작해서 b12, ..., b1n까지 있고 이 열은 b21, ..., bn1까지 있습니다 아, 미안합니다 행이 m개니까 mn이겠죠 그래서 여기는 bm1, bm2 끝은 bmn이 되겠네요 주의하세요 m×n 행렬입니다 마지막 행은 두 벡터 모두 m번째 행이겠죠 하지만 행렬을 다시 정의하거나 행렬의 합의 또 다른 정의는 다음과 같습니다 만약 A와 B를 더한다면 그저 대응하는 값을 더하면 됩니다 여기 성분은 다른 색으로 표시해볼게요 a11 + b11이 될 것입니다 이 성분은 a21 + b21이고 이런식으로 am1 + bm1까지 갈 것 입니다 여기도 마찬가지로 a12 + b12고 a1n까지 스크롤을 움직이겠습니다 a1n + b1n까지 갈 것입니다 마지막은 amn + bmn이 되겠네요 이것은 동일한 정의입니다 이 방법은 공간소모를 많이 줄일 수 있고 벡터의 합을 이미 정의했기 때문에 수월하게 진행하였습니다 근본적으로 시간이 단축될 것입니다 그냥 대응하는 성분끼리 더하면 되니까요 그것이 바로 행렬의 합입니다 아마 여러분이 최근에 수학 공부를 하면서 본 가장 간단한 개념일 것입니다 이제 행렬 스칼라 곱셈으로 가죠 아주 비슷한 개념입니다 변환에 스칼라 곱을 취해 x를 변환한 것과 x의 변환에 스칼라 곱을 취한 것은 같다고 정의했습니다 이것이 정의였습니다 임의의 행렬 A의 스칼라 곱에서도 마찬가지입니다 새로운 행렬의 열을 구하려면 a의 열벡터에 스칼라를 곱하면 됩니다 ca1, ca2, ... can까지 가겠죠 그리고 이것의 장점은 간단하게 만들 수 있다는 점인데 T를 Bx와 같다고 했었죠 x에 대한 T의 변환은 무엇과 같냐면 아 앞에 c도 있죠 행렬 B에 c를 곱하고 이어서 벡터 x를 곱한 것과 같겠죠 이것이 x의 변환이 표현될 수 있는 방법입니다 따라서 이것을 다뤄보자면 다음과 같습니다 저번 강의에서 했던 것처럼 열벡터에 x에 대한 각 성분을 곱합니다 그 후 c를 분배하고 살짝 정리합니다 그 후 c를 분배하고 다시 정리합니다 이제 이 정의에 의해 이것이 새로운 행렬 cB와 같다고 할 수 있습니다 이 정의를 사용하고 있어요 정의를 이용하여, 새로운 행렬 cB는 Bx의 각 열벡터에 c를 곱합니다 Bx의 각 열벡터에 c를 곱합니다 목적을 달성했습니다 이것을 새로운 행렬과 벡터의 곱으로 표현하고 싶었죠 왜냐하면 모든 선형변환은 이런 식으로 표현이 가능해야 하거든요 그것이 이 정의를 만든 이유입니다 자, 이제 적용해봅시다 이것이 어쩌면 행렬의 덧셈보다도 더 간단할지도 모르겠네요 행렬에 스칼라 5를 곱한다고 합시다 3×2 행렬로 하겠습니다 1, -1, 2, 3, 7, 0 입니다 이것은 정의에 의해 각각의 열벡터에 스칼라곱을 해주면 각각의 열벡터에 스칼라곱을 해주면 1, 2, 7에 5를 곱합니다 어떻게 하냐고요? 그냥 각 성분을 5배 하면 됩니다 1 × 5 = 5 2 × 5 = 10 7 × 5 = 35 입니다 다음 열도 마찬가지로 5배 하면 됩니다 각 성분에 5를 곱하면 되죠 -1 × 5 = -5 3 × 5 = 15 0 × 5 = 0 입니다 너무 간단하네요 말 그대로 이 정의로 돌아간다면 행렬의 스칼라곱을 정의할 수 있습니다 또, cA를 정의할 수 있는데 이것이 A를 나타낸 거라면 A의 각 성분에 c만큼 곱해주면 됩니다 A의 각 성분에 c만큼 곱해주면 됩니다 그게 다에요 a11 × c, a12 × c a1n × c 까지 하면 됩니다 밑으로 가서 a21 × c am1 × c 까지 하면 되죠 대각선 방향으로 가서 amn × c를 하면 되겠네요 말 그대로 스칼라를 A의 각 성분에 곱해주면 됩니다 그것만 하면 돼요 이제 조금 명확해졌기를 바랍니다 아니면 단지 고등학교에서 배운 내용의 복습이였을지도 모르겠습니다