함수 더 이해하기

지금까지 수학을 배워오면서 언젠가 함수를 공부한 적이 있을 거예요 그러나 이 영상에서는 익숙한 개념에서 벗어나 함수를 좀 더 형식적인 측면에서 배워보고 또 여태까지 배운 벡터와 선형대수학의 개념과 연결하고자 합니다 함수는 한 집합의 원소들과 다른 집합의 원소들과의 관계를 나타냅니다 어떤 집합 X가 있다고 합시다 모든 X의 원소들을 집합 Y의 원소들에 대응 시킬 것입니다 여기 집합 X와 Y가 있습니다 참고로 무조건 이 그림처럼 집합 Y가 더 작을 필요는 없습니다 함수는 어떤 관계를 나타내요 이 집합 X에서 한 원소를 선택하면 이게 그 원소라고 생각해요 점으로 표시할게요 그러면 이 함수는 이 점을 보고 점에 대응되는 원소를 Y에서 선택합니다 점에 대응되는 원소를 Y에서 선택합니다 함수는 이 X의 점을 보고 Y에서 그 점과 짝을 이루는 점을 찍어서 연결지어줍니다 X와 Y의 대응관계는 바로 이런겁니다 X와 Y의 대응 관계는 바로 이런 겁니다 만약 새로운 X의 원소가 주어진다면 또 다른 Y의 원소와 대응시키면 됩니다 Y안의 똑같은 원소를 대응시킬 수도 있습니다 이 표기법을 읽을 때는 집합 X에서 Y안으로 사상한다고 해요 이 표기법을 읽을 때는 집합 X에서 Y안으로 사상한다고 해요 지금은 포괄적으로 설명한 거예요 아마 이 개념이 와닿지 않아서 도대체 전에 배운 함수 개념과 무슨 상관이 있는지 궁금해 하는 학생도 있을 수 있어요 그럼 지금 여러분이 예전부터 자주 접했던 함수를 써볼게요 이렇게 생긴 식을 자주 봤을 거에요 f(x) = x^2 이렇게 생긴 식을 자주 봤을 거에요 f(x) = x^2 이 식을 어떻게 왼쪽처럼 나타낼 수 있을까요? f(x) = x^2은 함수를 흔히 보는 함수의 형태입니다 f(x) = x^2은 함수를 흔히 보는 함수의 형태입니다 함수를 f로 줄여서 쓸게요 g(x)로 써도 되지만 f(x)라고 할게요 함수는 꼭 f로 써야 하는 법은 없답니다 알아두세요 이 경우에 f는 모든 실수를 다룹니다 모든 실수를 f에 집어 넣을 수 있다는 뜻이죠 그리고 이런 조건도 함수의 정의에 포함됩니다 범위를 정수나 짝수, 짝수 정수로 제한할 수도 있어요 범위를 정수나 짝수, 짝수 정수로 제한할 수도 있어요 하지만 함수의 정의의 한 부분이므로 일단 함수의 범위를 모든 실수라고 합시다 모든 실수를 함수에 대입하고 대응되는 수도 모든 실수입니다 따라서 이 경우에 x가 실수라면 대응되는 값도 실수 즉, 자기 자신입니다 논리적으로 타당합니다 이 그림을 실수의 집합이라고 봅시다 실제로 실수의 집합은 무한히 크지만 이걸 실수의 집합이라고 하면 이 함수의 대응점은 R의 한 점에서 시작해서 R의 다른 점에서 끝나요 R의 한 점에서 시작해서 R의 다른 점에서 끝나요 이 안의 모든 점을 그 값의 제곱에 대응시키는 겁니다 이 안의 모든 점을 그 값의 제곱에 대응시키는 겁니다 여기서 잠시 짚고 넘어갈 게 있어요 제가 맨 처음 함수를 배웠을 때는 함수에 x를 집어넣으면 x 제곱을 뱉는다고 생각했어요 그렇게 x 제곱을 내놓는다고 생각했죠 이건 사실이죠 실제로 이렇게 나와요 그 다음에 저는 다르게 생각해 봤어요 함수가 x를 다른 수로 바꾼다고 생각했죠 이런 식으로 생각해도 돼요 사실 가장 적절한 표현일 수도 있죠 하지만 지금 배우는 함수의 정의는 x와 x^2 사이의 대응 관계라고 하는 것이 적절해요 이 오른쪽 글자는 함수를 또 다르게 나타낸 거에요 이 오른쪽 글자는 함수를 또 다르게 나타낸 거에요 여기 있는 이 두 식은 완전 똑같은 식입니다 여기 있는 이 두 식은 완전 똑같은 식입니다 오른쪽 식은 본 적이 별로 없겟지만 변수 사이의 대응 관계를 더 잘 나타내요 반면 왼쪽 식은 비유하자면 기계와 같아서 x를 넣으면 x를 뚝딱뚝딱 가공해서 x 제곱이든 무엇이든 만들어내죠 오른쪽 표기법이 조금 더 대응 관계를 잘 나타냅니다 어떤 x를 주면 실수 중에서 x^2에 해당하는 짝을 내놓습니다 어떤 x를 주면 실수 중에서 x^2에 해당하는 짝을 내놓습니다 잠시 표기법에 대해 알아봤어요 다음은 용어를 알아볼 거에요 이미 배운 용어도 있을 거에요 대응 시키려고 하는 집합은 정의역이라고 합니다 함수 정의의 한 부분이에요 나를 함수의 주인이라고 하면 집어넣어야 하는 값은 실수여야 한다고 정하는 겁니다 대응되는 집합 대상은 공역이라고 합니다 여기서 어떤 의문이 들 수 있어요 다른 수II 같은 과목에서 함수를 처음 배울 때 공역을 배운 적이 없을 거예요 공역을 배운 적이 없을 거예요 대신에 치역을 배웠어요 저는 중학교 1, 2학년때 처음 치역을 배웠어요 공역은 치역과 무슨 관계가 있을까요? 두 용어는 의미가 크게 다르진 않아요 공역은 대응 대상이 되는 집합입니다 예를 들면 이 부분이 공역이에요 이 예시에서는 실수가 정의역과 공역에 모두 해당됩니다 그렇다면 치역은 무슨 관련이 있을까요? 공역은 대응 대상이 될 가능성이 있는 집합입니다 공역은 대응 대상이 될 가능성이 있는 집합입니다 함수는 꼭 공역 안의 모든 수와 대응하지 않아도 됩니다 함수는 꼭 공역 안의 모든 수와 대응하지 않아도 됩니다 함수는 한 집합의 일부분과 다른 집합의 일부분을 대응시키는 겁니다 함수는 한 집합의 일부분과 다른 집합의 일부분을 대응시키는 겁니다 치역은 부분집합이고 치역은 공역과 똑같을 수도 있습니다 치역은 어떤 부분집합입니다 참고로 집합은 자기 자신의 부분집합입니다 또 집합의 원소는 자기 자신의 원소기도 합니다 따라서 자기 자신의 부분집합이에요 치역은 공역에서 함수가 값을 대응시키는 부분의 부분집합입니다 치역은 공역에서 함수가 값을 대응시키는 부분의 부분집합입니다 예를 하나 들게요 어떤 함수 g를 정의하고 실수 집한 안의 범위에서 대응시킵니다 R2에서 R로 대응한다고 하죠 2개의 요소로 된 집합을 R에 대응시키는 거예요 2개의 요소로 된 집합을 R에 대응시키는 거예요 그리고 g를 다른 표기법을 사용해서 정의할게요 그리고 g를 다른 표기법을 사용해서 정의할게요 이제 g에 넣어햐 할 값이 두 개에요 x1과 x2라고 놓읍시다 그리고 g(x1, x2)는 항상 2와 같다고 합시다 R2에서 R로 대응하지만 항상 2와 같습니다 흔히 보기 어려운 표기법으로 나타내 볼게요 흔히 보기 어려운 표기법으로 나타내 볼게요 g는 임의의 점 x1, x2를 2에 대응시킵니다 이렇게 나타내면 대응 관계가 확실하게 보여요 용어를 확실하게 정리해 봅시다 정의역은 무엇인가요? 실수는 무엇인가요? 함수 정의의 한 부분입니다 R2로부터 대응시킨다고 했으므로 정의역은 R2입니다 공역은 무엇인가요? 공역은 대응할 가능성이 있는 집합이고 함수 정의의 한 부분입니다 이것은 정의에 의해 공역에 해당합니다 따라서 여기서 공역은 R입니다 그러면 함수의 치역은 무엇일까요? 치역은 함수에서 대응되는 값의 집합입니다 치역은 함수에서 대응되는 값의 집합입니다 이 경우 대응되는 값은 항상 2입니다 따라서 치역은 2입니다 그림으로 나타내 볼게요 R2는 실제로 이런 모양이 아니라 모든 공간을 꽉 채워야 해요 이해를 도우려고 이렇게 그린거에요 이건 R2에요 R을 그릴 때는 수직선처럼 그려야 해요 R을 그릴 때는 수직선처럼 그려야 해요 재미로 그렇게 한 번 해봅시다 다른 데서 찾아보기 어려울 걸요 R2는 이렇게 그렸고 옆에 R은 그려보면 R은 이 수직선이에요 집합 R입니다 밑에 그림처럼 아무렇게 그려도 되지만 일단은 이게 집합 R이에요 함수 g는 임의의 점을 정확히 2로 대응시켜요 함수 g는 임의의 점을 정확히 2로 대응시켜요 2는 R 위의 한 점이에요 함수 g는 R2 위의 임의의 점을 받아들여요 이 점은 3, -5 등등 아무 값이나 될 수 있어요 함수는 이 점을 R 위의 2에 대응시켜요 점이 여깄으면 2에 대응시켜요 g는 바로 이런 역할을 해요 g의 공역은 모든 실수라고 해도 되지만 치역은 2에요 g의 공역은 모든 실수라고 해도 되지만 치역은 2에요 다른 재밌는 예시를 살펴봅시다 어떤 함수 h를 다음과 같이 정의합니다 h: R2 -> R3 여기서 조심해야 합니다 h는 R2에서 R3으로 갑니다 이 아래에 h(x1, x2) = 더 높은 차원으로 대응시키고 있네요 그렇다면 우선 R3의 첫 번째 좌표부터 살펴봐요 R3의 첫 번째 좌표는 x1 + x2 두 번재 좌표는 x2 - x1 세 번째 좌표를 x2 * x1이라고 합시다 여기서 정의역, 치역, 공역은 무엇일까요? 정의에 따르면 정의역은 이 동그라미 친 부분이에요 정의에 따르면 공역은 R3이에요 2차원 공간을 3차원 공간에 대응시키려고 합니다 2차원 공간을 3차원 공간에 대응시키려고 합니다 x1, x2가 무엇이 되었든 R3 안의 점에 대응시킬 수 있어요 x1, x2가 무엇이 되었든 R3 안의 점에 대응시킬 수 있어요 좀 더 까다로운 질문을 해볼까요? 치역은 무엇일까요? R3에 있는 모든 점에 대응시킬 수 있나요? R3에 있는 모든 점에 대응시킬 수 있나요? 이게 공역이고요 정의역은 R2에요 h는 R2를 가지고 R3를 나타내니까 여기 h를 쓸게요 치역에 대해 말하자면 모든 좌표를 이런식으로 나타낼 수 있는건 아니에요 예를 들어 볼게요 x1과 x2에 어떤 값을 대입해볼게요 함수의 다른 표기법을 써야겠군요 함수 h가 있고 R2 위의 어떤 점 (2,3)이 있다고 합시다 함수는 이 점을 R3 위의 점에 대응시킵니다 함수는 이 점을 R3 위의 점에 대응시킵니다 첫 번째 좌표 2 + 3 = 5 두 번재 좌표 3 - 2 = 1 세 번째 좌표 2 * 3 = 6 (3, 1, 6)은 확실히 치역 안에 있어요 이 점은 치역에 속해있어요 (3, 1, 6) ∈ Range 예를 들어 점 (2,3) 은 여깄다고 가정하고요 이 점은 R3에 대응됩니다 이 점은 R3에 대응됩니다 이 점은 R3에 대응됩니다 3차원 점 (5, 1, 6)에 대응되요 이 점은 치역에 속해있습니다 이 때 R3에 어떤 점이 있다면 어떤 점 (5, 1, 0)이 있습니다 이 점은 치역에 속해있을까요? 확실히 공역에 속한 점은 맞아요 R3 안에 있으니까요 공역의 정의가 곧 이렇습니다 공역의 정의가 곧 이렇습니다 하지만 이 점은 치역 안에 있을까요? 5는 두 수의 합일 것이고 1은 두 수의 차일 것이고 0은 두 수의 곱일 것입니다 2와3의 합이 5고 차가 1인 것은 알지만 두 수의 곱은 0이 될 수 없습니다 따라서 이 점은 치역에 속하지 않습니다 치역은 R3 안의 모든 점의 부분집합입니다 따라서 치역에 속하지 않은 점이 무수히 많고 R3에서 치역에 해당하는 부분집합은 좀 더 작습니다 함수와 관련된 용어를 한 개만 더 알아봅시다 함수와 관련된 용어를 한 개만 더 알아봅시다 위의 함수를 살펴보면 R2 위의 점을 R에 대응시킨 함수의 공역은 R이고 그 위의 함수는 수학에서 가장 흔하게 볼 수 있는 함수인데 마찬가지로 R에 대응시키고요 마찬가지로 R에 대응시키고요 이렇게 R에 대응시키는 함수를 스칼라값 또는 실숫값이라고 합니다 이렇게 R에 대응시키는 함수를 스칼라값 또는 실숫값이라고 합니다 이렇게 1차원 공간에 대응시키는 함수는 스칼라값함수 또는 실수값함수라고 합니다 지금까지 수학을 공부해며 배워온 거의 모든 함수가 이런 함수에요 지금까지 수학을 공부해며 배워온 거의 모든 함수가 이런 함수에요 벡터미적분 같은 과목을 아직 배우기 전이라면 말이에요 1차원 공간보다 높은 차원의 공간이나 부분공간에 대응시키는 함수는 뭘까요 R이나 R의 부분집합에 대응시키는 함수는 실수값함수 또는 스칼라값함수라고 했어요 n이 1 보다 클 때 Rn에 대응하는 함수는 예를 들어 R2, R3, R4, R10 등등 더 커진다면 이런 함수를 벡터값함수라고 합니다 마지막에 정의한 함수 h는 벡터값함수입니다 마지막에 정의한 함수 h는 벡터값함수입니다 이제 다가올 수업에서 필요한 최소한의 개념을 배워봤어요 이 동영상이 도움이 됐길 바라면서 수업 마칩니다