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주요 내용
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변환에서의 부분집합의 상

동영상 대본

R^2 상에 3개의 위치벡터가 있다고 합시다. 조금만 옆으로 당겨 볼게요. 첫번째 위치 벡터는 x0이고 [-2, -2] 입니다 x0를 그려보자면, (-2 , -2)로 가면 되겠죠 이렇게 되겠네요 다음 위치벡터는 x1입니다 [-2, 2] 라고 합시다 여기 그려보자면, (-2 , 2) 저기 저것이 두번째 위치 벡터입니다 x1이라고 부르도록 하죠 위치벡터는 R^2의 벡터공간상에서 특정 좌표를 가집니다 그냥 재미삼아 세번째 벡터도 그려보죠, x2 이것이 [2,-2]라고 합시다 그려보자면, (2,-2) 이므로 여기겠네요 이 벡터가 x2입니다 이제, 제가 궁금한 것은 사실은 궁금하지 않지만 저는 이제 이 점들을 잇는 선분들을 정의하고 싶습니다 첫번째 선분을 만들어보죠 L1이라고 할 수도 있지만 그냥 L0라고 합시다 이 선분은 x0과 x1을 잇습니다 어떻게 그릴 수 있을까요? 여기에 이 선분을 그려봅시다 다른 색깔로 그릴게요 오렌지 색으로 하죠, L0 제가 하고자 하는 것은 저기 있는 3개의 위치벡터 값들의 세트를 만드는 것입니다 이를 정의해 봅시다 x0에서 시작해보죠 우리는 오렌지색 선이 x0와 x1과 x0의 차를 몇배한 것의 합이라고 할 수 있습니다 x1-x0는 저기 있는 벡터를 의미하겠죠 저것이 x1-x0입니다 저 오렌지색 벡터가 말이죠 제가 저기 쓴 것이 읽기 힘드시겠지만 어찌됐건 x1-x0를 구하면 저것을 얻을 수 있습니다 x0와 이 오렌지색 벡터의 합은 파란색 벡터와 같습니다 이런식으로 곱해주는 값이 달리함에 따라 이 방향으로의 다양한 종점을 얻을 수 있겠죠 이 방향으로의 다양한 종점을 얻을 수 있겠죠 x0에서 시작해서 음. 녹색으로 표시해야겠네요. x0에서 시작해서 오렌지색 벡터를 몇배해 더해주면 되겠죠 x1과 x0의 차인 오렌지색 벡터 말이에요 써보죠 (x1-x0)를 t배 한것 이제 범위를 좁힐 차례입니다 이 선분 상에 있음을 표현하려면 Rt의 범위를 좁혀야합니다 t가 실수라면, 아무런 실수도 될수 있다면 우리가 정의한 것은 본질적으로 이 세로선 전체가 됩니다 위아래의 방향으로 무한하게 뻗어나가는 선이 되겠죠 위아래의 방향으로 무한하게 뻗어나가는 선이 되겠죠. 우리는 이것이 여기에서 시작해서 여기에서 끝나도록 제한하려고 합니다 아무 방향을 가질필요도 없구요 우리는 여기 이 작은 선분이 t에 의해 나타내어진다고 할 수 있습니다 이렇게 써보죠 t는 0이상입니다 t가 0일때, 이 항은 사라질것이고 이 점, 즉 이 위치벡터만 남겠죠 녹색으로 그려보죠 우리는 저 위치만 가지고 있습니다 그리고 t는 1 이하의 값입니다 t가 1이라면 어떤 일이 일어날까요? t가 1일 때에는, 이 항이 x1-x0가 됩니다 저기 x0도 있구요 여기 x0와 저기 x0가 상쇄되어서 저 점이 나오겠네요 다른 경우에 대해서도 살펴보자면, t가 1/2일 때에는 무슨 일이 일어나죠? x1-x0인 오렌지색 벡터가 여기에 있습니다 t가 1/2일 때에는 저 오렌지색 벡터의 절반이 될것이고 이 점에서 끝나겠네요 딱 원했던 곳이죠 이 선분의 중점을 구하고자 했습니다 t가 0.25일 때에는, 이 점이 되겠죠 t가 0.75일 때에는, 저곳이 될 것 입니다 결국, 0과 1사이의 임의의 실수 t에 대해 이 선분위의 모든 점에서 끝마칠수 있겠죠 저것이 L0입니다 벡터들의 집합이죠 이제 똑같은 방법으로 x1과 x2 사이의 선을 찾고 선분의 방정식을 찾을 수 있을 것입니다. 선분의 방정식을 찾을 수 있을 것입니다. 그 선분의 방정식을 구하고 싶다면 L1이라고 하죠 L1은 0이상 1이하의 값인 t에 대해 x1+t(x2-x1)으로 표현할 수 있을 것입니다 그게 바로 L1입니다 마지막으로, 삼각형을 만들기 위해서 여기 이 선을 정의해보죠 L2라고 합시다 L2는 x2에서 시작하는 모든 벡터의 집합일 것입니다 L2는 x2에서 시작하는 모든 벡터의 집합일 것입니다 x2와 (x0-x2)를 몇배 한것의 합으로 표현되는 벡터들의 집합이겠죠 x0-x2는 여기 이 벡터입니다 그래서 x0-x2이겠죠 0이상 1이하의 t에 대해서 말이에요 그리고 이것들을 합치면, 하나의 큰 집합을 만들어본다면 하나의 도형을 만들어 볼수 있겠죠 이 모든 것들의 연합이라고 해봅시다 음, 써보죠 L0, L1, 그리고 L2 그러면 여기 멋진 삼각형이 만들어집니다. 이 세개의 집합을 합쳐보면 저기 저 멋진 삼각형을 얻을 수 있습니다 이제, 제가 여기서 하고 싶은 것은 여러분에게 복습이 될지도 모릅니다 하지만 이전과는 다른 관점으로 바라볼 수 있을 것입니다 여기 이 집합에 선형 변환을 취해주면 어떤 일이 일어날까요? 어떤 일이 일어날까요? 그 변환에 대해 정의해보죠 복잡하지 않은 변환으로 하겠습니다 복잡하지 않은 변환으로 하겠습니다 임의의 x에 대해 변환을 정의해보죠 행렬 (1, -1, 2, 0)와 x의 곱으로 정의하겠습니다 행렬 (1, -1, 2, 0)와 x의 곱으로 정의하겠습니다 (x1, x2)라고 합시다 모든 선형변환은 행렬로 나타내어질수 있고 그 반대도 가능합니다 여러분은 어쩌면 제가 모든 것을 행렬로 표현하고 있는 것에 대해 의문을 가질지도 모릅니다 '변환으로는 어떻게 표현하는데요?' 라고 하면서 말이죠 이 모든 것들은 행렬로 쓸 수 있습니다 그러니 바꿔봅시다 이것이 어떻게 나올지 알아보도록 하죠 우리가 구한 삼각형이 변환을 거치면 어떻게 될지 알아봅시다 우선 변환을 해보죠 L0의 변환은 이것의 변환과 같습니다 이것은 그저 특정 값들 중 하나에 불과할 뿐입니다 이것은 특정 t에 대해 L0의 특정 값들 중 하나이죠 이것은 x0에서 (x1-x0)를 뺀 것의 변환이라고 할 수 있습니다 아 죄송합니다 t(x1-x0)이겠네요 변환 T가 아니라 소문자 t입니다 0이상 1이하의 t에 대해서 말이죠 0이상 1이하의 t에 대해서 말이죠 색깔을 좀 바꿔보죠 선형 변환의 성질에 의해 이것은 무엇과 같냐면 ... 일단 괄호를 밖으로 빼볼게요 이것은 x0의 변환에서 t(x0-x1)의 변환을 뺸 것과 같습니다 0과 1사이의 모든 t에 대해 말이죠 다 해보기엔 좀 많네요 그럼, 이것은 무엇과 같죠? 몇배가 곱해진 벡터를 변환할 때에는 그냥 벡터의 변환에 그 숫자만큼 곱해주면 됩니다 이것은 이 부분과 같을 것입니다. x0의 변환에서 t(x0-x1)의 변환을 뺀것과 같겠죠. 아... 괄호 잘 썼는가 확인좀 해볼게요 t는 0이상 1이하의 값입니다 t는 0이상 1이하의 값입니다 그리고 두 벡터의 합에 변환을 취한 것은 그들의 변환을 더한 것과 같습니다 전에 본적이 있었죠 그래서 여기 이 첫번째 줄 L0의 변환은 x0의 변환에서 t(x1의 변환-x0의 변환)를 한 값과 같겠죠 x0의 변환에서 t(x1의 변환-x0의 변환)를 한 값과 같겠죠 x0의 변환에서 t(x1의 변환-x0의 변환)를 한 값과 같겠죠 이제 첫번째 선이 끝났군요 저기 괄호 써주고 t는 0이상 1이하의 값이겠죠 이것은 꽤 깔끔한 결과이고 우리가 할 일을 간단화시켜줄것입니다 x0와 x1을 잇는 선분의 변환은 x0의 변환과 x1의 변환만 가지고도 표현이 가능하네요 좀더 알아봅시다 x0의 변환은 어떨까요? 계산해보죠 x0는 (-2,-2)이였습니다 x0의 변환을 써보겠습니다 x0의 변환은, 무엇과 같냐면, 음... 써볼게요 실수하지 않도록 말이죠 (1,2,-1,0)과 (2,-2)의 곱입니다 그럼 이것을 풀면 뭐가 나올까요? 1에서 2를 뺀것과 -1과 -2의 곱을 더해준 것과 같겠죠 2가 되겠네요 -2와 2의 합을 구하면 0이 나올 것입니다 그리고 2와 -2의 곱을 구하면, -4가 나옵니다 2 곱하기 -4 더하기 0의 곱이니까 -4입니다 지금까지 x0 변환이였습니다 그래프를 그려볼게요 0 빼기 4가 x0 벡터입니다 이게 x0의 변환이였습니다 따라서 이 벡터와 연관된 변형은 아래로 계속 내려가는 밑에 있는 벡터입니다 지금부턴 다른 변환들을 해보겠습니다 자리가 모자라 x1의 변환은 여기서 보여드리겠습니다 x1의 변환은 1, 2 빼기 1,0 입니다 그래서 값이 뭘까요? 그 값은 1 곱하기 -2 더하기 -1곱하기 2 입니다 연산하면 -4입니다 그리고 2곱하기 -2는 -4입니다 더하기 0 -4, -4가 나오네요 그래서 x1은 -4, -4 입니다 그래서 x1은 이렇게 생겼습니다 x1의 변환은 왼쪽 R2 벡터입니다 R2에서 R2로 변환됩니다 그러므로 데카르트 좌표 평면에서 벡터들을 수월하게 그릴 수 있습니다 변환이 하나가 남았네요 x2를 변환하겠습니다 x2의 변환은 변환 행렬 1, 2, -1, 0 곱하기 행렬 2, -2 입니다 값을 구해보겠습니다 1 곱하기 2는 2 더하기 -1곱하기 -2 그래서 2 더하기 2는 4입니다 그리고 2 곱하기 2는 4 더하기 0 곱하기 -2는 4, 4 입니다 그래서 x2 행렬은 4,4 입니다 좌표에서 보이시는 것 처럼 4, 4 입니다 x2의 변환은 여기 있는 벡터입니다 그래서 삼각형들의 각 점들을 변환할 수 있습니다 하지만 변환을 하면 삼각형의 모든 면들이 어떻게 될지는 모릅니다 하지만 우린 수학적으로 첫 면은 알아냈습니다 선형 변환을 이용해서 L0를 찾을 수 있었습니다 그리고 선형 변환의 정의로 수직선인 L0의 변환은 실질적으로 x0의 변환에서 시작할 수 있는 선이 됩니다 이 벡터에 의해 지정된 점을 x1의 변환 빼기 x0의 변환의 배율 배수들을 더합니다 그래서 x1의 변환 빼기 x0의 변환은 뭘까요? x1의 변환은 그냥 이 벡터입니다 x0의 변환은 이 벡터입니다다 그래서 이 항은 이 벡터 빼기 저 벡터 또는 이 벡터입니다 그래서 그냥 이 벡터입니다 그러므로 우리가 얻은 답은 이 비디오의 앞부분에서 보여드린 것과 동일하게 정의할 수 있습니다 여기서 정의 된 점과 저기서 정의 된 점을 열결하는 선분과 동일하다 이 두개의 차를 구해서 0≤t≤1 사이에서 확대된 결과들이 있습니다 그러면 L0의 변환은 그냥 종점들의 변환점들을 연결하는 선입니다 이렇게 생각하시면 깔끔하고 쉽습니다 같은 논리로 생각해서 L1의 변환은 무엇일까요? L1은 x1과 x2 사이입니다. 이 점과 이점 사이였습니다. 이래서 이게 L1입니다. 같은 논리로 다른 선들에 적용할 수 있다는 걸 알 수 있습니다 모든 걸 추상적으로 풀었습니다 L1의 변환은 종점들의 변환된 점들을 연결해주는 선이다. 그래서 x1의 변환과 x2의 변환을 연결해주는 선입니다. 여기서 보여드리도록 하죠 이건 L1의 변환입니다 이건 L0의 변환입니다 그럼 L2의 변환을 뭘까요? L2는 x2와 x0 점들을 연결해주는 선입니다 그래서 이것의 변환은 그냥 전과 똑같이 변환된 두점들을 연결하는 선입니다. 그러므로 L2의 변환은 x2의 변환과 x0의 변환을 연결하는 선입니다 그래서 이 선이 L2입니다 이 모든 모형 또는 삼각형을 하나의 집합으로 정의한다면 이것의 변환은 이 비스듬한 삼각형입니다 이제 선형 변환이 왜 컴퓨터 그래픽 또는 게임 개발에 유용한지 아시겠죠? 다른 각도들에서로 형상을 본다면 어느 각도에선 비스듬하게 또는 다르게 보일 것입니다 하지만 변환을 하면 벡터들의 집합 또는 위치 아니면 이 벡터들의 집합으로 만들어진 모형을 다른 벡터 집합들로 R2에서 보이는 모형으로 바꿀 수 있었습니다 이 비디오 제일 중요한 가르침은 각각의 점들마다 변환된 값들을 안 구해도 된다는 것이다 간다하게 종점들이 무엇인지 알아내고 이것들의 변형을 찾아 이 변환된 점들을 연결하는 선을 찾으면 됩니다 이게 이 동영상의 핵심 가르침입니다 하나의 집합을 다른 집한으로 변환하는 것은 특정 술어와 연관 돼 있습니다 L0를 변환한다고 가정해보죠 L0는 이 선을 정의하는 벡터 집합들입니다 제가 말 실수를 했네요 죄송합니다 L0는 이 집합입니다 공변역에 있는 벡터들의 집합으로 지정된 이 점들입니다 이건 T 아래 L0의 상이라고 합니다 다소 의미하는 봐가 있습니다 왜 상이라고 할까요? 왜냐하면 t는 L0를 왜곡해서 새로운 상을 공변역에 만들어 내기 때문입니다 정의역에 있는 집합을 공병역에서 새로운 상을 만듭니다 이 모형들은 이 삼각형으로 정의했습니다 이 삼각형의 변환은 보라색 삼각형으로 변환된 상입니다 이건 T 밑에 s 상입니다 이게 흥미로웠으면 좋겠습니다 만약에 3D 프로그래머가 되고 싶으면 이 동영상이 정말 유용할 겁니다 다음 동영상에 s가 공변역의 하위 집합이 아니면 무순 일이 일어나는지 탐험할 겁니다 지금까지 봐온 L0, L1, L2 또는 삼각형은 Rn의 하위 집합들이였습니다 다음 동영상에서는 모든 Rn을 변환하면 어떻게 되는지 설명해드리겠습니다