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행렬 벡터적의 선형변환

동영상 대본

여기 n x n 행열이 존재한다고 합시다 제가 한번 적어볼게요 첫번째 행 첫번째 열에는 1을 넣고 n-1개의 행에는 0을 넣습니다 n번째 성분까지 모두 0이 되겠죠 그리고 두번째 열의 첫번째 성분에 0을 넣고 두번째에는 1을 넣은 후 나머지를 0으로 만들어줍니다 같은 과정을 계속 반복합니다 세번째 열에는 세번째줄도 마찬가지로 세번째 성분을 1로 두고 나머지를 다 0으로 두세요 결론적으로 이 행열의 대각행열에는 모두 1이 오고 나머지는 0이 옵니다 n번째 열을 모두 채우면 n-1개의 0이 있겠죠 그리고 가장 마지막에 1이 옵니다 결과적으로 대각선에 1이 존재하는 행열이 만들어지죠 이 행열은 매우 많은 특성을 가지고 있습니다 조금 후에 이 특성들을 알아볼게요 이 행열을 보여드리는 이유는 선형 변형보다 더 단순한 특성들을 가지기 때문입니다 이러한 모습의 행열을 단위행열이라고 부릅니다 In이라고 표기하죠 여기서 n은 n x n 단위행열의 n을 뜻합니다 I2는 2x2 단위행열이 되겠죠 그리고 이렇게 쓸 수 있습니다 I3은 100, 010, 001이 되죠 어떻게 하는지 아시겠죠? 이 단위벡터의 단순한 성질은 이 벡터에 다른 벡터를 곱했을 때 더욱 두드러집니다 이 단위벡터를 Rn 안에 존재하는 n개의 성분을 가진 벡터와 곱해봅시다 이 행열을 x라고 부르는 이 벡터와 곱합니다 이 벡터의 성분은 x1, x2 부터 xn까지가됩니다 곱한 결과는 어떻게될까요? 여기 벡터 x가 있습니다 만약에 In 단위벡터와 벡터 x를 곱하면 결과가 어떻게될까요? 1 곱하기 x1 더하기 0 곱하기 x2 더하기 0 곱하기 x3 더하기 0 곱하기 x4가 되죠 그러면 보이시겠지만 행열의 이 행과 벡터의 내적과 같게됩니다 그러면 0이 아닌 항만 남겠죠 그래서 x1 곱하기 1이 됩니다 x1과 같게 되죠 다른 백터들도 구해볼게요 첫번째 항은 이 행과 이 열을 내적해서 x1이라는 값이 나오고 다음 성분은 두번째 행과 내적한 값이 됩니다 0 곱하기 x1 더하기 1 곱하기 x2 더하기 0 곱하기 나머지가 되죠 그러면 0이 아닌 항은 1 곱하기 x2만 존재하게 되고 결과적으로 x2만 남게 됩니다 계속 같은 과정을 되풀이하면 결과가 어떻게될까요? 세번째 성분으로는 x3만 남겠죠 여기서 유일한 0이 아닌 항이니까요 같은 과정을 xn까지 반복해주면 어떻게 될까요? 이 식의 값은 x가 됩니다 그래서 우리는 단위행열에 어떤 벡터와 곱해졌을 때 그 곱해진 벡터가 결과가 된다는 것을 알았습니다 단위벡터와 Rn안의 어떠한 벡터를 곱해도 결과는 곱해진 벡터와 같죠 그리고 이 단위행열의 열들을 특별하게 부르는 표기법이 있습니다 첫번째 열은 e1, 두번째는 e2 세번째 열은 e3 같은식으로 en까지 붙여줍니다 그러면 e1, e2 부터 en까지가 Rn의 표준기저가 되죠 왜 이렇게 부를까요? 기저라는 말이 있기 때문에 두가지 조건을 만족해야합니다 먼저 Rn을 생성해야 하고 선형독립해야합니다 이 열들이 서로 선형독립하다는 것은 매우 저명하죠 만약 이 벡터가 여기에 1을 가진다면 다른 벡터는 여기에 1을 가질 수 없습니다 그래서 이 열들의 선형결합식으로 1을 만들 수가 없게되죠 이는 모든 열들에 똑같이 적용됩니다 그래서 선형독립성이 분명히 보이죠 생성의 조건을 충족시키려면 이 벡터들의 선형결합식이 어떤 벡터라도 표현할 수 있어야 합니다 그게 어떠한 벡터가 되더라도 말이지요 만약 x1 벡터를 만들고 싶으면 이렇게 해볼게요 만약 이 벡터를 표현하고 싶으면 a1, a2, 부터 an까지를 갖는 벡터를 만들고싶다고 가정해봅시다 그리고 이 벡터는 Rn에 속해있습니다 이 벡터를 만들 선형결합식은 a1 e1 더하기 a2 e2 부터 an en의 합으로 표현이 됩니다 벡터의 각 성분과 단위벡터의 각 열이 곱해지면 만들 수 있겠죠 첫번째 항은 a1 하나와 0으로 가득한 벡터가 됩니다 n-1개의 0이 있겠죠 그리고 두번째에 a2 나머지는 0이 오고 이런 과정을 되풀이합니다 an까지 반복해주세요 벡터 덧셈의 정의에 의하면 여기 이 모든 항의 합은 이 벡터와 같습니다 이것은 매우 자명하죠 왜냐하면 이 식은 단위벡터 In과 a 벡터의 곱과 같으니까요 이제 이해가 가시길 바랍니다 우리가 선형 변형에서 배운 것들을 단위벡터에 적용시켜봅시다 어떤 벡터든 이런식으로 표현이 가능하다고 알려드렸습니다 그러면 이것을 x에 관해 다시 써볼게요 이 벡터 x를 표준기저의 결합으로 나타낼 수 있습니다 그리고 표준기저는 단위행열의 각 열을 말합니다 그러면 x1 e1 더하기 x2 e2 부터 xn en까지의 합으로 나타낼 수 있습니다 그리고 여기 각 열벡터는 e1을 보면 첫번째에 1, 나머지에 0이 존재하고 e2는 두번째 성분에 1 나머지에는 0을 가집니다 e5는 다섯번째 성분에 1을 가지고 나머지는 0이겠죠 지금 이것이 여기 있는 것으로 유추될 수 있습니다 x의 선형변환의 정의에 의하면 이렇게 적어볼게요 벡터 x의 선형변환은 전체의 선형변환과 같습니다 그리고 선형 변형을 L 대신에 T로 쓸게요 만약 x의 선형변환을 하려고 하면 이 위의 식의 선형 변환을 한 것과 같습니다 그래서 x1 e1 더하기 x2 e2부터 xn en 까지의 합을 적으면 양 변이 같게 되죠 선형 변환의 정의에 의하면 선형변환의 합은 이 합의 선형 변환과 같습니다 x1 e1의 선형 변환과 x2 e2 의 선형변환을 더한 값과 같게되죠 더 분명하게 해볼게요 이것은 단순한 선형변환과 같습니다 정의에 의하면 선형변환은 몇가지 조건을 만족합니다 이 변환과 x2 e2를 곱하고 마지막 xn en까지의 변환을 곱하세요 선형 변환의 다른 정의에 의하면 벡터의 선형변환에 스칼라가 곱해진 벡터를 곱하면 선형변환과 벡터를 곱한것에 스칼라를 곱한 것과 같게됩니다 이것이 바로 선형변환의 정의였죠 이제 x2 와 e2의 선형변환부터 xn 과 en의 선형변환까지 더해줍니다 그러면 어떻게 되나요? 다시 적어볼게요 x의 변환은, 선형변환의 특성에 따라 선형변환의 두 조건을 만족해야합니다 이 두개가 같죠 만약 각각을 열 벡터로 보면 이것은 무엇과 같아질까요? 이것은 다음과 같은 행열이 됩니다 T e1 두번째는 T e2 그리고 T en까지 들어가죠 그리고 x1, x2부터 xn까지로 이루어진 벡터를 적어주세요 이러한 모양의 곱을 본적이 있죠 정말 단순한 특징이 무엇이냐면 방금 저는 임의의 선형변환으로 시작했는데 x의 임의의 선형 변환이 행열의 곱으로 표현되었다는 것입니다 여기 각각의 표준기저 벡터들의 같은 선형 변환들을 가지고 이 행열을 만들 수 있죠 그리고 이것이 왼쪽 변의 변환과 같게되죠 그래서 결론적읋 모든 선형변환들이 행열과 벡터의 곱으로 표현될 수 있습니다 제가 직접 증명하기는 했지만 실제로 매우 쉽게 보입니다 간단한 계산에 불과하죠 예를 들어볼게요 변환 식을 하나 만들것입니다 여기 변환 식이 있습니다 그리고 이 식은 R2 와 R3를 대응시킵니다 x1 x2를 변환 T에 넣으면 첫번째 성분은 x1 더하기 3 x2 두번째 성분은 5 x2 빼기 x1 세번째 성분은 4 x1 더하기 x2라고 둡시다 이게 바로 대응이죠 이런식으로도 적을수 있습니다 R1의 어떤 벡터 x1, x2를 T 에 넣으면 이 표기가 조금 더 나은 것 같네요 x1 더하기 3 x2, 5 x2 빼기 x1 그리고 4 x1 더하기 x2가 됩니다 이 식들은 같습니다 이 변환을 행열과 벡터의 곱으로 나타낼 수 있다고 했었죠 어떻게 할 수 있을까요? 위에서 했던 변환들을 참고해봅시다 여기서 정의역은 R2이고 대응하는 Rn의 벡터를 만들 것입니다 어떻게 하는지 봅시다 이 변환 행열과 R2의 벡터를 곱해야합니다 그러면 우선 단위행열 2 로 시작해봅시다 정의역이 2이니까요 그러면 1, 0, 0, 1 행열이 됩니다 이 단위행열로 시작해봅시다 그리고 각 열과 각 표준 기저에 이 변환을 적용시키세요 그러면 R2에 대한 표준 기저가 됩니다 기저인지는 알지만 표준 기저라는 것은 어떻게 알 수 있을까요? 왜 표준 기저라고 불릴까요? 제가 자세히 알려드리지는 않았을겁니다 하지만 이 열벡터와 다른 열벡터들의 내적을 구하면 서로서로가 수직이라는 점을 알 수 있습니다 이 열벡터들끼리의 내적은 항상 0이 되기 때문이죠 그리고 이 열들은 길이가 모두 1입니다 그래서 표준 이라는 단어가 사용되죠 그러면 다시 돌아와서 이 변환을 행열과 벡터의 곱으로 표현합니다 정의역은 R2에 있습니다 그러니 단위벡터 2로 시작합니다 그리고 각각의 열 벡터를 변환식에 넣어줍니다 이 때 각각의 열벡터는 R2의 표준기저에 존재합니다 이렇게 적을 수 있습니다 첫번째에 T 첫번째열, 다음으로 두번째 열은 T 0, 1이 됩니다 벡터 1, 0을 T에 넣으면 어떻게되나요? 다른 벡터 하나가 나오죠 1 더하기 3은 0 5 곱하기 0 빼기 1은 -1 x2가 여기서는 0입니다 그리고 4 곱하기 1 더하기 0은 4 이것이 T에 벡터 1, 0을 넣었을 때의 값입니다 그러면 벡터 0, 1을 넣으면 어떻게될까요? 0 더하기 3 곱하기 1은 3 0 빼기 1 은 -1 5 곱하기 1 빼기 1 5 곱하기 0 빼기 x1은 1이 됩니다 5 곱하기 x2 x2는 1 그래서 5 곱하기 1 빼기 0을 해주면 5가 됩니다 4 곱하기 0 더하기 x2 더하기 1 방금 보여드린것처럼 만약 각 표준기반벡터를 변환값으로 바꿔주면 어떤 값이 나오나요? 여기 이 벡터가 되빈다 답은 이미 구해졌습니다 이 벡터를 이제 적어주면 1, -1, 4 3, 5, 1벡터가 됩니다 이제 이 변환을 어떤 벡터와의 곱으로도 나타낼 수 있습니다 이제 이것이 a와 같다고 놓거나 이렇게 적을 수 있죠 이제 변환식을 쓸 수 있습니다 x1 x2 의 변환은 이제 이 벡터의 곱으로 나타내졌습니다 초록색으로 쓸게요 1, 3, -1, 5, 4, 1 벡터 곱하기 벡터 x1, x2가 되죠 이제 행열의 곱셈만 해주면 됩니다 만약 더 빠른 방법이 있다면 그 방법을 사용하는 것이 좋겠죠 하지만 이 방법이 쉬워보입니다 우리는 2 x 2 행열의 각 열을 변환했는데 3 x 2 행열이 나왔습니다 만약 3 x n 행열과 R2안의 벡터를 곱하게 되면 어떻게될까요? 2 x 1 행열이라고 생각해볼 수도 있습니다 그러면 R3의 벡터가 답이 됩니다 왜냐하면 이 두 행열의 곱은 앞 행열의 열 개수 3과 뒤 행열의 행 개수 1과 같은 크기로 존재하기 때문입니다 이 두 행열을 곱하면 이러한 크기의 벡터가 나옵니다 3 x 2 행열을 만들었기 때문에 R2 에서 R3로 대응하게 만들 수 있었습니다 왜인지는 모르겠지만 저는 이 계산법이 굉장히 깔끔하다고 생각합니다 많은 도움이 되셨기를 바랍니다