벡터의 변환

지난 동영상에서, 과거에 경험했을 것 보다 조금 더 형식적으로 함수는 단순히 한 집합의 원소가 다른 집합으로 가는 변환이라고 했죠 이게 첫 번째 집합 X이고 이걸 정의역이라고 부르죠 변환으로 갈 집합 y는 이 경우엔 치역이라고 부릅니다 함수는 x의 특정 성분들을 y의 성분들로 변환시킵니다 함수는 x의 특정 성분들을 y의 성분들로 변환시킵니다 따라서 변환은 단순히 관계를 만드는 것입니다 더 풀어서 말하자면 (어떤 면에서는 더 함축적이지만) x를 바나나 바구니로, y를 사과 바구니로 보고 모든 바나나를 사과 하나 하나에 대응시킵니다 모든 바나나를 사과들 중 하나에 대응시킵니다 각 바나나에서 각 사과로 가는 변환이 함수가 될 것입니다 (이게 도움이 될지는 모르겠지만) 전 그냥 함수가 뭔지에 대한 선입견을 넓히고 싶었어요 내 말은 전에 봤던 모든 것들은 아마 이런 형식을 취하고 있었을 겁니다 음, 함수란 건 너가 숫자를 주면 나는 너한테 다른 숫자를 줄게 아니면 그 숫자에 뭘 좀 할게 그것보다 훨씬 더 일반적일 수 있는 와중에 말입니다 함수는 한 집합의 어느 원소와 다른 집합의 원소 사이의 관계에요 함수는 한 집합의 어느 원소와 다른 집합의 원소 사이의 관계에요 그럼, 벡터가 집합의 원소라는 걸 알고 있습니다 그렇죠? 몇몇의 벡터가 몇몇의 집합의 원소라고 하면 R^n의 원소라고 합시다 그게 우리가 다룰 거니까요, 이것이 n-튜플의 특정한 대표를 의미합니다 R^n이 무엇이었는지 기억하세요 R^n은 선형 대수학 강의의 처음에 정의했었습니다 이를 우리는 n-튜플 전체의 집합으로 정의했었죠 x1, x2... xn, 그리고 x1's, x2's... xn's 까지 실수의 원소입니다 따라서 R^n은 가장 정확하게 하나의 집합입니다 이게 R^n이 될 수 있죠 당연히 문자 n은 임의로 사용했습니다 R^m이어도 되고, R^s여도 됩니다 n은 몇개의 튜플을 가지고 있는가를 나타내는 일종의 자리표시기입니다. R^5가 될 수 있겠네요 5개의 튜플이 될 수 있습니다 벡터 x가 R^n의 원소라고 한다면 이 n튜플들 중 하나를 쓰는 다른 방법을 말하는 겁니다 이 n튜플들 중 하나를 쓰는 다른 방법을 말하는 겁니다 지금까지의 모든 벡터들은 열 벡터, 아직까지 우리가 정의한 한 종류의 벡터이고 모든 원소들이 R^s의 원소인 정렬된 리스트라고 하죠 모든 원소들이 R^s의 원소인 정렬된 목록입니다 정렬된 n의 목록, n-원소들의 목록 x1, x2... xn까지, x1's, x2's... xn's까지는 실수의 원소입니다 이것이 정의에 따라, x가 R^n의 원소라는 것의 의미입니다. 이것이 정의에 따라, x가 R^n의 원소라는 것의 의미입니다. x가 R^n의 원소라면, (두 집합을 그리고) 오른쪽에 있는 집합이 R^n이고.. 좀 바꾸겠니다, 일반적으로 하려구요 다른 집합을 만들고 이걸 R^m이라 하겠습니다 그냥 숫자만 다르게요 n이랑 같을 수도 있고, 다를 수도 있죠 이건 m-튜플이고, 저건 n-튜플 저 벡터들이 R^n의 원소가 될 수 있도록 정의했습니다 따라서 몇몇 벡터를 여기 둘 수 있고 R^n의 벡터와 대응시키면, R^m의 벡터와 대응시키면, 대응시킨 것들을 벡터y라고 합시다. 이 관계들을 만들면 그 둘은 함수입니다 이건 이미 명백할 것이고, 그리고 이는 R^n에서 R^m으로 변환시키는 함수가 될것입니다 실은, 여기 작은 특별 메모를 적고 싶네요 실은, 여기 작은 특별 메모를 적고 싶네요 이렇게 화살표를 그렸는데 이건 두 집합 사이의 변환을 나타냅니다 이 집합의 원소들을 취하고 저 집합의 원소들에 대응시킵니다 저번 영상에서 이걸 봤을 겁니다 내용을 추가하고 싶네요, 헷갈릴 것 같아서요 내용을 추가하고 싶네요, 헷갈릴 것 같아서요 함수의 다른 표기법을 이렇게 소개했었습니다 함수의 다른 표기법을 이렇게 소개했었습니다 f 는 임의의 x에서 x²으로의 변환으로 정의 될 수 있다고 했었습니다 f 는 임의의 x에서 x²으로의 변환으로 정의 될 수 있다고 했었습니다, 그리고 표기법에 대해서 메모를 하고 싶습니다. 일반적인 화살표는 집합사이를 오가는 것이고 출발점에 작은 세로선이 있으면 이는 일종의 함수 정의입니다 첫번째 집합에서 어떤 x를 주면 두번째 집합에서 이 x를 대응시킬 겁니다. 이 경우에는 x²이네요 어쨋든,그냥 그 메모를 남기고 싶었습니다 하지만 들어가려고 했던 방향은 벡터들이 유효한 집합의 원소이며 함수는 단순한 집합의 원소들 간의 변환이니까, 벡터의 함수를 가질 수 있다는 겁니다 지난 동영상에서 조금 다뤘는데 벡터로 된 함수에 대해서 얘기했을 때 치역이 R^m의 부분집합이라면 여기서 m은 1보다 크죠 그러면 우리는 이 함수를 벡터함수라고 합니다 이것은 실수로 대응되지 않습니다 m개의 실수 묶음으로 대응되죠 그래서 만약 2차원에서 대응한다면 벡터함수를 다루고 있는 것입니다 매우 추상적이긴 했지만 이제 벡터를 직접 다뤄볼게요 조금 더 확실해질 것입니다 x1, x2, x3 에 대한 함수 f가 x1 더하기 2 x2 그리고 3 x3이라고 정의해봅시다 좌표를 아직 정의하지는 않았지만 이미 이것이 무엇인지는 이해하실 거라고 생각합니다 자 그러면 이 함수의 정의가 이렇게 표기됩니다 그러면 f의 정의역은 R3가 되고 이것이 마찬가지로 R3에 대응하죠 그리고 R2의 값들이 R3에 존재합니다 이것을 2튜플이라고 합니다 맞죠? 그래서 이것은 R2이고 3튜플입니다 맞죠? 다른 방법은, 벡터 표기법으로 적는 것입니다 함수 f에 벡터 x1, x2, x3 을 넣으면 두개의 성분을 가진 벡터가 됩니다 그리고 이 벡터는 R2에 존재하고 첫번째 성분은 x1 + 2 x2 두번째 성분은 3 x3이 됩니다 더 나아가 계산해봅시다 이것이 무엇을 알려주는지 봅시다 함수 f 에 1, 1, 1 벡터를 넣으면 어떻게 될까요? 그러면 1더하기 2 곱하기1 3 이 되고 3 곱하기 1을 해서 3, 3 벡터가 됩니다 다른 것도 해봅시다 어떻게 이 함수가 대응되는지를 살펴보는 것입니다 만약에 R3안의 2, 4, 1벡터를 함수 f에 넣으면 결과가 어떻게 되나요? 2 더하기 2 곱하기 4 계산하면 10이 되고 2 더하기 2 곱하기 4 그리고 3 곱하기 세번째 항을 해주면 10, 3 벡터가 됩니다 그러면 어떻게 그림으로 나타날까요? 3차원 벡터, R3 안의 벡터는 그림으로 나타내기 쉽지는 않습니다 하지만 여기 두 예는 비교적 간단하네요 자 여기 x1, x2, x3 축이 있다고 생각해봅시다 첫번째 벡터는 노란색으로 그려볼게요 1, 1, 1 벡터를 그립니다 1, 1, 1의 위치를 잡아주고 위치벡터를 점으로 표현합니다 그리고 원점으로부터 이어주면 이렇게 되죠 그다음 두번째 벡터 2, 4, 1을 그립니다 2, 4의 위치를 찾고 1만큼 올라가주면 이렇게 그릴 수 있겠네요 2, 4, 1벡터입니다 어떻게 하는지는 이제 감을 잡으셨을겁니다 그래서 저는 지금 정의역 안에있는 두개의 벡터를 그렸습니다 그리고 여기서 정의역은 R3가 되죠 이것이 우리의 R3입니다 그러면 함수 f가 벡터들을 어떻게 대응시키는지를 봅시다 여기서 공역은 무엇일까요? 공역은 R2입니다 훨씬 그리기 간단하죠 두개의 축을 그리면 됩니다 이 축들을 각각 x1과 x2로 부를게요 함수 f에 1, 1, 1벡터를 넣으면 3, 3벡터가 됩니다 노란색으로 그려볼게요 이런식으로 그릴 수 있습니다 이 벡터의 위치를 잡아주면 이렇게 표현할 수 있죠 그래서 함수 f는 방금 R3안의 벡터를 R2안의 벡터로 대응시켜주었습니다 이것이 바로 함수 f가 하는 일이죠 비슷하게 함수 f에 다른 벡터 2, 4, 1을 넣으면 10, 3 벡터가 나옵니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 이렇게 보이겠죠 그리고 3을 올라가면 10 , 3벡터는 이렇게 그릴 수 있습니다 여기 이 벡터는 함수 f에 의해 이 벡터에 대응되었죠 R3의 벡터를 함수 f를 통해 R2의 벡터로 대응시켰습니다 이제 용어를 조금 바꿔봅시다 우리가 벡터의 함수를 다룰 때 변환이라는 말을 사용합니다 하지만 이것은 그저 함수일 뿐이죠 헷갈리게 않기를 바랍니다 왜냐하면 미분방정식 강의를 보시게되면 라플라스 변환이라는 개념이 있는데 이것은 정말로 함수 인수의 연산입니다 하지만 이 이 경우에는 선형대수를 다루고 있기 때문에 변환은 정말 벡터 함수의 연산과 같습니다 그리고 함수의 일반적인 표기는, 소문자 f보다는, T를 사용합니다 변환을 나타내는 말이죠 굳이 대문자 T로 나타낼 필요는 없습니다 하지만 많이들 그렇게 쓰죠 사람들이 함수를 표현할 때 g나 h를 쓸수도 있지만 주로 f를 쓰는 것과 비슷하게요 이 자체를 변환이라고 불러도 됩니다 선형대수학에서는 이러한 표현을 쓰죠 이 벡터가 저 벡터로 바뀐다고 생각해보세요 아니면 이 벡터가 저 벡터로 변환된다고 생각해보세요 이 이유에서 변환이 함수의 반대 개념으로 생각될 수 있죠 비디오게임 프로그래밍과 같은 것을 짜게 되신다면 더 이해가 잘 가실겁니다 이러한 변환들은 실제로 비디오게임 프로그래밍에 많이 적용됩니다 어떠한 그림을 다른 그림으로 계속 변환하는 과정들의 연속이니까요 비디오게임에서는 다양한 각도의 그림을 볼 수 있죠 이것에 대해서는 나중에 더 자세히 다룰 것입니다 지금은 이러한 표기법을 알려드리려고 합니다 f를 T로 바꿀 수 있고 변환을 정의할 수 있습니다 표기를 쉽게 하는 것이 좋겠죠 R3에서 R2로의 변환을 정의해보면 T(x1, x2, x3)가 2 튜플 x1 + 2 x1, 3 x3과 같죠 표기만 바뀌었지 나머지는 같습니다 벡터 1, 1, 1을 T에 넣으면 3, 3벡터가 됩니다 T를 f로 바꾸는 이유는 무엇인가요? 헷갈림을 방지하기 위해서죠 선형대수학 책을 봤는데 T 라는 표기를 보고 한번도 본 적이 없는 상태에서 변환이라는 말을 갖다 붙이면 헷갈리실 수밖에 없죠 T는 함수를 뜻하는 f와 다를 바 없습니다 마찬가지로 함수니까요 다음 영상에서는 선형 변환에 대해 알아볼것입니다 선형 함수들이죠 다음 강의때 더욱 자세히 알려드리겠습니다 강의를 마치기 전에 함수를 벡터에 어떻게 적용하는지 특히 선형대수학과 변환에서의 적용을 확실히 이해하시기 바랍니다 그리고 이 예시가 왜 이것을 변환이라고 부르는지 이해하는 데 도움이 되셨기를 바랍니다 벡터 하나를 다른 벡터로 변환시킨 것입니다