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주요 내용
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선형변환의 합과 스칼라 곱

동영상 대본

두개의 변환이 있다고 가정합시다 변환 S가 있습니다 이건 Rn에서 Rm으로 온 함수 또는 변환입니다 변환 T도 있습니다 이것도 Rn에서 Rm으로 온 변환입니다 이제 두 변환들을 더하면 뭘 정의하는지 알아보겠습니다 그래서 이것은 정의입니다 정의로 써보겠습니다 이 두개의 변환들의 합을 정의해보겠습니다 만약 두 변환들을 더하면 벡터 x에 작용하는 두 변환들을 합을 정의라고 할 수 있습니다 벡터 x에 작용하는 첫번째 변환 더하기 벡터 x에 작용하는 두번째 변환은 벡터 x에 작용하는 두 벡터 합과 같습니다 그리고 이 벡터는 Rm에 속하므로 이 모든 것의 결과는 Rm에 속한 벡터입니다 정의에 따르면 S+T는 변환입니다 왜냐하면 Rn에서 대입값을 받으니까요 Rn에서 Rm으로 변환됩니다 또 다른 정의를 만들겠다 보라색으로 알려드리겠습니다 임의의 변환의 스칼라배를 정의하겠습니다 예를 들어 c라는 아무 실수를 정의하겠습니다 (cS)(x)는 cS(x)와 같습니다 그러므로 당연히 x의 변환도 Rm에 속합니다 Rm에 있는 아무 벡터를 스칼라 곱하면 Rm에 속한 다른 벡터를 얻습니다 다행이 우리는 스칼라배의 정의가 있습니다. c라는 새로운 변환을 S랑 곱합니다. 이 결과도 Rn에서 Rm으로 사상합니다 이 벡터도 Rm에 있습니다 이 벡터도 Rn에 계속있고요 좋습니다 이제 이 변환들이랑 일치하는 행렬들을 찾아보겠습니다 이전 동영상에서 모든 선형변환은 행렬 곱하기 벡터로 표현할 수 있습니다 x의 변환 S 는 행렬 A 곱하기 벡터 x와 같습니다 x의 변환 T는 행렬 B 곱하기 벡터 x와 같습니다 그리고 당연히 이 둘은 Rn에서 Rm으로 사상하니까, 두 행렬들은 m×n일 겁니다 이 둘은 다 m×n 행렬들입니다 이전에 만들었던 정의들을 다시 살펴보겠습니다 (S+T)(x)는 뭘까요? 이렇게 써보겠습니다 똑같은 색갈로 써보겠습니다 빨간색으로 하려고 했는데 아니네요 여기에 쓰겠습니다 (S+T)(x)가 있습니다 여기에 쓰기로 하겠습니다 (S+T)(x)는 S(x)+T(x)와 같습니다 이게 항들도 이것들이랑 똑같은 걸 압니다 그래서 이게 이 항들이랑 똑같습니다 S(x)는 Ax랑 같습니다 이거랑 똑같은 거죠 T(x)는 Bx랑 같습니다 이럼 이것들은 뭘까요? 더 이숙한 행렬들로 표현해보겠습니다 행렬 A는 그냥 열벡터들입니다 a1, a2, ...an 열벡터들로 표현할 수 있습니다 마찬가지로 B 행렬도 그냥 열벡터들입니다 행렬 B는 b1, b2, ..., bn 열벡터들로 표현할 수 있습니다 이 열벡터들은 m성분들로 이루어졌습니다 1 행이고 n 열로 만들어진 열벡터들입니다 더 명확히 설명드리겠습니다 만약 x벡터를 곱한다면 그 x벡터는 x1, x2, ...xn까지 있는 행렬일 겁니다 우린 이런 곱들은 많이 봤습니다 이런 곱들로 행렬 곱하기 벡터를 표현하면 유용하다 이 곱은 x의 스칼라항이랑 그 와 일치하는 A 열벡터항을 곱으로 표현할 수 있습니다 이 연산은 전에도 했었습니다. 다시 한번 하겠습니다 Ax 는 x1a1+x2a2+...xnan와 같습니다 Ax는 그렇게 쓰일 수 있습니다 가중치 결합된 열벡터들로 볼 수 있습니다 여기서 가중치는 벡터 x들의 값들입니다 이제 이것들을 Bx랑 더해야 합니다 파란색으로 Bx를 살펴보겠습니다 Bx는 x1b1+x2b2+...+xnbn 일 것입니다 이게 뭘까요? 벡터의 스칼라곱은 분배법칙에 따라 이 항들을 보면 x1로 묶을 수 있습니다 그럼 어떻게 쓸 수 있을까요? 다른 것들이랑 헷갈리지 않게 선을 그리겠습니다 모든 항들은 다음과 같이 정리할 수 있습니다 x1(a1+b1)+ x1(a1+b1)+x2(a2+b2) x1(a1+b1)+x2(a2+b2)+...+xn(an+bn) 정리된 식은 새로운 행렬로 정의할 수 있습니다 새로운 행렬을 만들어서 보여드리겠습니다 크게 만들겠습니다. 새로만든 행렬은 보락색 벡터 x는 초록색으로 쓰겠습니다 벡터 x는 x1, x2, ..., xn 으로 쓸 수 있다 그럼 새로운 벡터는 어떻게 쓸까요? 위에 있는 스칼라항들을 만들려면 이 항들이 행렬의 열들입니다 이건 첫번째 항입니다 a1+b1 우린 본질적으로 이 두 열벡터들을 더하고 있습니다 두번째 열은 이 스칼라항입니다 그래서 두번째 열은 a2+b2입니다 이런식으로 계속 해줍니다 마지막 열은 an+bn 입니다 이 두 변환들을 더하는 건 그들의 행렬들을 사용해서 답을 찾을 수 있습니다 그거 아십니까 이 두 변환들의 덥셈은 새로운 변환을 만들었습니다 이 새로운 변환은 본질적으로 어떤 행렬 곱하기 해당 벡터입니다 이 행렬은 본래의 변환 행렬의 열벡터의 덧셈인 걸 확인했습니다 아직까지 행렬 덧셈합은 정의하지 않았습니다 여기까지 벡터 합으로 여기까지 공부했습니다 새로운 벡터는 행렬 A랑 B의 벡터들을 더해서 만들어졌습니다 이렇게 길게 설명드린 이유는 우리가 이 동영상에서 배운 걸 모두 부합하는 새로운 정의를 만들 수 있습니다 여기는 있는 행렬을 A+B로 정의하겠습니다 새로운 행렬 정의는 다음과 같습니다 A랑 B라는 행렬 두개가 같은 차원이면 A+B를 정의할 수 있다 A+B는 그들의 열들을 더한 새로운 행렬입니다 여기서 했던 것 처럼 a1+b1, ..., an+an 새로운 열행렬을 만들 수 있다 이건 고등학교 대수학 시간때 봤겠지만 제가 이 동영상에서 다시 가르쳐드리는 이유는 자세히 이렇게 풀이 할 수 있는 이유를 설명해드리기 위해서 입니다 이 행렬의 정의로 우린 두 변환의 합도 정의할 수 있습니다 (S+T)(x) = S(x)+T(x) 라고 정의할 수 있습니다 이전 동영상에서 배워서 S(x)+T(x)=Ax+Bx 입니다 아까 본 행렬 정의로 우린 이 식은 (A+B)x인 걸 알 수 있습니다 여길 이렇게 정의할 수 있는 이유는 이 동영상 앞부분에 설명드렸습니다 그리고 이걸 풀이했을 때 이 행렬 벡터 곱을 가중치 결합된 열벡터들로 정리했습니다 새로운 행렬로요 이 새로운 행렬은 A+B로 정의했습니다 이걸 한 이유는 이제 x의 두 선형변형의 합을 행렬 벡터 곱으로 나타낼 수 있다 여기서 행렬은 선형변형의 행렬을 합한 (A+B) 겁니다 이제 이 똑같은 걸 스칼라곱에 적용해보겠습니다 우리는 x의 c 곱하기 S변형은 (cS)(x) c 곱하기 x의 변형과 같은 것 압니다 (cS)(x)=cS(x) x는 Rm에 속한 아무 벡터입니다 S(x)는 Ax로 표현할 수 있습니다 그러므로 cS(x)=cAx 입니다 또한 Ax는 열벡터로 표기할 수 있습니다 그 열벡터는 (x1a1+x2a2+...+xnan)으로 표기할 수 있습니다 이 새로운 열벡터에 c를 곱합니다. 그럼 이건 뭘까요 그냥 스칼라배입니다 그러므로 c를 분배할 수 있습니다 그럼 어떻게 나올까요? 곱셈은 결합법칙을 성립합니다 c랑 x1은 둘 다 스칼라니까 곱의 순서는 중요하지 않습니다 스칼라곱은 분배법칙을 성립하므로 x1ca1+x2ca2+...+xncan으로 식을 풀 수 있겠네요 그럼 이건 뭘까요? 이건 새로운 행렬 곱하기 x입니다 여기에 쓰면서 보여드리겠습니다 새로운 행렬곱하기 x1, x2,..., xn 열벡터입니다 그럼 새로운 행렬들의 값들은 뭘까요? 새로운 행렬의 열들의 값은 뭘까요? 새로운 행렬의 열을 이것들입니다 그래서 새로운 행렬의 열은 ca1, ca2, ..., can입니다 왜 이 풀이 과정을 보여드렸을까요? 변환의 스칼라곱을 스칼라 곱하기 아무 벡터의 변환으로 정의하면 유용하니까 풀이 해드렸습니다 당연히 이건 c 곱하기 Ax입니다 또한 이걸 새로운 행렬 곱하기 벡터 x 로 정의하면 유용합니다 이건 선형변환이기 때문입니다 이 새로운 행렬도 정의할 수 있습니다 이 새로운 행렬을 c 곱하기 A 로 정의하겠습니다 행렬 A의 아무 스칼라곱은 c 곱하기 열벡터들입니다 쓰면서 다시 설명드리겠습니다 스칼라 c 곱하기 A행렬은 ca1, ca2, ..., can인 걸 우린 압니다 이게 무순 효과가 있을까요? c 곱하기 벡터는 스칼라 곱하기 각각의 벡의 원소입니다 그러니까 행렬A의 모든 성분들과 c를 곱한다고 보면 됩니다 당신은 왜 이 동여상에서 고등학교 대수학에서 배운 행렬 스칼라곱 또는 같은 차원의 벡터 덧셈을 가르치냐고 물어보실 수 있습니다 왜 변환의 덧셈과 행령의 덧셈을 정의했는지 물어보실 수 있습니다 이 모든 걸 설명해드린 이유는 행렬의 정의는 자연스럽고 직과적이지만 꼭 이렇게 정의해야 한다는 법칙은 없었습니다 행렬 덧셈 또는 행렬 스칼라곱 또는 두 변환의 합의 정의는 하나의 약속입니다 수학 세계에 이러한 정의들이 유요하니까 그렇게 만든 것입니다 그걸 설명드리기 위해 이 동영상을 만들었습니다 다음 동영상에선 몇가지의 스칼라곱과 행렬 덧셈을 보여드리도록 하겠습니다 그건 고등학교 에서 배운 대수학을 기억하시는지 알아보기 위해서입니다 그들의 연산은 간단하는 걸 아시게 될 겁니다