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이제 변환이 무엇인지 아니까 특별한 종류의 변환인 선형변환에 대해 알아봅시다 이것을 선형변환이라고 부르는 것이 타당한 이유는 선형대수학을 공부하고 있기 때문입니다 이미 선형결합에 대해 배웠으므로 선형변환 역시 잘 배울 수 있습니다 선형변환은, 정의에 의하면 함수로 여겨지는 변환입니다 이 변환은 집합 Rn에서 Rm으로 정의됩니다 비록 그들이 임의의 문자로 표기됨에도 불구하고 기호를 붙여주고 있는 이유는 다음 영상에서 알게 될 것입니다 다음의 두 명제가 참인 경우에 말이죠 그래서, 무엇인가가 선형변환이라는 것은 다음이 성립하는 것과 필요충분조건입니다 두 개의 벡터가 있다고 합시다 그들을 각각 벡터 a 벡터 b 라고 부를 때 둘 다 Rn의 원소입니다 그래서 둘 다 정의역에 속합니다 이제 이것이 선형변환이라는 것은 다음과 필요충분관계입니다 두 벡터의 합 벡터를 변환합니다 먼저 그것들을 더한다면 이는 각각을 선형변환하여 더한 것과 같습니다 이것이 선형변환이 되기 위한 첫 번째 조건입니다 그리고 둘째로 실수배한 벡터를 변환한 것을 즉, 벡터에 스칼라나 실수를 곱한 것을 변환했을 때 이것이 선형변환이라면 이것은 a를 변환한 것에 c배한 것과 동등합니다 이는 꽤나 간단해 보입니다 이러한 규칙으로 선형변환인지 아닌지 판별할 수 있는지 알아봅시다 변환 하나를 정의해 봅시다 변환 T가 있습니다 정의에 의해서 이것은 R²에서 R²로 정의됩니다 만약 두 순서쌍을 이 변환에 넣어주면 이 함수의 정의역은 두 순서쌍이죠 그래서 이 순서쌍을 x₁과 x₂라 하고 첫 번째 성분은 x₁+x₂로 두 번째 성분은 3x1으로 나온다고 해봅시다 아니면 벡터 표현으로 나타낼 수도 있습니다 이것이 2개의 원소로 구성된 형태입니다 서로 다르게 표기되었을 때 이것을 벡터 x를 변환한 것으로 표현할 수 있는 장점이 있습니다 벡터가 x₁, x₂로 표기되는 처럼 말이죠 여기에 괄호을 씌우면 그것은 새 벡터가 되는데 첫 번째 성분 x₁+x₂와 두 번째 성분인 3x1으로 이루어집니다 이건 변환을 표현하기에 매우 적합합니다 세 번째 방법으로 쓰지는 않지만 이 방법은 변환의 본질을 포착합니다 이것은 단순한 함수인데 선형변환은 R² 내의 임의의 벡터가 x₁, x₂를 통해 다음과 같은 벡터로 표현되는 것입니다 x₁+x₂와 3x1 형태로 말이죠 이 모든 명제는 동일합니다 그러나 우리의 목적은 이 T가 선형독립인지 아닌지 판단하는 것입니다 잘못 말했네요 선형독립이 아니라 선형변환인지 아닌지에 대해서 입니다 너무 많은 영상에서 선형독립을 다뤄서 그런지 머릿속에 계속 박혀있네요 선형변환인지 아닌지 알아봅시다 두 개의 조건을 봅시다 여기 위에 있어요 두 벡터 a, b가 있을 때 변환을 하면 그들은 R²의 원소입니다 그러니까 a는 a1, a2로, b는 b1, b2로 나타낼 수 있습니다 아 벡터가 아니네요 이들은 명백한 스칼라입니다 이들은 벡터의 성분입니다 그렇다면 a₁ + b는 무엇인가요? 또 실수했네요 벡터 a와 b의 합은 무엇일까요? 뇌가 멈춰버렸네요 좋아요 두 벡터의 성분을 더하세요 이것이 벡터 합의 정의입니다 그래서 a₁+b₂가 첫 번째 성분이 되고요 두 번째 성분은 각 벡터 두 번째 성분의 합입니다 a₂+b₂죠 전혀 새로운게 없죠 그런데 이 벡터의 변환은 무엇일까요? 벡터 a와 b의 합을 변환시킨 것은 이렇게 적을 수 있는데요 이것은 이 벡터의 변환과 같습니다 즉, a₁+b₂, a₂+b₂와 같죠 이것은 벡터이고 이는 이 벡터와 동등합니다 혹은, 첫 번째 성분을 구하기 위해 두 성분을 여기에 더하면 됩니다 그래서 첫 번째 성분은 이 두 개를 더한 것이 되죠 그래서 이것은 a₁+a₂+b₁+b₂입니다 그리고 두 번째 성분은 변환 혹은 함수의 정의에 의해 첫 번째 성분의 3배입니다 정의역 상에서 말이죠 그래서 이것은 첫 번째 원소의 3배가 됩니다 따라서, 이것은 3a₁+3b₁ 입니다 좋아요 a와 b 각각을 변환한 것은 무엇일까요? a의 변환은 이러한 변환과 동일한데 이렇게 써보도록 할게요 a₁과 a₂에 괄호를 씌운 것과 동일합니다 이것이 벡터 a의 또 다른 표기법이고 이것은 무엇과 같을까요? 그것은 바로 위에 있는 변환의 정의와 같습니다 그래서 이것은 벡터 a₁+a₂, 3a₁과 같을 것입니다 정의에 의해 바로 나왔습니다 단지 x를 a로 대체했을 뿐입니다 같은 논리에 의해 벡터 b의 변환은 무엇일까요? 그저 a를 b로 대체하는 것과 같을 것입니다 그래서 벡터 b의 변환은 다음과 같습니다 b의 원소는 b₁, b₂이므로 b₁+b₂ 가 첫 번째 성분이고 두 번째 원소는 이 변환에 의해 3b₁이 됩니다 그럼 벡터 a를 변환한 것과 벡터 b를 변환한 것의 합은 무엇이 될까요? 바로 이 두 벡터의 합이 됩니다 계산하면 어떻게 되죠? 단순한 벡터합이므로 그저 벡터들의 성분끼리 더하면 됩니다 그래서 a₁+a₂+b₁+b₂가 됩니다 이것은 각 성분을 더한 것입니다 두 번째 성분은 3a₁에 저 성분을 더한 것입니다 즉, 3a₁+3b₁ 이 되겠죠 이제, 각각의 두 벡터를 변환해 더했을 때 먼저 두 벡터를 더하고 변환한 값과 동일한 결과가 나왔음을 알 수 있습니다 따라서 첫 번째 조건을 만족시켰네요 벡터들의 합을 변환한 것이 각각을 변환한 것의 합과 같다는 것 말이죠 이제 이것이 임의의 스칼라에서도 적용되는지 봅시다 변환이 어떤 형태인지 알고 있습니다 우선 ca는 어떻게 표현하나요? 이렇게 시작해 보시죠 벡터에 c배한 것은 a₁에 c배하고 a₂에 c배한 것과 동일합니다 그게 스칼라의 정의입니다 벡터에 실수배 한 것이죠 그래서 변환은 무엇일까요? 흰색으로 한번 써볼까요? 흰색으로 한번 써볼까요 ca의 변환은 무엇이 될까요? 이것은 (ca₁, ca₂)의 변환과 같습니다 즉, 새로운 벡터가 되죠 정의에 의해 첫 번째 성분과 두 번째 성분을 더하면 됩니다 그리고 두 번째 성분은 첫 번째 성분의 3배입니다 따라서 첫 번째 성분은 ca₁+ca₂가 됩니다 그리고 두 번째 성분은 첫 번째 성분의 3배이므로 3ca₁이 됩니다 그러면 이것은 또 무엇과 같을까요? 같은 맥락이죠 c를 인수로 뽑아낸 것으로 볼 수 있습니다 이것은 벡터 a₁+a₂에 c배한 것과 같습니다 그리고 두 번째 원소는 3a₁이죠 하지만 이것은 이미 봤듯이 a의 변환과 같습니다 이런 식으로 벡터 a의 c배를 변환한 것은 R²의 임의의 벡터 a에 대해서 벡터 a의 변환에 c배를 한 것과 같습니다 두 번째 조건도 만족합니다 방금 말했으니 다시 말할 필요는 없겠군요 따라서 두 조건을 모두 만족하므로 이 변환은 선형변환입니다 여러분은 이렇게 생각할 것입니다 좋아요, 하지만 모든 변환이 선형변환은 아니라는 것을 어떻게 알 수 있죠? 하지만 모든 변환이 선형변환은 아니라는 것을 어떻게 알 수 있죠? 반례를 보여주세요 간단한 예를 보여드리겠습니다 이 변환을 정의하겠습니다 두 개를 비교하기 위해서 R²에서 R²로 정의하겠습니다 더 간단한 예를 들었다면 R에서 R로 정의했겠죠 다음과 같이 변환을 정의하겠습니다 벡터 x₁, x₂에 대한 변환이 x₁², 0 이라고 합시다 이것이 선형변환인지 보도록 하죠 첫 번째 질문은 이렇습니다 벡터 a의 변환은 무엇일까요? 아까와 같은 벡터 a의 변환은 다음과 같습니다 a₁², 0이 됩니다 그러면 ca의 변환은 무엇일까요? 이것은 a₁와 a₂에 c배한 것과 같습니다 변환의 정의에 의해서 아 미안합니다 양변에 변환을 취할 것이기 때문에 여기 이 벡터를 c배한 값의 변환을 하겠습니다 변환의 정의에 의해서 이것은 공역에 존재하는 새로운 벡터가 됩니다 이 첫 번째 성분이 이 첫 번째 성분의 제곱을 대입한 값입니다 즉, (ca1)² 입니다 두 번째 성분은 0입니다 그러면 이것은 어떻게 될까요? 색을 바꿔 봅시다 이것은 c²a1²이고 두 번째는 0입니다 c가 0이 아니라고 가정한다면 이 벡터는 무엇과 같을까요? 사실, 문젯거리도 아닙니다 가정할 필요도 없어요 따라서 이것은 벡터 a1², 0에 c²배한 값이 됩니다 그러면 이것은 무엇과 같죠? 이 식은 곧 벡터 a의 변환과 같아요 따라서 이것은 a의 변환에 c²배한 것과 같습니다 같은 색으로 해봅시다 방금 보여준 과정은 다음과 같습니다 변환된 벡터에 스칼라가 곱해질 때 그 크기는 기존에 정의한 변환 T에 대해 변환된 벡터 a의 c²배입니다 명백하게, 여기 이 명제는 혹은 이 변환은 선형변환의 요구조건과 충돌합니다 여기에 c가 있다면 여기에도 c가 있어야 합니다 그러나 이 경우에서는 이쪽에는 c가 있지만 여기에는 c²이 있죠 따라서 이것은 명백히 이 조건을 부정합니다 따라서 이것은 선형변환이 아닙니다 만약 여러분이 보고 있는 게 선형변환인지 아닌지 직관적으로 알고 싶다면 그리고 만약 그 변환이 오직 다른 성분들의 선형결합만을 포함한다면 그것은 아마 선형변환일 것입니다 만약 어디선가 성분이 서로 곱해지거나 제곱이나 지수가 보이기 시작한다면 그것은 아마 선형변환이 아닐 것입니다 그리고 함수가 애매한 영역에 있더라도 선형결합은 곧 선형변환으로 직결됩니다 하지만 다행히도 이것은 문제에 대한 감각을 키워줍니다 그리고 이것은 다음 동영상에서 깔끔한 결과로 이어집니다