Im(T): 변환의 상

V 집합이 Rn의 부분 공간이라고 가정해봅시다 이게 무슨 의미를 갖고 있을까요? Rn의 한 부분 집합의 임의의 두개의 원소들 a랑 b는 Rn의 부분 공간 원소들입니다 부분공간상에서 두 벡터의 a＋b의 합은 그 부분공간에 있습니다 이러한 현상은 합에 관하여 닫혀 있다 라고 합니다 그리고 부분공간이니까 그 부분공간의 임의의 원소를 스칼라 곱하면 그 결과 값도 부분공간의 원소입니다 예를 들어 a라는 원소를 스칼라 곱하면 그 해도 a가 속한 부분공간의 원소가 됩니다 이 현상은 스칼라곱에 관하여 닫혀 있다고 합니다 그리고 V는 꼭 영벡터가 있어야 합니다 이건 모든 부분공간에 해당 사항입니다 그러므로 영벡터는 V의 원소입니다 V는 Rn의 부분공간이므로 영벡터는 n 요소들로 구성돼 있습니다 아무 벡터의 곱은 V에 있다고 할 수 있고 또는 스칼라를 영이라고 할 수 있습니다 그래서 말이 좀 중복되는 것 같이 들리실 수 있습니다 많은 교과서들은 영벡터가 꼭 V의 원소여야한다고 주장합니다 스칼라곱에 관하여 닫혀 있음을 알면 그 주장이 좀 중복된다는 것 알겁니다 좋습니다. 이제 임의의 T 변환이 있다고 하죠 이것은 Rn에서 Rm으로 이동한 함수입니다 이 비디오의 핵심은 다음과 같습니다 V라는 부분공간이 있습니다 이 부분공간을 변환 시키면 결과가 어떻게 나올까요? 이 결과는 부분공간 또는 부분집합의 상이라고 했습니다 V의 상은 T에 속해 있습니다 이해를 돕기 위해 이전 비디오에서를 생각해보겠습니다 Rn의 부분집합은 이렇게 생겼었습니다 이렇게 생긴 삼각형이였습니다 그리고 Rn에 속해 있었습니다 더 자세히 R2에 속한 삼각형이였죠 T의 상을 알아냈다 그래서 우린 R2에서 R2로 변환했습니다 그 결과는 이렇게 생겼었습니다 잘 기억은 안 나지만 아마 이렇게 생긴 회전된 비스듬한 삼각형이였을 것입니다 조금 더 정확히 이런 결과였을 겁니다 조금 시계방향으로 회전되고 비스듬한 삼각형이요 이전 비디오를 완벽하게 기억하는 건 중요하지 않습니다 진짜 중요한 건 변환된 상을 시각적으로 이해하는 게 중요합니다 R2의 임의의 부분집합에 속해 있는 벡터들이 이 삼각형을 정의한고 가정해보죠 R2의 부분집합이기 때문에 모두 변환 가능하고 결과는 공역에 속해 있는 부분집합일 겁니다 만약 여기 있는 삼각형을 s라고 한다면 이걸 s의 변환에 대한 상이라고 할 수 있습니다 더 간단히 말하자면 삼각형의 T에 대한 상이라고 할 수 있습니다 더 쉽게 말하자면 여기 보이시는 비스듬하고 회전된 삼각형이 여기 있는 직각 삼각형의 T에 대한 상입니다 이렇게 계속해서 설명드린 이유는 더 시각적으로 이해하기 쉽게하기 위해서 입니다 이전 비디오에서는 여기 있는 삼각형들은 부분공간이 아니였습니다 그래서 이 삼각형들의 임의의 벡터들을 스칼라 곱하면 그 결과는 이 삼각형에 없다는 걸 알 수 있죠 그러니까 이건 부분공간이 아니고 그냥 R2의 부분집합입니다 모든 부분집합은 부분공간이 아닙니다 하지만 모든 부분공간은 부분집합입니다 하지만 무언가 자신의 부분집합 일 수 있다 너무 말이 길어졌네요 지금까지 당신이 시각적으로 상을 이해할 수 있게 설명했습니다 모든 벡터들이 주어진 부분집합에서 그려졌다는 걸 알 수 있다 우리 이제 V의 T에 대한 상이 부분공간인지 알고 싶습니다 V의 임의의 원소들을 변환 시키면 당연히 상의 원소들이 만들어집니다 그렇죠? 그래서 이렇게 쓸 수 있습니다 임의의 원소 a랑 b가 있다고 가정합시다 a의 변환 그리고 b의 변환은모두 V의 T에 대한 상의 원소들입니다 이렇게 말입니다 당신에게 질문합니다 a의 변환 더하기 b의 변환은 뭘까요? a랑 b는 그냥 V의 T에 대한 상의 임의의 원소들입니다 이들은 두개의 임의의 원소들입니다 이게 뭘 뜻할까요? 우린 선형병환의 성질 또는 정의로 두개의 벡터들의 변환의 합은 벡터들의 합의 변환이란 걸 알 수 있습니다 자 이제 그럼 a 더하기 b의 변환은 V의 변환 T의 원소일까요? 상의 원소일까요? a 더하기 b는 V의 원소입니다 그리고 그것의 상은 V의 모든 원소의 변환을 포함하고 있다 그러니까 상은 이것의 변환을 포함한다 a 더하기 b는 V의 원소이다 정의에 따라 V의 원소의 변환은 V의 T에 대한 상이다 이건 사실입니다 다음 질문입니다 V의 T에 대한 상의 임의의 원소의 스칼라배는 뭘까요? 선형변환의 정의에 따르면 이건 그냥 벡터의 스칼라배의 변환과 똑같은 걸 알 수 있습니다 그럼 이 변환은 V의 T에 대한 상의 원소일까요? ca는 당연히 V에 속합니다 그건 부분공간 정의에서 알 수 있습니다 그래서 이건 당연히 V에 속합니다 이게 V에 속하면 당연히 이거의 변환도 V의 T에 대한 상에 속해야 합니다 그래서 이 변환도 V의 원소입니다 그러므로 당연이 이 값을 0으로 설정할 수 있습니다 영벡터는 V의 원소입니다 영벡터의 변환은 영벡터입니다 영벡터는 영이랑 곱해도 항상 명확히 영벡터입니다 영벡터는 명확히 V변환 T의 원소입니다 그러므로 V의 T에 대한 상은 부분공간입니다 이 결론은 매우 유용합니다 이따 한번 써보겠습니다 지금까지는 다루어 온 모든 것들은 부분집합이었습니다 이 삼각형, 부분공간 또는 V와 같이요 하지만 Rn의 T에 대한 상은 어떨까요? 이걸 Rn의 T에 대한 상이라고 합시다 이게 무순 의미를 가지고 있는지 생각해보겠습니다 만약 Rn의 임의의 모든 원소들을 변환하면 그 벡터들의 집합은 뭘까요? 이렇게 한번 써보죠 이건 모든 x들의 변환의 집합입니다 x는 Rn의 원소입니다 그러니 Rn의 원소들을 갖다 모두 변환할 수 있고 새로운 집합을 만들 수 있습니다 이건 Rn의 T에 대한 상입니다. 이거에 대한 여러가지 생각들을 할 수 있습니다 T는 Rn부터 Rm의 사상이라고 정의한 걸 기억해봅시다 우린 이걸 정의역으로 정의했습니다 모든 가능한 대입값 변환은 우린 공역으로 정의했습니다 그리고 공역은 본질적으로 함수 정의의 일부 또는 변환의 일부라고 했습니다. 그리고 우리가 사상하는 공간입니다 근데 우리가 사상하고 있는 모든 것은 아닙니다 예를 들어 Rn의 변환된 상이 모든 Rm이 될 수 있고 또는 그냥 Rn의 부분집합일 수 있습니다 이건 T의 치역이라고도 볼 수 있습니다 저는 이게 중요하다고 생각합니다. 하지만 선형대수 교과서에는 다루지 않죠. 이것들은 T가 사상하는 Rm의 실제 원소들이다 Rn의 T에 대한 상 구하면 Rm은 이렇게 생겼습니다 당연히 모든 방향으로 갑니다 Rn을 그려보죠 T는 Rn부터 Rm까지의 사상이란 걸 압니다 하지만 Rn의 모든 원소들을 Rm에 사상하면 결과가 Rm의 부분집합이면 이렇게 생겼다고 가정하죠 한번 이쁘게 그리겠습니다 말그대로 모든 포인트들을 사상하면 모두 여기 어딘가로 가네요 아니면 이 포인트들이 여기 있는 포인트들고 사상됐다고 할 수 있습니다 이 모든 걸 사상하면 여기 있는 부분집합입니다 이 부분집한은 Rn의 T에 대한 상입니다 선형대수학에서 많이 쓰이지 않는 용어지만 치역이라고도 부릅니다 T의 치역이라고요 자 이제, 이건 중요한 특별한 이름이 있습니다 헷갈리시면 안됩니다 이건 T의 상이라고 합니다 T의 상이요 조금 헷가리실 수도 있습니다 가끔 그냥 im(T) 써 있는데 이게 좀 헷갈리실 겁니다 부분집한에 대해 말할 때는 R의 T에 대한 상이라고 했습니다 부분집합을 다루고 있을 때는 맞는 용어입니다 하지만 모든 n차원 공간에서는 우리가 말하는 상이 실제 변환의 상이라는 것을 알 것입니다 이 집합도 T의 상이라고 합니다 그럼 T의 상은 뭘까요? T는 Rn부터 Rm으로 갑니다 그러니 아무 선형변환을 쓸 수 있습니다 x의 T라고도 쓸 수 있습니다 이것은 어떤 m×n 행렬를 벡터와 곱한 것이라고 볼 수 있습니다 당연히 이 벡터들은 Rn 곱하기 Rm의 원소들일 겁니다 이건 뭘까요? 그럼 Rn의 T에 대한 상은 뭘까요? 그것 또한 Rn의 T라고도 할 수 있습니다. 이건 T의 상이랑 똑같습니다 우리는 뭐에 대한이라고 안하고 있다는 걸 아셔야 합니다 왜냐하면 이제는 실제 변환의 상이라고 하고 있으니까요 im(T) 이렇게도 쓰입니다 그럼 이건 뭘까요? 이건 모든 x의 변환의 집합입니다 모든 x의 변환은 Ax일 겁니다 x는 Rn의 원소입니다 x는 n-투플이다. 모든 원소들은 실수이다 그럼 이건 뭘까요? 행렬 A를 쓰죠 이건 그냥 여러개의 a1, a2 같은 열벡터들로 만들어졌습니다 이 벡터들이 n개 있을 겁니다 n개의 열이 있으니까요 x는 Rn의 원소이면 x1, x2 계속해서 xn까지 a랑 곱해줍니다 이건 여러번 봤습니다 이건 x1×a1+x2×a2+...+xn×an 입니다 모든 x는 스칼라입니다 x는 Rn에 있는 아무 벡터이고 모든 열벡터들의 덧셈의 집합을 구하고 싶습니다 x의 원소들은 아무 실제 스칼라 값을 가집니다 이 모든 것들의 집합은 본질적으로 a의 열들의 선형결합입니다 그래서 이건 뭘까요? 이걸 배우기 시작할 때 말했었습니다 이건 A의 열공간과 같다 가끔 C(A)로 썼었습니다 꽤 깔끔하죠? 조금 말 장난 같을 수 있습니다 근데 이해하기 쉽습니다 모든 선형변환은 행렬의 벡터적으로 표현할 수 있다 모든 정의역의 원소들을 공역으로 사상하면 이건 선형변환의 상이다 행렬의 열공간으로 변환을 표현할 수 있다 그리고 열공간은 행렬의 열벡터들의 포괄하는 걸이다 이건 그냥 선형결합 또는 span(a1, a2, ..., an)입니다 오늘 배운 걸 다음에 쓸 수 있고 흠로웠으면 좋겠네요