생일 확률 문제

여러분 중 한 명이 꽤 흥미로운 문제를 보내 주셔서 제가 한번 풀어 볼까 해요. 문제는 일단 30명의 사람이 있다는 건데, 그래서 방 안에 30명의 사람이 있다고 합시다 그들은 무작위로 뽑혀진 사람들이고요 그리고 문제는 최소한 두명의 사람이 같은 생일을 가질 확률이 뭐냐는 거죠 이건 좀 재미있는 문제인데 왜냐하면 보통의 교실들은 대부분 30명 정도로 이루어져 있잖아요 교실의 누군가가 다른 교실의 누군가와 같은 생일을 가질 확률이 뭘까요? 좋은 표현이네요 이건 마치 같은 교실에 있지 않더라도 누군가가 또다른 누군가와 생일이 겹칠 확률을 구하는 것과 같잖아요 그들은 2명의 다른 사람과 생일이 같을 수도 있고 4명의 다른 사람과 생일이 같을 수 도 있죠 처음엔 이 문제가 매우 어려워 보일 거에요 왜냐하면 여기에 해당하는 경우의 수가 매우 많기 때문이죠 저는 딱 두 명의 사람들이 같은 생일을 갖게 할 수도 있고요 아니면 딱 세 명의 사람들이 같은 생일을 갖게 할 수도 있어요 제가 29명의 사람들이 모두 같은 생일을 가지고 있다해도 이 상황도 가능하기 때문에 저는 이렇게 모든 경우의 확률을 하나하나씩 계산해서 더할까요? 하지만 다 더해서 구한다면 그건 정말 어려워지겠죠 그리고 저는 누구와 누구의 생일을 비교하고 있었지? 라고 생각하게 될 거에요 그러면 또 이건 매우 어려운 문제에요 , 만약 이걸 단순화시키지 않는다면 말이죠 이건 이것의 정반대인데- 잠깐 제가 확률 공간을 그릴 시간을 주세요 이게 모든 나올수 있는 결과라고 합시다 이걸 더 두꺼운 선으로 그려 보죠 그래서, 이게 제 확률공간의 모든 결과라고 합시다 모든 결과, 즉 결과의 100%가 다 있는 거죠 우리가 알고 싶은 건.... 그리고 우린 이걸 알아야 하는데- 잠시만요 여러분이 기분 나빠하지 않을 색깔로 그리도록 하죠 이게 그렇게 멋져 보이진 않지만 그냥 진행하도록 하죠 우리 이쪽 구역이 확률이라고 해 봐요- 그리고 이게 얼마나 클지는 모르겠지만, 우리가 알아낼 거에요 이게 누군가가 최소한 한명의 또다른 누군가와 같은 생일을 가질 확률이라고 합시다 여기 이쪽의 부분은 뭐죠? 이 초록색 부분은 뭐죠? 이건 만약에 저것들이 누군가가 다른 누군가와 생일이 같은 상황들의 전부라면, 이것들은 생일이 같지 않을 상황의 전부지요. 아무도 생일이 같지않습니다. 아니면 30명 모두가 각기 다른 생일을 가지고 있다고 할 수도 있고요 다른 생일... 이게 우리가 알아낼려고 하는 거에요 이걸 그냥 누군가와 생일을 공유할 확률이라고 부를게요 이걸 공유의 확률, 즉 s의 확률이라고 부를게요 만약에 이 모든 구역이 1의 구역이거나 100퍼센트의 구역이라면, 이 초록색 구역은, 1 - p(s) 가 될 거에요 이건 1 - p(s)가 될 거라는 거죠 아니면 만약에 우리가 이걸 확률이라고 부른다면- 아니다, 사실 이렇게 생각하는 게 제일 좋아요 이건 서로 다르다는 전제 하에 있으니까, 이건 각자 다른 생일들의 확률이죠 이게 30명이 사람이 모두 각자 다른 생일을 가질 확률이에요 어느 누군가도 다른 누군가와 생일이 같지 않아요 어느 누군가가 다른 누군가와 같은 생일을 가질 확률 더하기 어느 누군가도 다른 누군가와 같은 생일을 가지지 않을 확률- 즉 생일이 다 다를 확률- 의 합은 1이 될 거에요 왜냐면 우리는 이 상황에 있거나 저 상황에 있거다 둘 중 하나니까요 아니면 이것들이 100%와 같다고 할 수도 있죠 어떻게 풀든, 100%와 1은 같은 거니까요 100%와 같아요 그래서 만약에 우리가 전체의 생일이 똑같을 확률을 구한다면 우리는 그걸 100에서 뺄 수 있을 거에요 그래서 한번 볼까요 그냥 이걸 다시 쓸게요 어느 누군가가 다른 누군가와 생일이 같을 확률은 100% 에서 모두가 각기 다른 생일을 가질 확률을 빼버린 것과 같죠 그리고 제가 이걸 하는 이유는, 이 비디오를 시작했을 때부터 이건 좀 풀기 힘든 문제였기 때문이에요 사실 저는 2명이 같은 생일을 가질 확률은 구할 수 있지만 5명이라면 좀 까다로워지죠 하지만 여기선, 만약에 그냥 모든 사람이 다른 생일을 가질 확률을 구하는 거라면 이건 훨씬 쉽게 풀 수 있어요 그래서 모두가 다른 생일을 가질 확률은 뭘까요? 이제 그걸 생각해 봅시다 사람 1 간단하게 하기위해서, 방 안에는 2명의 사람만 있다고 생각해 봅시다 그들이 다른 생일을 가질 확률은 뭘까요? 봐요, 사람 1, 이 사람의 생일은 1년의 365일 중 365일 중 하루가 되겠죠 생일이 언제든 상관없죠 그리곤 사람 2, 만약에 우리가 그 둘이 같은 생일을 가지고 있지 않다는 것을 확실하게 하고자 한다면, 사람 2의 생일은 1년의 몇 일 중 하루일까요? 사람 1이 태어난 하루를 뺀 아무 날이나 될 수 있겠죠 그리니까 사람 2의 경우 365 중 364의 확률이 있죠 그래서 만약에 사람 2명이 있다면, 둘 다 생일이 다를 확률은 거의 1이죠 그저 365분의 364와 같을 거에요 만약 우리가 3명의 사람들을 대상으로 하면 어떻게 될까요? 일단, 첫번째 사람은 아무 날에나 태어났을 수 있죠 그러면 두번째 사람은 365일 중 364일 가운데 한 날에서 태어났을 수 있겠구요 그리고는 세번째 사람이요, 이 사람이 나머지 두명의 사람들과 생일이 겹치지 않을 확률은 뭘까요? 2일은 빠져야 하니까 확률은 365분의 363이죠 이걸 다 곱해버려요 이렇게 나와요, 365 곱하기 36- 그냥 다시 써야겠어요 이게 1이라고 하지 말고, 이걸 이렇게 쓸게요- 분자는 365 제곱 분의 365곱하기 364이라고 하죠 여러분들이 패턴을 볼 수 있게 하고 싶어서 그래요 여기의 확률은 365의 세제곱 분의 365 곱하기 364 곱하기 363 그래서 일반적으로, 이걸 30개까지 하다 보면- 그러니까 만약에 제가 이 과정을 30명의 사람에 적용한다면- 모두가 다른 생일을 가질 확률은 365 곱하기 364 곱하기 363- 우리는 30개의 항이 있잖아요 그래서 쭉 곱하다 보면 어디까지 곱해요? 곱하기 336으로 끝나죠 그건 사실 30개의 항들이 365의 30제곱으로 나눠진 거죠 그리고 여러분은 그냥 이걸 당장 계산기로 계산해도 돼요 30개 숫자를 입력하는 덴 시간이 조금 걸릴 테지만 그러면 여러분은 30명 모두가 생일이 다를 확률을 구하게 될 거에요 하지만 그전에, 제가 여러분에게 조금 더 쉽게 계산할 방법을 보여줄게요 제가 이걸 계승을 사용해서 수학적으로 표현할 방법이 있을까요? 이것도 할 수 있을까요? 우리 한번 생각해 봐요 365 팩토리얼이 뭐라고요? 365팩토리얼은 365 곱하기 364 곱하기 363 곱하기.. 해서 곱하기 1까지 곱한 것과 같아요 그냥 계속 곱하는 거에요 엄청나게 큰 수죠 이제, 만약에 제가 오직 365 곱하기 364만을 원한다면, 이 뒤의 모든 숫자들은 버려야 하잖아요 그걸 위해 할 수 있는 일 중 하나는 이 모든 수들로 이걸 나눠버리는 건데요 그럼 363 곱하기 362 곱하기 쭉쭉 가서 곱하기 1까지 그러면 이걸 363의 계승으로 나누는 것과 같죠 365 계승 나누기 363 계승은 본질적으로 이거에요 왜냐면 이 모든 항들이 약분되어서 없어지니까요 그래서 이건 365 제곱 분의 363 계승 분의 365 계승과 같죠 그리고 당연히 이 상황에서 계승에 관해 걱정하는 건 바보같은 거지만, 여기에 두 항보다 많이 있다면 계승은 쓸만해지죠 그래서 똑같은 논리로, 여기 이 부분은 365제곱 분의 362의 계승 분의 365 계승이 되는 거죠 사실 이건 그냥 또다른 흥미로운 점이에요 이게 어떻게 365가 되었죠? 아 죄송해요, 우리가 어떻게 이 363의 계승을 구했죠? 음, 365 빼기 2는 363이잖아요, 맞죠? 맞죠, 우리는 여기에 2개의 항들만 있길 바랬으니까요 우리는 여기에서 오직 2개의 항만 있길 원해요 그래서 우리는 2 적은 수의 계승으로 나누고 싶죠 그래야지 가장 숫자가 큰 두개의 항들만 남으니까요 이건 또 이거랑도 같은데- 이걸 365 계승 나누기 365 빼기 2 팩토리얼, 365 빼기 2의 계승은 363 계승 이러면 그냥 여기 제일 큰 두개의 항만 남고 이렇게 되는 거에요 그리고 그거랑 똑같이, 여기 있는 분자는 그냥 365의 계승 나누기 365빼기 3의 계승이라고 다시 써요 (3명의 사람이 같을 생일을 가져야 했으니까 3을 뺀 거죠) 그리고 이게 맞았으면 좋겠네요, 그렇지요? 이건 365의 계승 나누기- 음 365 빼기 3의 계승은 은 362의 계승. 그럼 이게 365 곱하기 364 곱하기 363 곱하기 곱하기 1이 될 때까지 쭉 곱해지고 이건 362 곱하기부터 쭉 곱해진 값으로 나뉘죠 그리고 이건 다른 모든 항을 없애버리고 이거만 남도록 할 거에요 여기 있는 이거요 그래서 똑같은 논리로, 여기 있는 윗부분은 365의 계승 나누기 얼마라고 할 수 있을까요? 365 빼기 30의 계승이지요. 그리고 전 지금까지 여러분들에게 이 패턴을 보여주려고 이걸 다 풀었고 또 이렇게 하면 계산기로 계산하기도 훨씬 쉬워요. 물론 계승 버튼이 어디 있는지 안다는 전제 하에요. 그래서 이 모든 확률이 뭔지 알아봅시다. 계산기를 켜고, 분자를 먼저 계산해 봅시다. 365 계승 나누기- 음, 365 빼기 30이 뭐지요? 335이네요. 335의 계승으로 나뉜 이게 분자에요. 그리고 이제 우리는 이 분자를 365의 30승으로 나눠야죠 그냥 계산기가 계산하도록 시키면 답은 0.2936이 나와요 답은 0.2936 만약 반올림하면 0.2937이에요, 반올림한 값은 29.37%고요 자, 이제 여러분이 우리가 뭘 하고 있었는지 일깨워 주기위해 말하는 건데요 이건 어느 누구도 다른 누군가와 생일이 같지 않을 확률이었어요 이건 모두가 각자 완벽히 다른 생일을 가지고 있을 확률이었죠 그리고 누군가가 다른 누군가와 같은 생일을 가질 확률은 (그 다른 누군가는 한명 이상일수도 있지요) 확률 공간인 100% 에서 모두 각자 다른 생일을 가질 확률을 뺀 확률을 말하는 거에요 그래서 이건 100% 빼기 29.37%와 같아요 아니면 그냥 이걸 1 빼기 0.2937이라고 쓰는 방법도 있죠 그러면 답이 이렇게 나오는데- 그래서 만약에 제가 1에서 이걸 빼고 싶다고 합시다. 1 빼기- 이게 답인데요 이건 1 빼기 0.29를 뜻하죠 0.7063이라는 답이 나와요 그래서 누군가가 다른 누군가와 같은 생일을 가질 확률은 0.7063--끝나지 않는 소수지요. 이건 70.6% 정도와 같아요. 이건 뭔가 간단하면서도 휼륭한 답인데 왜나면 방 안에 30명의 사람들이 있을 때마다 당신이 우와, 여기서 한명이 다른 한명과 생일이 같은 확률은 얼마일까? 라고 한다면 그 확률은 생각보다 높다는 거죠 30명의 사람이 있을 때마다 70% 의 확률로 적어도 그 무리 중 한 사람은 다른 한 사람과 생일이 같다는 거죠 그래서 이건 좀 깔끔하고 멋진 문제고 그와 동시에 결과도 깔끔하면서 뭔가 멋지네요 어쨌든 다음 비디오에서 봐요