이항정리의 일반화 심화

저번 영상에서 우리는 공정한 동전을 다섯 번 던졌을 때, 정확히 세 개의 앞면을 얻을 확률을 구했습니다. 이번 영상에서는 이것을 보다 일반적인 방법으로 생각해 보고자 합니다. 우리는 공정한 동전을 가정하고 시작할 것인데, 이 가정이 필요없다는 걸 곧 알게 될 거에요. 저는 동전을 n번 던졌을 때 k개의 앞면이 나올 확률을 구하고자 합니다. 가장 먼저 생각해야 하는 건 단순히 전체 경우의 수입니다. 우리는 동전을 n번 던지죠. 말 그대로 첫 번째, 두 번째, 세 번째, 그리고 N번째 던지기까지 있을 겁니다. 이 동전은 공정한 동전이므로, 모든 경우에는 두 가지 같은 확률의 결과가 있습니다. 그러므로 전체 경우의 수는 2 곱하기 2 곱하기... 가 n번이겠죠. 즉 전체 경우의 수는 2의 n제곱개입니다. 이제 이 중 몇 가지가 일어날 확률이 같은지 알아봅시다. 이 경우들은 모두 같은 확률로 일어납니다. 이 동전은 공정하니까요. 이제 이 동일한 경우 중 몇 개가 k개의 앞면을 포함할지 생각해 봅시다. 우리가 3개의 앞면에 대해 생각해 봤을 때처럼, 우리는 "이 k개의 앞면 중 첫 번째가 몇 개의 서로 다른 양동이에 떨어질 수 있을까?" 라고 생각할 수 있죠. k개의 앞면 중 첫 번째는 n개의 서로 다른 양동이에 떨어질 수 있죠, 맞나요? 이 양동이는 첫 번째, 두 번째, 그리고 n번째까지의 던지기입니다. 이제 k개 중 두 번째 앞면은, 우린 k가 정확히 어떤 값인지 모릅니다, n-1가지 경우가 있겠죠. 그리고 k개 중 세 번째 앞면은 n-2가지 경우가 있을 겁니다. 양동이들 중 두 개는 이미 찼으니까요. 우리는 이걸 모든 k에 대해 세었을 때까지 계속합니다. 즉 이걸 끝까지 다 센다면, 곱셈으로 계산하죠, 우리가 곱할 것의 개수는 k인데, 이는 k개의 앞면을 나타낸 것입니다. 그러므로 이건 하나, 둘, 셋, 그리고 n-(k-1)까지 가게 됩니다. 동전을 5번 던졌을 때도 적용할 수 있습니다. n이 5이고 k가 3일 경우, 이 식은 5 곱하기 4 곱하기, 3에서 끝내야 하네요. 이 3은 사실 여기 이 항이니꺼요. 조금 더 긴 경우에는, 그러니까 k가 상당히 큰 수일 때는 이렇게 되지 않습니다. 왜냐하면 여기 이 식이 5 빼기 2인데, 그것이 바로 3이기 때문이죠. 여러분께서 헷갈리시지 않도록, 이렇게 쓰겠습니다. 그러니까 첫 번째 앞면은 n개의 경우가 있습니다. 두 번째 앞면은 n-1개가 있고요. 이렇게 계속 가다 보면 곱할 항들은 k개이고, 마지막 항은 n-(k-1)개의 경우가 있겠죠. 이렇게 되면 5개 중 3개가 앞면인 아까 그 경우를 보다 잘 이해할 수 있을 거에요. 여기서는 첫 번째 앞면에 5가지 경우, 두 번째 앞면에 4가지 경우, 그리고 n이 5이므로, 5-2가 마지막 앞면의 경우의 수입니다. 즉 이 공식이 실제로 맞다는 거죠. 이건 우리가 이 앞면들을 거기 넣을 수 있는 방법의 수, 그러니까 우리가 3개의 앞면을 서로 다른 5개의 양동이에 넣는 것과 같습니다. 이제 저번 영상처럼, 우리는 순서에 신경쓰지 않으므로 중복되는 것들을 세고 싶지 않습니다. 우리는 앞면의 순서를 구별하려고 하지 않아요, 일단 서로 다른 앞면을 구분하기 위해 이 글자들을 사용하겠습니다, 우리는 이 배열과 이 배열, 그리고 이것의 다른 모든 배열을 구분하지 않으려고 합니다. 우리가 해야 하는 것은 이걸 나누는 것인데, 이 수들을 나눠서 많은 배열들을 모두 세지 않도록 해야 합니다. 이때 k개의 물건을 순서대로 배열할 수 있는 경우의 수로 나눕니다, 서로 다른 경우의 수 말이죠. 만약 제게 k개의 물건이 있다면, 그러니까 한 개, 두 개, 계속 세어서 k개까지 있다면, 이 물건들을 배열하는 방법은 몇 가지일까요? 일단, 첫 번째 물건은 k개의 서로 다른 위치에 있을 수 있습니다. 아니면 이렇게 물건 1, 물건을 T로 표시하고, 물건 1, 물건 2, 물건 3, 물건 k까지 써 볼게요. 이 물건들을 배열하는 방법은 몇 가지일까요? 물건 1은 k개의 서로 다른 위치에 있을 수 있습니다. 물건 2는 k-1개의 서로 다른 위치 중 하나에 있겠죠. 그렇게 계속 계산하여 마지막 물건까지 간다면 그 물건이 있을 수 있는 위치는 하나뿐일 겁니다. 그러므로 이 수는 k 곱하기 k-1 곱하기 k-2, 계속해서 1까지 곱한 수가 될 겁니다. 다섯 번 중 세 개의 앞면이 나왔던 예시에서는, 3 곱하기 2에서 1까지 - 그러니까 3 곱하기 2 곱하기 1이죠. 그럼 이걸 더 간단하게 쓸 수 있는 방법은 무엇일까요? 여기 있는 이 식은 말이죠, k 팩토리얼과 같은 식입니다. 만약 당신이 팩토리얼이 무엇인지 모르셨다면, 그게 바로 여기 있는 이 식입니다. k! (k 팩토리얼) 은 k 곱하기 k-1 곱하기 k-2, 계속해서 1까지 곱한 값을 의미합니다. 예를 들어, 2! 는 2 곱하기 1이죠. 3! 은 3 곱하기 2 곱하기 1이며, 4! 은 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1입니다. 그래서 참 재미있는 식인데요, 팩토리얼은 아주아주 빠른 속도로 커지기 때문입니다. 어쨌든, 여기 있는 이 분모의 식은 k 팩토리얼로 바꿔 쓸 수 있습니다. 그렇다면 n!이라 쓰고 싶으면 어떻게 쓸 수 있는지 봅시다. n!이라 쓸 것이면 실질적으로 생각해 봅시다. n!은 n 곱하기 (n-1) 곱하기 (n-2)에서부터 1까지 곱하는 것인데, 이것이 우리가 원하는 거죠. 우리는 첫 k개의 항들만 원해요. 우리는 이를 (n-k)!으로 나눠봐요! 이게 어떤 일을 하는건지 생각해봐요. (n-k)!이 있는데 이는 조금의 대수적 연산을 여기에서 해보자면 n-k부터 1까지 곱하는 것과 같죠. 이를 나누면 1은 약분이 될 것이고 여러분이 깨달았을 수도 아닐수도 있지만 그 연산은 여러분이 하면 되겠지만 모든 것들은 다 약분이 될 거에요. (n-1)부터 n-(k-1)을 제외하고는요. 왜냐하면 이를 전개해보면 음수를 분배하면 이는 n-k+1과 같으니까요 그러므로 n-k+1은 여기에 있는 이 수보다 1 더 큰 숫자에요 이를 나누면 이렇게 약분이 될거에요. 이렇게요. 이렇게요. 우리는 여기에 나와 있는 것이 남을 거에요 저를 안 믿는다면 실제로 해볼수도 있어요 (5-3)!분의 5!을 생각해봐요 이것은 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1이 될 거에요 1까지 이것들이 모두 있어요. 분모는 5 빼기 3은 2, 2!이요. 2!은 2 곱하기 1이고, 2와 약분이 되고 1은 1과 약분이 되죠. 이것에 대해서 고민할 필요는 없어요. 그러므로 당신은 5 곱하기 4 곱하기 3만 남았어요 여기에 있던 5 곱하기 4 곱하기 3이요 그러므로 대체적으로 2개의 것을 5개의 의자에 넣는 방법을 알아내려면 그 2개를 구별할 필요가 없다면 여기에 있는 이 식 이것과 같은 것을 쓰면 될거에요. 그러므로 당신은 n!/(n-k)!이 있을 것이고 이를 여기에 있는 이 식으로 나눌 거에요 우리는 이미 k!과 같은 것이 있으니까요 k!으로도 나눌 거에요 그러면 여러분은 2개의 것, 아니 이렇게도 말할 수 있겠네요 k개의 것들을 n개의 통에 넣을 수 있는 방법을, 그리고 n번을 던졌을 때 k번의 앞면이 나오는 횟수를, 다른 방법으로는 이항 정리의 보편화된 공식이 있는 거죠 이를 다르게 쓰는 방식은 n개의 통이 있다는 가정 하에 k개의 물건들을 넣을 수 있었고, 이 각각을 구별지을 필요가 없는 거죠 다르게 생각할 수 있는 방법은 n개의 통이나 n번 던지면 그리고 k개가 앞면이 되도록 하려면 아니면 k개를 고른다 하면 그리고 이들을 구별짓고 싶지 않는다면 이것들은 모두 이항정리의 보편적인 방법이에요. 원래의 문제로 돌아가자면 n번 던져서 k개의 앞면이 나오는 확률이 무엇일까요? n번째 같은 확률이 2개가 있어요 그니까 이것을 써봐요. 2의 n제곱의 확률 중에서 같은 확률이 있으면 그중에서 정확하게 몇개의 확률들이 k개의 앞면이 나오는 건가요? 이 비디오를 통해서 우리는 알아보았습니다. 몇 가지의 확률이 있다는 것을요 확률은 이를 외우는 괜찮은 방법이에요. 그러나 솔직하게 여러분께 말씀드리자면 제가 20년이 지난 지금까지 이것을 아는 이유는 처음보자마자 안다기 보다는 이를 실제로 풀어내고 증명해내는 것을 좋아하기 때문이에요. 5번 던질 수 있는데 그중 3개는 앞면이 되어야 해요. 그 중 처음은 5개의 다른 통들에 있을 수 있고 그 다음은 4개에 있을 수 있어요. 그 다음은 3개, 저는 3개를 배열할 수 있는 다른 방법들을 모두 구별하고 싶지 않아요. 그러므로 저는 3!, 즉 3 곱하기 2 곱하기 1로 나누었다는 것을 확인해야죠 저는 다르게 배열할 수 있는 각가지 다른 방법들로 나누었다는 것을 확신하고 싶어요.