확률 & 조합

돌아왔습니다 저는 사실 아침 일찍 이 비디오를 녹화했는데 저는 그제서야 마이크로폰이 안 연결됬다는 것을 알았습니다 저는 누가 이 플러그를 뺐는지에 대해서는 언급하지 낳겠습니다 어찌됬든 다시 확률로 돌아와봅시다 제 아내가 짖궂게 웃고 있군요 어찌됬든 전에 했던 문제들보다는 조금 어려운 문제들을 풀도록 합시다 우리가 정상적인 동전을 가지고 다루었다면 이제는 약간 변형된 동전을 다루어봅시다 그렇다면 제가 변형된 동전 대신에 정상적인 동전을 가진다고 합시다 그냥 농구를 해보도록 합시다 제가 자유투를 한다고 가정을 하고 80%의 확률로 성공한다고 합시다 그래서 만약 제가 슈팅을 하면 10번중 8번, 80%의 확률로 들어가게 됩니다 그러나 이 것은 동시에 제가 20%의 확률로 못넣는다는 말이기도 합니다 이러한 사실이 주어지고 잘 모르지만 제가 5번을 던져서 그중에 최소한 3개를 넣을 수 있는 확률은 얼마일까요? 그렇다면 이 방법으로 생각해봅시다 3/5의 특정한 조합을 만들 수 있는 확률은 과연 얼마나 될까요? 그렇다면 이 것은 무엇을 의미하나요? 제가 특정한 조합을 선택했다고 가정해봅시다 그리고 이 것이 골인(B), 골인,골인라고 하고 그리고 실패(M), 실패라고 합시다 그러면 저는 3/5를 만들게 됩니다 이 것은--제가 잘 모르지만 -- 골인,실패,골인 실패,골인이 될 수도 있습니다 그리고 여기에는 이러한 것들이 수많이 있고 그리고 우리는 이 것들이 얼마나 있는지를 알아볼 것입니다 그러나 이러한 특정한 조합의 확률을 얼마나 될까요? 우리는 80%의 확률로 골인을 할 수 있습니다 × 80% 여기에 곱해집니다 × 80% × 80% 그렇다면 제가 놓칠 확률을 얼마나 되나요? 이 것은 20%입니다, 맞습니까? × 0.2 × 0.2 이 것은 0.8을 3세제곱한 것× 0.2를 제곱한 것입니다 그렇다면 정확한 조합을 가지기 위한 확률을 얼마입니까? 0.8을 곱하는 것-- 제가 놓치는 것은 20%의 확률을 가집니다 그래서 0.2×0.8×0.2×0.8 이 숫자들을 어느 규칙으로 곱해야한다는 가정이 없으므로 여러분을 이를 다시 배열할 수 있습니다 그리고 이 것은 0.8×0.8×0.8 곱하기0.2×0.2입니다 그리고 이 것을 0.8을 3번 곱하고 0.2를 제곱한 것과 같게 됩니다 골인을 3번하고 실패를 2번할 확률을 0.8의 세제곱에 0.2의 제곱을 곱한 것과 같게 됩니다 그렇다면 총 3/5의 총 확률은 어떻게 되는 것일까? 그리고 이 것이 이 조합들의 합이 될 것입니다 여러분이 알 둣이 저는 이 모든 것을 적을 수 있으나 지금의 우리는 조합과 결합을 잘 한다고 하고 다른 방법들이 있나 찾을 것입니다, 만약 우리가 5번의 골인을 가지고 고른다면-- 아니면 우리가 5번의 슈팅기회를 가지고 3번이 골이라고 하는 것입니다 이 것이 무슨 말일까요? 그렇다면 저의 5번의 슈팅이-- 제가 1,2,3,4,5 이 5번의 슈팅중에서 3번의 슈팅을 고를 것입니다 다시한번 나의 모자를 확률의 신에게 주고 확률이 만들어지기까지 3개의 슈팅기회를 만들도록 할 것입니다 근본적으로 5개중에서 3개를 고르는 것입니다 5개중 3개를 고릅니다 그렇다면 이 것은 무엇과 같아지는 것일까요? 이 것은 5!/3!×5-3!, 그래서 2!이 됩니다 이 것은 5×4×3×2×1/3×2×1 같게 되는 것입니다 우리는 여기의 1을 무시할 수 있습니다 한 번 보도록 합시다 우리는 3×2×1을 가지고 있습니다 3×2×1 우리는 이 것을 없앨 수 있습니다 우리는 1을 없앨 수 있고 이 2는 이 것을 2로 바꾸어줍니다 그렇게 되면 여기에는 총 10개의 가능성이 생기게 됩니다 이 것은 그들 중 2개입니다 여러분이 알 듯이 골인,골인,골인,실패,실패 골인,실패,골인,실패,골인 이 8가지를 모두 직접 써보는 것은 여러분에게 아주 좋은 활동이 될 것입니다 그러나 이렇게 이항계수들만을 다루면 여러분은 이 것이 어떻게 가능한지 생각이 들게 되고 그러면 저는 여러분이 설명이 필요하다고 생각해 기쁜 마음으로 비디오를 만들 것입니다 그러나 저는 쌍을 만들 것입니다 여기에는 10가지의 조합들이 있습니다 그래서 근본적으로 5개의 슈팅중 3개를 넣을 확률은 제 슈팅의 80%는 색깔을 바꾸어 쓰겠습니다 3/5가 들어가게 될 확률은 각각의 조합에 0.8의 세제곱×0.2의 제곱을 확률과 같게 됩니다 저는 3개를 골인시키고 2개를 놓칩니다 그 후 조합의 총 값을 곱하도록 합니다 이러한 조합들은 이러한 확률들을 가지고 있습니다 그리고 여기에는 서로 다른 10개의 배열을 만들 수 있습니다 3번의 골인과 2번의 실패를 나열하는 방법은 총 10가지가 있습니다 그래서 10을 곱하면 이 것은 무엇과 같게 되나요? 제가 고성능 계산기를 가져와보겠습니다 그렇다면 이 값이 어떻게 되는지 관찰합시다 이 것은 0.8×0.8×0.8×0.2×0.2×10입니다 이 것은 20.48과 같습니다 그리고 근본적으로 저는 20.48%의 확률로 5번 중 3번을 넣게 됩니다 그렇다면 조금 더 흥미롭게 만들어 보겠습니다 제가 3/5의 확률에 대해서 원치 않는다고 가정해봅시다 그리고 이것은 실제로 사람들이 더 물어보기를 원하는 질문입니다 최소한 3골을 넣을 확률은 얼마입니까? 만약 여러분이 이 것을 생각해본다면 이 것 역시 확률입니다 이 확률은 5번중 3번을 넣을 확률+ 5번중 4번을 넣을 확률+ 5번 중에서 모두넣을 확률 이 됩니다 우리는 이미 하나의 값은 알고 있습니다 20.48%입니다 그렇다면 5번중 4골을 넣을 확률은 얼마일까요? 저는 정확히 5/4가 될 확률을 알고 싶습니다 예시들은 아마 이렇게-- 저는 잘 모르지만-- 실패,골인 골인,골인,골인,골인 그렇다면 4개의 골인이 나오게 되는 확률은 얼마가 되는 것일까요? 이 것은 0.8을 4제곱하는 것입니다-- 그리고 저는 20%의 확률로 실패를 하는 것입니다 여러분이 알 듯이 이 것은 골인,골인,실패 골인,골인,골인이 됩니다 이 것은 정확히 4이지만 여러분이 이 것을 곱하면 여러분이 이 중 특정한 하나를 가질 확률은 0.8의 네제곱×0.2가 됩니다 만약 제가 확률의 신이라고 하면 5번의 골인중 4개의 골인을을 어떻게 해서 뽑을 수 있게 될까요? 그래서 이 것은 0.8의 네제곱×0.2가 됩니다 그래서 이 5개의 골인중 저는 총 4개의 골인을 고르게 되는 것입니다 그래서 이 조합의 숫자는 5/4가 될 확률이 되는 것입니다 그러면 5개 중에서 4개를 고르는 것은 어떻게 되나요? 5!/4!×1!이 됩니다 이 것은 5와 같게 됩니다 여러분은 이것을 할 수 있습니다 그렇다면 이 것을 알아보도록 합시다 이 것은 0.8×0.8×0.8-- 이것은 3이고요-- ×0.8이 됩니다 이 것은 같게 되는데-- 제가 알맞게 했나요? 한번 봅시다 0.1 잠깐 0.8×0.8-- 이게 맞습니다 ×0.2×0.5가 됩니다 그래서 40.96% 40.96%가 됩니다 그래서 대략 41%의 5/4가 될 확률을 가지게 됩니다 이 것은 매우 흥미로운데 이 것은 저의 자유투 확률이기 때문입니다 이 것은 조금 적은값인데-- 여러분이 알 듯이 그 시간에 던진 2/3의 슈팅의 확률을 나타내고 있습니다 그렇다면 5/5의 확률은 어떻게 되는 것일까요? 여기에는 오직 하나의 방법밖에는 없습니다 여러분은 여기의 5개를 모두 가지셔야 합니다 그래서 이 것은 0.8의 5제곱이 됩니다 제가 계산기를 다시 가져오겠습니다 이 것은 0.8×--잠시만요--×0.8×0.8 ×0.8×0.8=0.3276이 됩니다 그래서 32.77%를 가지게 됩니다 우리는 이 것을 모두 더해야 하는데 그 이유는 최소한 3골을 넣을 확률을 구하는 것이기 때문입니다 그래서 이는 5/5의 확률+ 4/5의 확률이 되고 이 것은 0.4096+ 3/5가 될 확률이 됩니다 이 것은 20.48이며 0.94208과 같게 됩니다 그래서 대략 94.21%의 말이 되는 ㄷ확률을 가지게 됩니다 제가 자유투라인에 서서 제가 자유투의 하나의 슟 당 모두 80%의 확률을 가지면 저는 3/5에서의 매우 높은 확률을 가집니다 제가 할 시간은 모두 끝이 났네요 다음 비디오에서 봅시다