예제: 조합론과 확률

36개의 각각 다른 카드를 사용하는 카드 게임이 있습니다 다이아몬드, 하트 ,스페이드, 클로버의 네 가지 모양에 모양 하나당 1부터 9까지의 수가 있습니다 총 네 종류가 있군요 각 모양당 9개의 카드가 있으니 카드는 모두 서로 다른 36장이 되는 것입니다 카드 한 시리즈는 9장의 카드로 이루어져 있고 그 시리즈는 참가자가 원하는 대로 구성할 수 있습니다 결국 순서가 딱히 상관없다는 뜻이네요 여기에서 1이 써 있는 카드 네 개를 모두 받을 확률은 얼마일까요? 여기에서 1이 써 있는 카드 네 개를 모두 받을 확률은 얼마일까요? 여기에서 1이 써 있는 카드 네 개를 모두 받을 확률은 얼마일까요? 즉 네 장의 1이 모두 내가 가지고 있는 시리즈에 들어 있어야 합니다 처음에 문제를 보면 굉장히 당황스러울 수 있습니다 와, 36장의 카드 중에서 9장의 카드를 뽑을 때 1을 모두 다 가질 확률을 구해야 한다니... 이런 생각이 들겠지만 매우 매우 간단하게 생각해 보면 확률을 구하는 것은 결국 사건의 경우의 수- 혹은 이렇게도 말할 수 있겠군요- 사건이 일어나는 경우의 수를 구하는 것입니다 다음은 확률의 정의입니다 전체 경우의 수 중에서 특정한 사건이 일어날 경우의 수입니다 이 문제에서 사건이란 4장의 1 카드를 모두 가지는 것을 말하겠지요 이 문제에서 사건이란 4장의 1 카드를 모두 가지는 것을 말하겠지요 이 문제에서 사건이란 4장의 1 카드를 모두 가지는 것을 말하겠지요 그리고 이 모든 다양한 경우는 사건 공간이라고 하기도 합니다 그런데 우리가 구해야 하는 것은 36장 중에서 9장을 고를 때 4장의 1 카드가 모두 포함되게 고르는 경우의 수입니다 그러므로 구하고 싶은 사건의 경우의 수를 전체 사건의 경우의 수- 이 경우에서는 이렇게 말해야겠군요- 가질 수 있는 시리즈의 경우의 수- 로 나누어야 합니다 가질 수 있는 시리즈의 경우의 수- 로 나누어야 합니다 파란색의 분자는 4장의 1 카드를 모두 가지고 있을 경우의 수이며 파란색의 분자는 4장의 1 카드를 모두 가지고 있을 경우의 수이며 이를 전체 시리즈의 경우의 수로 나누는 것입니다 먼저 전체 경우의 수를 구해 보도록 합시다 왜냐하면 이것은 전에 해 본 적이 있으므로 더 쉬울 것이기 때문입니다 자, 전체 시리즈의 경우의 수- 9장의 카드를 골라야 합니다- 그리고 이 9장은 36장의 카드 중에서 고르는 것입니다 이런 유형의 문제는 많이 풀어보았죠? 전체 경우의 수를 한 번 써 보겠습니다 전체 경우의 수를 한 번 써 보겠습니다 이는 다음과 같습니다- 9장의 카드를 고른다고 했을 때 첫 번째로 고르는 카드는 36장 중 하나이겠지요 두 번째는 35장 중 하나입니다 그 뒤는 순서대로 34, 33, 32, 31장 중 하나입니다 이것을 9번이나 하게 되는군요 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉 번이네요 순서가 고려되어야 한다면 이것이 바로 한 시리즈를 고르는 경우의 수입니다 하지만 우리는 전에도 해 봤기 때문에 이미 순서가 상관없다는 사실을 알고 있습니다 우리가 진짜 신경써야 할 점은 시리즈 안에 들어 있는 카드입니다 그래서 이렇게 계산을 하면 정답보다 더 많이 세게 되겠지요 하나의 경우를 순서만 다르게 해서 계속 다시 세는 꼴이 되는군요 예를 들어 다이아몬드의 1을 첫 번째로 고르나 마지막으로 고르나 상관없게 됩니다 하지만 방금 계산한 대로라면 위의 두 경우를 서로 다른 경우로 생각하는 것입니다 하지만 아까도 말했듯이, 두 경우는 서로 다른 경우가 아니므로 순서가 상관없습니다 그래서 우리가 지금부터 해야 할 일은 계산한 것을 9장의 카드를 배열할 수 있는 경우의 수로 나누는 것입니다 먼저 9가지의 카드를 첫 번째로 뽑을 수 있고, 8가지의 카드를 두 번째, 7가지를 세 번째, 그리고 이런 식으로 쭉 나갈 것입니다 결국 9 팩토리얼이 됩니다 이 식은 여러 번 봤을 것입니다 결국 36가지 중에서 9가지를 고르라는 것입니다 여기 있는 이 식도 같은 것입니다- 여러분에게 친숙한 조합 공식과 연결지어서 보면 36 팩토리얼 나누기 (36-9) 팩토리얼 36 팩토리얼 나누기 (36-9) 팩토리얼 -이것이 주황색 부분이고요-- 또 9 팩토리얼로 한 번 더 나누어줍니다 왼쪽 식의 주황색이 오른쪽 식의 주황색과 같고 왼쪽 식의 초록색이 오른쪽 식의 초록색과 같습니다 이것이 시리즈를 구하는 전체 경우의 수입니다 이번에는 조금 더 나아가서 사건이 일어나는 경우의 수, 즉 시리즈 안에 네 장의 1 카드가 모두 들어 있도록 하는 경우의 수는 어떻게 구할까요? 지금부터 알아봅시다 경우의 수- 혹은 이렇게 말해야겠군요- 4장의 1카드가 들어 있는 시리즈의 개수 4장의 1카드가 들어 있는 시리즈의 개수 문제를 풀기 위해 한 번 생각해 봅시다 하나의 시리즈가 9장의 카드가 아니라 4장의 카드로 되어 있으며 그 중에서 네 장의 카드를 고르는 것이라고 상상해 봅시다 만약 그렇다면 네 장의 1 카드를 가져가는 경우는 딱 한 가지밖에 없겠네요 그냥 4장의 1카드만 골라가면 한 시리즈가 되기 때문입니다 네 장의 카드만 고른다고 했을 때 네 장의 1 카드를 뽑는 조합은 이것이 전부이기 때문이죠 하지만 우리가 풀어야 할 문제는 네 장의 카드만 뽑으면 되는 것이 아닙니다 그 중 4장은 당연히 1 카드가 되어야 하겠지요 하나, 둘, 셋, 넷 그러나 나머지 5장의 카드들은 다른 카드일 것입니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 일단 36장의 카드 중에서 4장의 카드는 1카드로 이미 모두 뽑아 놓았다고 생각해 보고 나머지 5장의 카드를 생각해 봅시다 36장 중에서 4장을 이미 뽑았으니 5장의 자리에 들어갈 수 있는 카드는 총 32장이 있네요 두 번째 경우에는 31장, 세 번째 경우에는 30장이겠네요 매번 카드를 뽑으니 남아 있는 카드가 줄어드는 것입니다 이제 30장밖에 안 남았습니다 그 다음에는 29장밖에 안 남았습니다 이번에는 28장만 남았네요 이번에도 아까 전체 경우의 수를 구할 때처럼 순서는 상관없습니다 클로버 5를 먼저 뽑든 마지막으로 뽑든 상관 없으므로 이 경우를 두 번으로 나누어 세면 안 됩니다 그러므로 다섯 장의 카드를 배열하는 경우의 수로 나누어야 합니다 그러므로 다섯 장의 카드를 배열하는 경우의 수로 나누어야 합니다 그러므로 다섯 장의 카드를 배열하는 경우의 수로 나누어야 합니다 그러므로 다섯 장의 카드를 배열하는 경우의 수로 나누어야 합니다 첫 번째 자리는 다섯 장 중 아무 것이나 가능하고 그 뒤로는 네 장, 세 장, 두 장, 그리고 한 장이네요 그러므로 4장의 1카드가 포함되어 있는 시리즈의 개수는 방금 계산한 수와 같다고 할 수 있습니다 실은 지금 남은 5장을 채울 수 있는 서로 다른 방법들을 보고 있는 것입니다 실은 지금 남은 5장을 채울 수 있는 서로 다른 방법들을 보고 있는 것입니다 여기 네 장의 1 카드들은 변함없습니다 나머지 카드들의 배열이 어떻게 되느냐에 따라 변하는 것입니다 그러므로 이는 그냥 여러 가지 수들의 조합입니다 왜냐하면 나머지 카드들이 어떤 식으로 조합되느냐에 따라 결과가 달라지기 때문입니다 이제 네 장의 1 카드가 시리즈 안에 모두 들어 있을 경우의 수가 이 수라는 것을 알고 있습니다 이를 전체 경우의 수로 나누기만 하면 됩니다 식은 일부러 곱하지 않았는데 이는 나눌 때 소거하기 위해서입니다 그럼 이제 해 보겠습니다 여기 이것을 저 식으로 나누어 보도록 하지요 복사해서 붙여넣어 보겠습니다 복사해서 붙여넣어 보겠습니다 여기 옮겨 놓은 식을 저 위에 있는 식으로 나누어 보겠습니다 분수로 나누는 것은 그 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다 분수로 나누는 것은 그 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다 그러니 위 식의 역수를 곱해 보도록 합시다 곱해 볼까요- 여기가 분모입니다 아랫부분은 역수이므로 분자가 됩니다 복사해서 붙여넣어 보겠습니다 역수를 취하므로 위에가 분모, 아래가 분자입니다 왜냐하면 이 식으로 나누기 때문입니다 이것을 저쪽에 옮겨 놓도록 하겠습니다 이것을 저쪽에 옮겨 놓도록 하겠습니다 모든 수들을 빠짐없이 선택하도록 하겠습니다 모든 수들을 빠짐없이 선택하도록 하겠습니다 복사해서 붙여넣을게요 선이 많아서 조금 복잡해 보이지만 그래도 구하려는 것을 구할 수 있을 것 같습니다 목적만 달성하면 괜찮습니다 이 식을 곱하는 것은 결국 위의 식으로 나누는 것과 같습니다 이는 쉽게 약분할 수 있습니다 아 제가 한 가지 빼먹었네요- 이게 9팩토리얼이어야 합니다 여기가 9x8x7x6x5x4x3x2x1이어야 합니다 여기가 9x8x7x6x5x4x3x2x1이어야 합니다 이를 양쪽에 놓아보겠습니다 그냥 둘 다 깨끗이 정리하겠습니다 그냥 둘 다 깨끗이 정리하겠습니다 여러분이 헷갈리지 않도록 할게요 정리가 되었군요 처음에 저 식을 썼을 때 헷갈렸다면 죄송합니다 9팩토리얼이 되어야 하지요 9x8x7x6x5x4x3x2x1 9x8x7x6x5x4x3x2x1 복사해서 옮기겠습니다 복사해서 옮기겠습니다 바로 여기에 옮기도록 하겠습니다 그럼 이 식이 분자가 되지요 분모에는 5x4x3x2x1이 있습니다 위와 아래가 서로 소거되겠죠 그 다음에 32x31x30x29x28이 있네요 또 소거됩니다 또 소거됩니다 소거되고 남은 식은 이 부분밖에 없습니다 다시 적어볼게요 남아 있는 식은 분모에 9x8x7x6과 남아 있는 식은 분모에 9x8x7x6과 분자에 36x35x34x33입니다 한 번 볼까요, 분자와 분모를 모두 9로 나눈다면 여기는 1, 여기는 4가 됩니다 분자와 분모를 다시 4로 나누면 여기는 2가 되네요 여기는 1입니다 분모와 분자를 7로 나누면 여기는 1이 되고 저기는 5가 됩니다 둘 다 2로 나누어 주면 여기는 1, 여기는 17이 됩니다 분모와 분자를 또 3으로 나누어 보면 분자에는 2가 남고 분모에는 11이 남습니다 36장의 서로 다른 카드에서 시리즈를 뽑았을 때 네 장의 1 카드를 모두 갖게 될 확률을 구했습니다 확률은 다음과 같습니다 분자는 2x1x1x1, 즉 2입니다 그러므로 확률은 5x17x11 분의 2와 같습니다 그러므로 확률은 5x17x11 분의 2와 같습니다 자 기대하십시오 이제 결과를 공개하겠습니다 5x17x11은 935와 같습니다 그러므로 이는 2/935와 같습니다 대략 1000번 중에서 2번, 또는 500번 중에서 1번이라고도 할 수 있죠- 그저 대략적인 수치입니다- 대충 500번 중에서 1번은 36장의 카드 중에서 아홉 장의 카드를 고를 때 네 장의 1 카드를 가질 수 있습니다