앞면이 두 번 나올 경우 (조합론)

공정한 동전을 4번 던지는 것으로 시작하겠습니다. 그리고 첫 번째 질문은, 하나의 앞면이 나올 정확한 확률은 얼마일까 하는 것입니다. 앞면을 Head라 해야 하는지 Heads라 해야 하는지는 동전 문제에서 가장 혼동스러운 것 중 하나죠 그리고 내가 이걸 일관되게 말해 오지 않았다는 것을 압니다. 만약 당신이 누군가에게 단수형으로 head라고 말해야한다고 느낀다면 이 말을 해주고 싶습니다. 제가 인터넷에서 찾아 조금 읽은 내용인데 동전에 대해서 이야기 할 때는 '앞면들 (heads)'라고 말해야 한다고 합니다. 저한테는 조금 어색한 일이지만 그렇게 해보도록 노력하겠습니다. 자 그럼 정확히 1개의 앞면이 나올 확률은 얼마일까요? 그리고 heads를 강조하기 위해 따옴표를 썼는데 우리는 저기 있는 1개의 앞면에 대해 이야기 하고 있습니다. 하지만 동전 이야기를 할 때는'앞면들(heads)' 라고 해야 하죠. 어쨌거나 제가 무슨 말 하는지 아시겠죠? 우리가 동전을 4번 던졌을 때 몇 가지의 다양한 결과들을 얻을 수 있는지 생각해 봅시다. 동전을 한 번 던지고, 또 한 번, 그리고 또 한 번, 그리고 또 한 번 던집니다. 총 네 번이죠. 첫 번째 시행에서 앞면이냐 뒷면이냐 2가지 가능성이 있죠. 2번째 시행에서도 앞면 또는 뒷면, 2가지 가능성이 있습니다. 3번째 시행에서도 앞면 또는 뒷면으로 2가지가 있습니다. 그리고 4번째 시행 역시 앞면과 뒷면, 2가지 가능성이 있습니다. 그러니까 2 x 2 x 2 x 2, 즉, 16가지 가능성이 있네요. 동전을 4번 던지면 16개의 가능한 결과들이 있습니다. 16개의 가능한 결과들입니다. 그리고 이들 중 각각은 1/16의 확률을 갖고 있죠. 그러니까 우리가 확률에 대해 말하고 싶다면, 1개의 앞면에 대해서 얘기하지 않겠습니다. 여기 3개의 앞면을 갖는 경우에 대해 말해 보죠. 이것은 연속된 사건입니다. 이건 첫 번째 시행, 두 번째, 세 번째, 네 번째, 각각 정확히 이 결과를 얻죠. 이건 전체 16개의 가능한 사건 중 정확히 하나예요. 잠시 치워두고, 그러면 생각해 봅시다. 전체 16개의 가능성 중 정확히 하나의 앞면을 얻는 경우는 몇 가지일지? 나열할 수도 있습니다. 그러니까 결과는 첫 번째 시행에서 앞면을 얻을 확률 더하기 두 번째 시행에서 앞면이 나올 확률 더하기 세 번째 시행에서 나올 확률입니다. 적어도 하나의 앞면이 아니라 정확히 하나의 앞면인 것을 기억하세요. 그러니까 세 번째 시행에서 얻을 확률과 그리고, 이에 더해 네번쨰 시행에서 앞면이 나올 확률입니다. 뒷면, 앞면, 그리고 뒷면 (역자 주: 네번째 항은 TTHT가 아닌 TTTH가 되어야 합니다) 그리고 우리는 이미 이들 각각의 확률이 어떻게 되는지 알고 있죠. 전부 16가지 가능한 사건들이 있습니다. 총 열여섯가지의 사건들이 있습니다 그러니까 이것들의 확률은 각각 1/16, 1/16, 1/16, 그리고 1/16입니다 그러니까 우리가 말하는 것은 정확히 1개의 앞면이 나오는 사건의 확률은 첫 번째 시행에서 앞면이 나오거나, 두 번째 시행에서 앞면이 나오거나, 세 번째 시행에서 앞면이 나오거나 혹은 네 번째 시행에서 앞면이 나올 확률과 같다는 것입니다. 그리고 이들은 상호 배타적인 사건들이므로 우리는 그들의 확률을 더할 수 있습니다. 이 두 시나리오는 같은 상황에 동시에 일어날 수가 없습니다. 이 시나리오들 중 하나만 일어날 수 있습니다. 그러니까 네가지 중 하나를 고르죠. 그러므로 우리는 1/16 더하기 1/16 더하기 1/16 더하기 즉, 1/16을 해서 4배를 하면 되네요. 그렇게 하면, 4/16, 즉 1/4을 얻습니다. 좋아요. 자 그럼 조금 더 흥미진진한 질문을 던져봅시다. 정확히 2개의 앞면들이 나올 확률은 어떻게 될까요? 이것을 생각하는 방법에는 여러가지가 있는데요. 그 중 한 가지는 전통적인 방법입니다. 그저, 알다시피, 가능성의 숫자를 세는 것이죠, 동등한 확률을 가진 가능성들의 숫자를요. 이것은 공정한 동전이기 때문에 사용할 수 있는 방법입니다. 그러면 전체 동등한 확률을 갖는 가능한 결과들 중에서 두 개의 앞면이 나오는 경우의 수는 몇개일까요? 우리는 전부 16가지 가능성이 있다는 것을 알고 있습니다. 이 중 몇 개나 두 개의 앞면을 갖고 있을까요? 미리 진도를 나간 덕분에 시간을 아낄 수 있었군요. 자, 제가 16가지 가능성을 모두 뽑았다면, 이 중 몇 개가 2개의 앞면을 갖고 있을까요? 어디 보도록 하죠.. 여기 이것은 2개의 앞면을 갖고 있고, 여기 이것도 2개.. 이것도 2개. 여기 이것도 2개의 앞면을 갖고 있습니다. 이것도 마찬가지로 2개의 앞면을 갖고 있고요. 그리고 이것도 똑같이 2개의 앞면을 갖고 있습니다. 다 끝난 것 같은데요. 세어보자면, 1, 2, 3, 4, 5, 6개 의 가능성이 딱 2개의 앞면을 갖고 있습니다. 2개의 앞면을 가진 경우가 6/16이죠 다시 말해 정확히 2개의 앞면을 얻을 확률은 3/8입니다. 이건 우리가 지금까지 해왔던 방식입니다. 이제 새로운 방법을 생각해 보겠습니다. 모든 가능성을 나열할 필요가 없는 방법을요. 이 방법은 매우 유용합니다. 지금은 우리가 동전을 4번만 던지지만, 만약 10번 던지게 되면, 모든 가능성을 이처럼 나열할 길이 없을 것이기 때문입니다. 그러므로 다르게 생각하도록 합시다. 그리고 다른 생각하는 방법은 물론, 우리가 딱 2개의 앞면을 갖고 있다는 것에 유의하는 것입니다. 우리가 4개의 동전던지기 칸을 갖고 있다고 상상해 봅시다 시행 1, 시행 2, 시행 3, 시행 4, 이것들이 칸들입니다. 각 시행의 결과들을 볼 수 있는데, 정확히 두개의 앞면들이 나올 것입니다. "나는 4칸 중 한 칸에 1개의 앞면을 갖고 있고, 나머지 하나는 다른 칸에 갖고 있어" 라고 말할 수 있습니다. 그러니 내가 만약 첫 번째 것을 뽑는다면, 알다시피, 앞면 1과 앞면 2를 갖고 있는 셈입니다. 혹시라도 이것들이 첫 번째 시행의 앞면과 두 번째 시행의 앞면을 의미한다고 오해하지 않기를 바랍니다. 그게 아니라 우리에게 2개의 앞면이 있다는 것입니다. 모든 시행 동안에 걸쳐 우리는 합쳐서 2개의 앞면이 필요합니다. 그리고 나는 그 중 하나에 이름을 붙이고, 다른 하나에도 이름을 붙일 것입니다 이제 우리에게 중요한 것은 2번 중복해서 세는 것을 원치 않는다는 것입니다. 우리는 다음 상황들을 중복해서 헤아리고 싶지 않습니다: 앞면 1, 앞면 2, 뒷면, 뒷면, 그리고 앞면 2, 앞면 1, 뒷면, 뒷면. 우리에게 있어서, 이것들은 똑같은 결과입니다. 그리므로 이것을 두 번 세는 것을 원치 않습니다. 우리는 이것을 한 번만 셀 거예요. 그러나 우리가 일반적으로 생각해 본다면, 첫번째 앞면이 나올 수 있는 시행의 경우의 수는 몇 가지일까요? 네, 4가지 가능성이 있죠. 그러므로 4개의 가능성, 4개의 시행, 아니면 4개의 장소가 가능합니다. 첫 번째 앞면은 4개의 장소 중 하나를 차지합니다. 예컨대 첫번째 앞면이 3번째 시행에 자리했다고 해봅시다. 그러면 두 번째 앞면이 차지할 수 있는 자리는 몇 가지일까요? 네, 만약 첫번째 앞면이 4칸 중 하나에 위치한다면 2번째 앞면은 3개의 칸 중 하나에 위치하겠죠 따라서 2번째 앞면은, 다른 멋진 색으로 써본다면, 단지 3개의 칸 중 하나에 놓일 수 밖에 없습니다. 보다시피 여기 이것들 중 하나요, 이 3개의 칸들 중 하나입니다. '첫번째'라고 말할 때, 처음으로 나온 앞면, 앞면 1 을 의미하는 것이 아닙니다. 대신 앞면 A와 앞면 B로 부르도록 할게요, 여러분이 이것들을 첫번째 시행과 두번째 시행에서 얻은 앞면들이라고 생각하지 않도록요. 그러니까 이건 앞면 A이고, 여기 이건 앞면 B입니다. 이 곳의 이 앞면들은 동일한데요 이 결과들은 서로 다르죠. 그러나, 우리가 지금 말하는 맥락에서 우리는 앞면 A를 4개의 자리에 놓을 수 있고, 앞면 B는 3개의 장소에 놓을 수 있는 것으로 보입니다. 그러니까 만약 이것들을 곱한다면, 모든 서로 다른 시나리오들을 얻겠죠. 여기 4개의 다른 장소가 있고 그 외에도 3개가 남아 있습니다. 그러니까 12개의 다른 시나리오들이 있네요. 그러나 오직 이것을 여기 이것과 다른 것으로 취급할 때 12가지입니다. 다시 써볼게요. 이건 앞면 A이고, 이건 앞면 B. 이건 앞면 B이고, 이건 앞면 A죠. 오직 당신이 이 두 가지를 근본적으로 다르다고 취급할 때에만, 12가지 서로 다른 시나리오들이 있을 것입니다. 하지만 실제로는 그렇지 않죠. 우리는 중복해서 센 것뿐입니다. 왜냐하면 우리가 이 2개의 앞면을 교환해도 똑같은 결과를 얻기 때문이죠. 그러니까 주어진 값을 2로 나눠야 합니다. 그러니까 2개의 서로 다른 물건을 재배열할 수 있는 모든 방법의 숫자로 나눠줘야 하죠. 만약 3개의 앞면에 대해 생각하고 있었다면, 3개의 물건을 재배열하는 모든 경우의 수에 대해 생각해줘야 할 것입니다. 만약 우리가 4개의 앞면을 배열하고 있다면, 서로 다른 4개를 재배열하는 방법의 수를 생각해야 하고요. 그러니까 만약 2개를 서로 바꿀 수 없다면, 12가지 서로 다른 시나리오들이 있을 텐데, 실제로는 2가지 물건을 재배열할 수 있는 모든 방법의 수로 나눠줘야 합니다. 12 나누기 2는 6이니까, 6가지 근본적으로 다른 결과들이 있네요, 우리가 앞면들의 위치를 서로 바꿀 수 있다는 것까지 고려했을 때입니다. 만약 앞면 A와 앞면 B가 교환 가능하다고 가정한다면, 그건 완전히 동일한 결과입니다. 왜냐하면 실제로 그들에겐 이름이 없고 그냥 앞면일 뿐이니까요. 모두 같죠. 그러니까 6가지 서로 다른 시나리오들이 있고, 우리는 전체 16가지 가능한 시나리오들이 있다는 것을 압니다. 그러므로 정확히 2개의 앞면이 나올 확률은 6번, 6개의 시나리오에 해당하고, 우리는 여러 가지 방법으로 이를 계산할 수 있습니다. 가능한 16가지 중 2개의 앞면을 주는 시나리오는 6가지입니다. 아니면 6개의 시나리오가 가능하고 각각의 시나리오의 확률은 1/16이라고 결정할 수도 있습니다. 하지만 어느 쪽이든 간에 동일한 확률을 답으로 얻게 됩니다.