상삼각행렬식

자 여기 행렬이 하나 있습니다 2x2 행렬이라고 정의할게요 이 행렬은 a, b, 0, d를 가집니다 c 대신에 0을 두었죠 그래서 주대각선 아래에는 0만 존재합니다 그러면 행렬식은 어떻게될까요? 우선 이 행렬을 A라고 합시다 행렬식은 ad 빼기 b 곱하기 0이 됩니다 그냥 0을 빼주면 되죠 그러면 ad만 남습니다 이제 B라는 다른 행렬이 있습니다 이번에는 3x3 행렬로 정의해볼게요 이 행렬에는 a, b, c 그리고 이제 0이 옵니다 그리고 d, e가 오고 0이 옵니다 0이 하나 더 온 다음 f가 옵니다 이번에도 주대각선 아래는 모두 0이 왔습니다 B의 행렬식은 어떻게 될까요? 지난 몇개의 영상에서 배웠듯이 우선 0이 가장 많은 열을 고릅니다 그러면 계산이 훨씬 편해지죠 가운데 열을 중심으로 행렬식을 구해보겠습니다 B의 행렬식은 a 곱하기 부분행렬이 됩니다 a가 속한 열과 행을 제외하면 부분행렬이 됩니다 그리고 부분행렬 d, e, 0, f의 행렬식을 곱해준 후 0과 부분행렬의 곱 그러면 사라지겠죠 이 때의 부분행렬은 b, c, 0, f입니다 그 후 0 곱하기 부분행렬 b, c, d, e를 더해주세요 아시겠지만 이 항 역시 사라집니다 사실 계수가 0인 항의 부분행렬은 찾지 않으셔도 됩니다 이 두 항 모두 0이 되니까요 그러니 0을 곱하므로 부분행렬은 의미가 없어집니다 그러면 이제 a와 부분행렬 하나가 남죠 이 부분행렬의 행렬식은 구하기 쉽습니다 이 행렬식은 df 빼기 0 곱하기 e 즉, df가 됩니다 그러므로 B의 행렬식은 adf가 됩니다 위에서 보셨듯이 A의 행렬식은 ad였습니다 그러면 이제 패턴이 보일것입니다 이 두 행렬 모두 주대각선 아래 0만 가지고 있습니다 자 여기 이것이 주대각선이죠 그리고 이 행렬의 행렬식은 이 주대각선 위의 원소들의 곱이였습니다 어떤 일반화된 추세가 존재하는 것이죠 이제 우리는 일반식을 구할 수 있습니다 일반식을 구해봅시다 여기 행렬식 a가 있습니다 a11, a22가 여기 존재하죠 그리고 주대각선 아래는 모두 0이 옵니다 주대각선에는 ann까지 존재합니다 이 행에서는, 모든 원소가 0입니다 마지막 열만 제외하고요 모두 0이 오죠 주대각선 아래는 모두 0이 옵니다 지금은 n x n 행렬에 대해 다루고 있죠 그리고 주대각선 위의 원소는 0이 아니여도 됩니다 그러니 a12, 부터 a1n으로 표현합니다 그리고 a2n이 여기 오죠 쭉 적어줍니다 주대각선 위의 원소들은 0이 아닌 a로 표현이 됩니다 이제 A의 행렬식을 구하려면 위의 방법과 같이 구해주면 됩니다 첫번째 열을 중심으로 구해볼게요 A의 행렬식은 a11 곱하기 부분행렬의 행렬식 이때 부분행렬은 a22부터 a2n까지 주대각선에는 a33부터 ann까지 오겠죠 그리고 주대각선 아래는 모두 0이 됩니다 다시한번 얘기하자면 지금은 주대각선 아래의 모든 원소가 0일 때를 다루고 있습니다 그러면 이 부분행렬의 행렬식은 어떻게되나요? 자 그리고 나머지 행에 대해서는 어떻게 되나요? 나머지 행들은 모두 계수로 0을 가질 것입니다 0에 어떤 부분행렬의 행렬식이 곱해지고 그것은 더하기 빼기 패턴을 가지게되죠 하지만 모두 0을 계수로 가지기때문에 가장 첫번째 항만 신경쓰면 됩니다 위와 같은 방식을 취해서 구해봅시다 이 부분행렬의 행렬식을 찾으려면 이 행을 쭉 내려가서 앞에 a11을 적어주고 부분행렬의 행렬식 a22 곱하기 이때의 또다른 부분행렬을 곱해줍니다 이때의 부분행렬의 대각선에는 a33 부터 ann까지 오겠죠 그리고 대각선 위는 모두 0이 아닌 a가 오죠 대각선 아래는 앞서 마찬가지로 모두 0이 됩니다 대각선 아래에는 0만 존재하죠 이러한 모양의 행렬을 상삼각행렬이라고도 부릅니다 적어둘게요 이번 영상에서는 계속 이러한 상삼각행렬들을 다룹니다 이런식으로요 이제 이 과정을 계속 반복합니다 이러한 패턴을 계속 적용하다보면 이 행렬의 행렬식은 a33 곱하기 이것의 부분행렬이 됩니다 계속 부분행렬은 점점 작아지게되죠 그러면 마지막에는 a11 곱하기 a22 곱하기 a(n-2)(n-2) 곱하기 2x2 행렬까지 곱해지겠죠 이때 부분행렬은 a(n-1)(n-1), ann a(n-1)n 그리고 0이 오게 됩니다 원래 행렬의 가장 오른쪽 아래부분이 마지막 부분행렬로 남게되는 것이지요 이때의 부분행렬의 행렬식은 무엇일까요? 대각선 위의 두 원소의 곱이겠지요 그러면 우리는 또다시 곱으로 나타낼 수 있습니다 그러면 행렬식은 a11 곱하기 a22 곱하기 ann까지의 곱 즉, 주대각선 위의 원소들의 곱으로 나타낼 수 있습니다 이 계산은 정말 중요합니다 왜냐하면 행렬식을 간단하게 구할 수 있기 때문이죠 이 방법을 몰랐다면 아마 행렬식을 구하는데 정말 복잡했을것입니다 100 x 100 행렬식이라고 생각해보세요 이러한경우 그저 주대각선위의 원소들만 곱해주면 쉽게 행렬식을 구할 수 있죠 예를 들어볼게요 행렬의 첫 행에 7, 3, 4, 2 그리고 0 다음으로 -2, 1, 3, 6, 7, 7 그리고 0이 두개 있습니다 이런식으로요 이제 행렬식을 구하려면 여기 주대각선 위의 7, -2, 1, 3을 곱해주면 됩니다 7 곱하기 -6은 -42 정말 쉽죠