복제된 행의 행렬식

자 여기 행렬A가 있습니다 n x n 행렬이죠 우선 a₁₁, a₁₂ 부터 a₁n까지 존재합니다 그리고 쭉 내려가면 a₂₁부터 a₂n까지 존재하죠 여기 특정한 행 i번째 행이 있습니다 ai₁부터 ain까지 존재하죠 그리고 다른 행, j번째 행이 있습니다 aj₁부터 ajn까지 존재하죠 그리고 쭉 내려가서 마지막 행에는 an₁, an₂부터 ann까지 존재합니다 n x n 행렬을 나타냈습니다 i번째 행과 j 번째 행이 각각 존재합니다 조금 더 간단히 표현하자면 표기를 조금 더 편하게 하기 위해서죠 행 벡터들로 이루어졌다고 생각하시면 됩니다 ri를 정해볼게요 i번째 행은, ai₁, ai₂부터 ain까지로 이루어졌습니다 i번째 행을 벡터처럼 나타낼 수 있겠죠 행 벡터라고 생각하시면 됩니다 아직 행 벡터에 대한 연산을 제대로 정의하지는 않았지만 어떤 느낌인지는 아실 겁니다 첫번째 행을 r₁으로 바꾸고 두번째 행을 r₂로 바꿉니다 쭉 같은 방법으로 바꿔볼 수 있죠 이런식으로 추후 영상에서도 행벡터들로 바꿀 것입니다 이런식으로 하면 훨씬 이해가 쉬워집니다 그래서 이 n x n 행렬 A를 다시 적을게요 ri를 정의한 것처럼 다시 적어봅니다 실제로 이제 하나의 벡터처럼 보이죠 행 벡터들로 이루어진 것입니다 벡터처럼 적어보겠습니다 첫 번째로 r1, 그리고 r2 쭉 적어줍니다 그러면 i번째 행에 ri가 존재합니다 쭉 내려가다보면 j번째 행에 rj도 존재하죠 그리고 n번째 행까지 적어줍니다 모든 r들은 n개의 요소를 가집니다 그리고 n개의 열이 존재하죠 이것이 바로 n x n행렬을 나타내는 하나의 방법입니다 이제부터는 다른 행렬을 정의해볼게요 i와 j의 위치를 바꾼 행렬 S가 있습니다 이제 i와 j행을 바꿀것입니다 그러면 행렬은 어떻게 표현될까요? 나머지는 모두 같습니다 첫 번째 행이 있습니다 i나 j가 1이 아니라는 가정 하에 말이죠 사실 i나 j가 1일 수도 있습니다 그리고 두번째 행이 있죠 쭉 내려가면 i가 아닌 j행이 먼저 존재합니다 그리고 나서 i행이 존재하죠 그리고 쭉 내려가면 마찬가지로 rn 있습니다 그래서 무엇이 달라졌나요? 단지 i와 j가 바뀌었을 뿐입니다 이것이 바로 교환행렬입니다 지난 몇몇 영상에서 우리는 이미 이렇게 nxn행렬의 두 행을 바꿔주었을 때 행렬식은 원래의 행렬식의 음수꼴이라는 것을 배운적이 있습니다 그러면 i와 j가 바뀐 S의 행렬식은 원래의 행렬 A의 행렬식에 음수를 붙여주면 되겠죠 그러면 질문을 하나 드리겠습니다 만약 이 두 행이 완전히 같다면 어떻게 될까요? 만약 ri가 rj와 같다면요? 다시 돌아가서 만약 이 두 행이 같을 경우 말입니다 여기 이 두 행이 서로 완전히 같은 경우를 말합니다 그리고 나머지 행들도 모두 같을 때죠 이런 경우는 이 두행렬이 완전히 같다고 생각할 수 있습니다 여기 두 행이 완전히 같다면 두 행렬이 완전히 같다는 말이니까요 우리가 완전히 같은 행을 바꾸는 것이죠 결과는 여전히 같은 행렬일 것입니다 결국 i와 j번째 행이 같다면 그 두 행을 바꾼 행렬 S는 행렬 A와 완전히 같은 행렬입니다 같은 행을 바꿨으니 같은 결과가 나오겠죠 그러면 이것은 바꿨을 때의 행렬식 또한 같다는 것을 의미합니다 하지만 앞서 말했듯이 교환행렬의 행렬식은 원래의 행렬식의 음수와 같다고 합니다 그러니 S의 행렬식 또한 A의 행렬식의 음수꼴과 같아야하죠 그러면 이것이 무엇을 의미하나요? 이것은 이 두 행이 같을 때 그리고 이 두 행을 바꿨을 때 행렬식이 원래의 행렬식의 음수가 되어야 하는데 원래의 행렬과 같게 되기 때문에 i와 j 행을 바꿔도 행렬식은 원래의 행렬식의 음수꼴과 같아야 한다는 것입니다 하지만 교환행렬은 원래의 행렬 A와 같고 그래서 행렬식 또한 같아야 하지만 교환행렬의 행렬식은 원래 행렬식의 음수꼴이 되어야 합니다 원래 행렬식과 같으면서도 음수꼴과 같으려면 어떻게 해야 할까요? x가 -x와 같다고 두면 x는 어떤 값이 와야 하나요? 오직 하나의 숫자만 x값에 대응할 수 있습니다 바로 0이죠 그러면 다시 돌아가서 같은 행들이 존재한다고 합시다 세 개 또는 네 개의 행이 같습니다 그러면 우리는 이 행렬의 행렬식이 0이 된다고 바로 결과지을 수 있습니다 그리고 이것은 놀랍지 않은 사실이죠 왜냐하면 이전에 이미 배운적이 있습니다 역수가 존재하는 가역행렬은 오직 기약행사다리꼴이 단위행렬일때만 존재한다고 이미 배운 적이 있습니다 만약 같은 행이 존재한다면 이 두 행이 같다고 생각해 봅시다 그리고 행연산을 한다고 하면 이 두 행을 빼주었을 때 0만 남겠죠 0만으로 이루어진 행이 있다면 절대 단위행렬을 만들 수 없습니다 그러므로 같은 행이 존재한다면 절대 단위행렬을 만들 수 없다는 것이죠 또는, 역행렬이 절대 존재하지 않다고 할 수도 있습니다 그리고 행렬식이 0이 되면 절대 역행렬이 존재할 수 없다고 배운적도 있습니다 즉, 우리는 두가지 방법으로 같은 결론을 내릴 수 있죠 우리가 방금 배웠던 방법 두 행을 바꾸는 방법으로 행렬식이 서로 음수꼴이 되어야 하면서도 행렬식이 같아야 하기 때문에 같은 행이 존재한다면, 행렬식이 0이 되어야 한다는 것입니다 하지만 굳이 이렇게 교환행렬을 찾지 않고도 예전에 배웠던 역행렬의 존재 여부를 통해 같은 결과를 얻을 수 있었죠 하지만 이 영상을 통해서 같은 행이 존재한다면 또는 같은 열이 존재할 때도 적용 가능하겠죠 같은 열일때도 생각해보시길 바랍니다 만약 같은 행이나 열이 존재한다면 또는 선형결합된 행들이 존재한다면 선형결합의 경우도 직접 생각해보세요 이런 경우, 행렬식은 모두 0이 됩니다