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주요 내용
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스케일 변환인자로써의 행렬식

동영상 대본

2차원 R2 위에 좌표를 그려보겠습니다 깔끔하게 그려볼게요 여기 세로축이 있고 여기 가로축이 있습니다 그리고 R2위에 네 개의 위치벡터를 점으로 표현해볼게요 자 여기 R2가 있습니다 첫번째 위치벡터는 영벡터입니다 0, 0 위에 점을 찍어볼게요 그리고 두번째 점은 k1, 0 입니다 어떤 상수와 0으로 이루어진 좌표입니다 조금 크게 다시 써볼게요 여기 두번째 위치벡터 k1, 0이 있습니다 그리고 여기 세번째 점이 있습니다 보시면 아시겠지만 직사각형 모양이 만들어졌습니다 이 점 또한 위치벡터를 난타냅니다 이런식으로 위치벡터를 표현해볼게요 그리고 이 위치벡터는 k1, 가로 성분이 k1이고 세로성분 k2를 가집니다 그래프 위에 그리면 k2가 여기에 있겠죠 그리고 마지막 점은 여기에 있습니다 0, k2 위치벡터로 표현되죠 이제 집합을 하나 정의해보겠습니다 이 집합을 직사각형을 의미하는 R로 나타낼게요 Rec이라고 부르겠습니다 이 직사각형은 Rec 집합 안의 위치벡터로 이루어진 모든 점들을 연결하면 나옵니다 이 점들을 모두 이으면 직사각형이 만들어진다는 것이죠 그러면 이 벡터를 a, 이 벡터를 b 이 벡터를 c 와 d로 각각 정의합시다 그리고 직사각형은 a, b, c, d를 이어서 만들어지겠죠 그러면 집합 Rec이 어떻게 나타내지는지 그려보겠습니다 여기 이 모든 점들을 각각의 점들을 꼭짓점으로 갖는 이러한 직사각형이 됩니다 그러면 이 직사각형의 넓이는 어떻게되나요? 여기 이 부분이 직사각형의 넓이입니다 넓이는 어떻게 구하나요? 밑변과 높이를 구하면 되겠죠 밑변의 길이는 k1입니다 원점에서의 거리가 k1이니까요 높이는 어떻게 될까요? 높이 또한 이 사이의 거리입니다, k2로 나타낼 수 있죠 그러면 넓이는 k1 곱하기 k2가 됩니다 매우 간단하죠 아직은 흥미롭기에 이릅니다 이제 이 집합을 조금 변환시켜봅시다 이 직사각형을 T 변환을 이용해 변환시켜볼게요 여기 변환 T가 있습니다 R2에서 R2로 변환시키죠 이 변환 T를 벡터 x에 적용하면 행렬 a, b, c, d 곱하기 벡터 x와 같습니다 이 변환이 각각의 점에 어떻게 적용되는지 살펴봅시다 이미 지난 영상에서 우리가 이 변환을 통한 직사각형의 상, 즉, 각각의 점을 변환하고 변환된 점을 이었을 때의 상이 R2 위에 있다고 배웠습니다 그러므로 우리는 각각의 위치벡터를 변환시켜주어야합니다 그러면 변환값은 어떻게 될까요? 영벡터를 변환시키면 어떻게되나요? 영벡터를 변환하면 a 곱하기 0 더하기 b 곱하기 0이 되므로 그냥 0이 됩니다 두번째 항도 역시 c곱하기 0 어하기 0 곱하기 d, 마찬가지로 0이 됩니다 이것이 벡터 a의 변환값입니다 벡터 b를 봅시다 b 를 변환해주면 a 곱하기 k1 변환값의 첫번째 원소는 a 곱하기 k1 더하기 b 곱하기 0, 즉 ak1이 됩니다 두번째 원소는 c 곱하기 k1 더하기 d 곱하ㅣ 0 즉 ck1이 됩니다 변환하는 방법은 그저 이 두 행렬을 곱해주면 됩니다 그리고 벡터 c를 봅시다 k1, k2를 갖고있는 벡터 c를 변환해주면 어떤 값이 나오나요? 첫번째 원소는 a 곱하기 k1 더하기 b 곱하기 k2 두번째 원소는 c 곱하기 k1 더하기 d 곱하기 k2가 됩니다 이제 하나 남았네요 마지막 벡터 0, k2를 변환해주면 a 곱하기 0 더하기 b 곱하기 k2, bk2가 되고 c 곱하기 0 더하기 d 곱하기 k2, dk2가 됩니다 그러면 이제 이 직사각형의 변환을 그래프 위에 나타내봅시다 다시 축을 그려볼게요 여기에 세로축 그리고 가로축이 옵니다 a는 그대로 영벡터를 그려줍니다 영벡터의 변환 또한 영벡터입니다 그러면 벡터 b는 어떻게 그릴까요? b를 변환하니 ak1, ck1이 되었습니다 그러면 이렇게 그려볼게요 벡터b의 변환을 이런식으로 나타내주었습니다 k1, 0의 변환이 ak1, ck1이 되었죠 이미 계산해주었습니다 그러면 이 노란 벡터는 어떻게 변환되었나요? 우선 파란색 벡터부터 그려볼게요 여기에 ak1이 옵니다 그리고 왼쪽으로 가면 ck1이 있습니다 이렇게 거려주는 것이지요 마지막으로 여기 파란색 벡터를 그리면 이런식으로 나타낼 수 있습니다 이것이 바로 0, k2 벡터의 변환입니다 변환값은 bk2, dk2이죠 여기 이 점이 바로 bk2이고 여기 이 좌표가 dk2입니다 그러면 마지막으로 노란색 벡터를 그려보겠습니다 이 벡터를 변환시키면 ak1+bk2가 되죠 그러면 여기 x축에 옵니다 그리고 y축에는 ck1+dk2가 오죠 ck1에서 dk2만큼 더해줍니다 그러면 여기쯤 되겠죠 이 두 거리를 더한만큼의 위치에 y좌표가 옵니다 그러면 이쯤 위치벡터가 오겠죠 이런식으로 표현이 됩니다 이게 바로 k1, k2의 변환이죠 그리고 모든 점을 이어주면 우리가 이 직사각형을 변환시킨 것과 같죠 이 직사각형을 변환시켰다고 생각합시다 이 직사각형을 정의하는 각 점을 이어줍니다 다시 이렇게 그려볼게요 이 선은 이 두 점을 잇습니다 그리고 이 두 점을 잇는 선으로 변환되죠 이 선은 여기 이 두 점을 잇는 선 또한 이 두 점을 잇는 선으로 변환됩니다 여기 있는 선 또한 여기의 두 점을 잇는 선으로 변환되고 마지막으로 나머지 두 점을 잇는 선 또한 여기의 두 점을 있는 선으로 변환됩니다 그러면 호기심이 생기죠 그러면 여기 이 직사각형의 상이 있습니다 이것을 직사각형의 T, 변환 직사각형이라고 적을 수 있죠 조금 더 자세히 표현하자면, T 변환을 거친 직사각형의 상과 같다고 할 수 있습니다 그러면 이 변환된 직사각형 상의 넓이는 어떻게될까요? 여기 이 부분의 넓이는 무엇인가요? 이 평행사변형 모양을 이 두 벡터로 이루어진 평행사변형이라고 할 수 있습니다 다르게 표현하자면 만약 행렬이 있다면, 열 벡터가 이 두 벡터인 행렬, 즉 첫번째 열벡터는 ak1, ck1 k1, 0 의 변환벡터죠 그리고 두번째 열벡터는 여기 이 벡터 bk2, dk2가 됩니다 여기 이 평행사변형은 이 두 열 벡터로 만들어졌죠 이것이 바로 변환이였습니다 여기 이 벡터는 0, k2의 변환값이 맞죠? 그리고 지난 영상에서, 이런 평행사변형의 넓이는 평행사변형의 넓이, 즉 직사각형의 변환된 상의 넓이는 절대값 행렬식이 됩니다 이 행렬을 I라고 부를게요 그러면 이 행렬의 행렬식의 절대값이 사다리꼴의 넓이가 됩니다 I의 행렬식의 절대값을 찾아야하죠 지난 영상에서 보았습니다 이 값이 넓이와 같다는 것을요 그러면 행렬식이 어떻게되나요? 절대값 기호를 잊지 마세요 행렬식은 이렇게 적을 수 있습니다 k1, k2, ad 그리고 이 두 값의 합을 빼주어야 하죠 빼기 k1, k2 bc 2x2 행렬의 행렬식을 어떻게 구하는지는 이미 지난 영상에서 배웠습니다 새로운 사실은 아니죠 여기 이 평행사변형은 여기 두개의 벡터로 이루어졌습니다 그리고 이 두개의 벡터가 여기 이 행렬의 열벡터라면 우리는 이 사다리꼴의 넓이가 이 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다는것을 알고 있습니다 그러면 결과값이어떻게 되나요? 인수분해를 해주면 k1 k2 곱하기 ad-bc가 됩니다 자 그러면 이게 무엇을 의미하나요? ad-bc는 변환벡터의 행렬값입니다 그라면 x의 T변환 이것을 행렬 A라고 부르면 k1, k2 곱하기 A의 행렬식이 되는 것입니다 매우 흥미로운 사실이죠 이것이 의미하는 바는 여기서와 같이 직사각형이 있다면 또는 어떤 다른 영역이 있고 이 영역을 변환해주면 그리고 변환값으로 다른 영역이 나오면 여기같은 경우, 넓이A가 있다면 이게 바로 원래의 넓이죠 그리고 변환을 적용하면 행렬 A 곱하기 영역안의 어떤 점이 됩니다 변환을 하면 새로운 영역이 나오죠 그리고 이 변환의 상을 구합니다 그러면 이 새로운 넓이는 변환행렬의 행렬식의 절댓값이 됩니다 여기 이것이 바로 변환행렬의 행렬식이죠 그러면 이 변환행렬의 행렬식 곱하기 원래 직사각형의 넓이가 됩니다 맞죠? 이것이 바로 원래 직사각형입니다 절댓값을 취해주면, 왜냐하면 벡터를 바꿔서 부호를 바꿔줘야할 수도 있으니까요 하지만 조금 헷갈리죠 변환행렬의 행렬식은 이 특정한 영역의 계수인자가 됩니다 제가 이제 증명해보겠습니다 어떤식일지는 상상이 가시겠지만요 조금 추상적으로 증명해볼게요 여기 R2가 있습니다 식별가능한 모양을 하나 그려볼게요 타원이 하나 있습니다 이것이 우리의 정의역입니다 R2위에 있죠 여기 이 넓이는 이 영역의 넓이를 A라고 합시다 그리고 R2에서 R2로 변환시키는 T가 있습니다 변환값은 행렬 B 곱하기 정의역 안의 어떤 벡터가 됩니다 T 변환을 시킨 후 상은 이 정의역 안에 있습니다 공역을 그려볼게요 B의 상은 이렇게 나타낼 수 있습니다 어떻게 나타날지 정확하지 않지만 이런식으로 그려볼게요 이 집합을 E라고 부릅시다 E는 이 전체를 나타냅니다 여기에 이것이 원래의 타원이죠 새로운 타원은 원래 타원의 변환된 상을 나타냅니다 이 타원위의 모든 점을 변환해 새로운 타원을 만들었죠 또는 다르게 표현할수도 있습니다 예를들어 이 타원이 경계선만으로 이루어진 집합입니다 그러면 이 경계선은 변환을 통해 새로운 타원의 경계선이 됩니다 이 타원이 채워져있다고 해도 똑같이 변환이 되겠죠 비록 정확하게 증명해드리지는 않았지만 직관적으로 받아들이세요 그래서 여기 이 경계선이 변환 이후의 상을 나타냅니다 만약 이 경계선 안의 넓이, 즉, 영역 A라고도 할 수 있죠 그리고 이 새로운 타원의 넓이가 원래의 넓이 곱하기 변환행렬의 행렬식이라고 할 수 있겠죠 만약 이해하시기 힘드시다면 아까 직사각형을 예로 들었던것처럼 이 모양에서 변환 T를 통해 이 모양이 된다고 생각해보세요 화살표를 그리는 것도 좋은 방법입니다 그럼에도 직사각형에서 이러한 곡선꼴의 형태에 바로 적용하기 힘드시다면 여러개의 무작위 직사각형으로 이루어진 모양을 상상해보세요 무작위 직사각형으로 채워진 그리고 그 직사각형들이 매우 작다면 이 타원을 채운다고 상상할 수 있겠죠 이 타원을 그런 직사각형들로 완전히 채우세요 그리고 그 직사각형들을 T변환시키면 각각의 직사각형들이 이런 타원으로 변환될 것입니다 이렇게 보이겠죠 실제로 어떻게 나타나는지는 모릅니다 아마 무수히 많은 평행사변형으로 변환이 될 수도 있겠죠 제가 정확히 그리려고 하는 것은 아닙니다 무수히 많은 평행사변형으로 변할지라도 이 공간을 모두 채우겠죠 이렇게 무수히 많은 무작위의 직사각형으로 어떤 특정한 모양이나 영역을 채운다고 생각하시면 됩니다 이것은 매우 단순하게 생각하는 방법이죠 행렬식을 나타내는 흥미로운 방법입니다 변환행렬의 행렬식은 원래의 넓이의 계수인자입니다 변환에 의해 하나의 영역에서 다른영역으로 바뀌었을 때의 넓이를 나타냅니다