행렬식과 평행사변형의 영역

여기 2x2 행렬이 있습니다 원소로 a, b, c, d를 가집니다 두 개의 열벡터로 이루어져있죠 첫번째 열벡터를 v1 두번째 열벡터를 v2로 부를게요 그러면 다시 이렇게 적을 수 있습니다 v1은 a, c 벡터이고 v2는 b, d 벡터입니다 이 두 벡터 모두 R2안의 벡터입니다 그러면 이 두 벡터를 그래프로 그릴 수 있죠 우선 축을 그리겠습니다 여기 세로축이 있습니다 그리고 가로축이 있죠 v1은 이렇게 나타내볼게요 v1이 이런식으로 표현됩니다 이것이 v1이죠 가로좌표는 a, 세로 좌표는 c입니다 위치벡터라고 할수도 있겠죠 그리고 v2는 이렇게 나타낼 수 있습니다 이 두 벡터는 서로 다르죠 v2는 이렇게 표현됩니다 v2의 가로좌표는 b, 세로좌표는 d입니다 이번 영상에서는 이 두 벡터로 이루어진 평행사변형을 다룰 예정입니다 이 두 벡터가 어떤 평행사변형의 점을 이루는 위치벡터라고 생각해봅시다 원점 또한 이 평행사변형을 이루는 한 점이 됩니다 그러면 마지막 한 점은 어떻게 구하나요? 이미 평행사변형의 마주보는 두 변을 알고 있습니다 나머지 두 변도 평해해야하죠 한 변은 이렇게 v1과 평행하고 다른 한 변은 v2와 평행하여 평행사변형을 이룹니다 v2, v1으로 이루어진 평행사변형이죠 그러면 이제 이 평행사변형의 넓이를 구해봅시다 어떻게 구할 수 있을까요? 일반적으로, 평행사변형은 약간 기울어진 평행사변형이죠 평행사변형 하나를 따로 그려볼게요 이 넓이는 밑변과 높이의 곱입니다 밑변을 b로 두겠습니다 그러면 이 평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 합이죠 그러면 여기서 밑변과 높이는 무엇인가요? 적어보겠습니다 이 평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱입니다 그러면 여기서 밑변은 무엇인가요? 벡터 v의 길이가 밑변이 됩니다 여기 밑변이 있습니다 벡터 v1의 길이가 되죠 여기 오렌지 색으로 나타낸 부분입니다 그러면 높이는 어떻게 될까요? 여기 수선을 하나 그려줍니다 이 선이 바로 높이가 되죠 이 평행사변형의 밑변은 v1임으로 길이를 구하기 쉽습니다 그러면 높이는 어떻게 구할까요? 여기 이 높이를 구하려면 피타고라스 정의를 이용할 수 있겠죠 왜냐하면 이 벡터의 제곱 더하기 높이의 제곱이 v2 길이의 제곱과 같게 되니까요 그러면 해봅시다 여기 이 초록색 부분은 무엇인가요? 선분 I 라고 부릅시다 I는 v1으로 생성한 선분입니다 이 말은, v1의 무든 배수가 될 수 있다는 것이죠 그리고 모든 점들이 선분 I를 이룹니다 v1의 배수들로 이 선분의 모든 점들이 이루어진다는 것입니다 자 이제 이 선분 I에 대하여 정의했습니다 잘 보이실지는 모르겠네요 자 여기 초록색 선이 무엇이죠? 이 초록색 선이 I의 무엇의 정사영인가요? 여기 수직선이 존재합니다 여기서 빛이 비춰진다고 상상했을때 이 정사영은 v2의 그림자가 이 선분에 나타난 모습이라고 할 수 있습니다 그러니 v2의 정사영, 벡터 v2가 선분 I에 초록색 선과 같이 정사영한다는 것이죠 그리고 높이 H를 찾기 위해서는 피타고라스 정리를 쓴다고 했습니다 이 높이 H의 제곱이 H 자체를 길이로 생각하세요 벡터라고 정의하지 않았습니다 그러면 H 제곱 더하기 이 벡터의 길이 제곱이 즉, I 위에 있는 v2의 정사영의 길이가 되죠 이 정사영의 길이 제곱이 와야합니다 피타고라스 정리에 의하면 이 제곱들의 합이 v2 길이의 제곱이 됩니다 이것이 피타고라스 정의이지요 어려운 개념은 아닙니다 그러면 어떻게 간소화할까요? 우선 H를 다르게 바꿔봅시다 H 제곱으로 두면 더욱 간단해지죠 H의 제곱은 v2길이의 제곱 빼기 정사영 길이의 제곱입니다 이 정사영 길이 제곱을 빼줘야 하죠 기억하세요, 우리는 그저 피타고라스 정리를 사용하고 있습니다 자 그러면 어떻게 이해하기 쉽게 바뀌는지 봅시다 이 벡터 길이의 제곱은, 다시 적어보면 v2와 v2의 내적이 됩니다 그리고 이 내적값은 길이의 제곱이 되죠 굉장히 많은 영상에서 다룬적이 있습니다 그리고 그럼 이 항은 어떻게 될까요? 이 정사영은 선분 I 위 v2의 정사영은 v2 와 생성벡터 v1의 내적이 됩니다 결국 v2와 v1의 내적 나누기 생성벡터와 자기자신의 곱, v1과 v1의 내적이 되죠 정사영을 다룬 지난 몇개의 영상에서 이미 배웠던 내용입니다 그리고 이것은 단순히 숫자가 되죠 그리고 이것은 생성벡터 자기자신과의 곱이 됩니다 v1과의 곱을 뜻하죠 그것이 바로 정사영입니다 그 정사영의 길이 제곱을 빼주게 되겠죠 정사영 길이 제곱의 값은 얼마인가요? 그것은 이것을 스스로 내적해주면 됩니다 이렇게 천천히 계산해봅시다 자 이제 빼주어야하죠 정사영은 조금 복잡하겠지만 v2와 v1의 내적 나누기 v1과 v1의 곱이 됩니다 결국 하나의 숫자가 되죠 그리고 그 길이를 제곱해줄 것입니다 그리고 이 전체가 H의 제곱이 됩니다 다시말하지만 이것이 피타고라스 정의에 의한 것이죠 이것 또는 이것의 제곱이, 곧 높이의 제곱 빗변의 제곱에서 한 변의 제곱을 빼서 다른 한 변의 제곱이 되는 것입니다 조금 헷갈리시겠지만 단순히 정사영에 대한 것이였습니다 더 간소화할 수 있는지 봅시다 이제는 대수학을 사용해야겠습니다 사실 대수학이 아닌 선형대수학을 사용해보겠습니다 이것이 무엇인가요? 이것은 자기 자신과의 내적값입니다 그러므로 이 길이의 제곱은 이 벡터 스스로의 내적값과 같죠 그러므로 만약 이 길이의 제곱을 구한다면 이 벡터가 자기자신과 내적한 값을 찾아주시면 됩니다 다시 적어볼게요 H 제곱이 v2와 v2의 내적값 빼기 이 벡터와 스스로의 내적값인 것이죠 그러므로 빼기 v2 와 v1의 내적 나누기 v1과 v1의 내적을 적어줍니다 이 초록색 부분은 숫자가 됩니다 이것이 어떤 숫자가 될까요? 간소화해봅시다 이것들은 그저 스칼라 값들입니다 우리는 이미 내적값이 스칼라 값의 결합이라는것을 알고있습니다 그러므로 순서를 바꿀 수 있죠 결국 이것은 어떤 스칼라 값과 자기자신의 곱이 됩니다 v2 와 v1의 내적이죠 이렇게 적어볼게요 v2와 v1의 내적 분모를 두번 곱해줍니다 그리고 v1과 v1의 내적을 두번 나눠줍니다 기억하세요 우리는 그저 이 두개의 항을 서로 곱해주는 것입니다 그리고 순서를 바꾸어 스칼라를 괄호 밖으로 뺄 수 있겠죠 곱하기 v1 과 v1의 내적 이것이 이제 간소화된 식입니다 그리고 이것은 하나의 숫자가 되겠죠 우리는 벡터연산을 했지만 내적을 하니 모두 숫자가 되었습니다 그리고 이 숫자는 서로 같기때문에 더 간단하게 만들수도 있겠죠 이 두개를 약분시킵니다 그러면 높이의 제곱은 이 나머지와 자기자신의 곱이 되겠죠 이미 이것은 두번 곱해졌으니 다시 적어봅시다 v2 와 v2의 내적 빼기 여기 이 나머지 곱하기 자기 자신 그러므로 v2와 v1의 내적의 제곱 나누기 v1과 v1의 내적 이것이 바로 높이의 제곱입니다 이제 높이의 제곱값을 알았습니다 이제 이 제곱을 없애 높이를 구해봅시다 하지만 계산을 간단히 하기 위해 우선 넓이가 높이와 밑변의 곱이라고 둡니다 그리고 넓이의 제곱을 정의합니다 왜냐하면 이 두 길이 모두 제곱값을 갖기 때문이죠 그래서 이 넓이는 밑변과 높이의 곱이므로 넓이의 제곱은 이 두 길이의 제곱이 됩니다 그러면 밑변의 제곱 곱하기 높이의 제곱이죠 밑변의 제곱은 무엇인가요? 이렇게 해볼게요 밑변의 제곱은, 이미 봤듯이 이 평행사변형 밑변의 길이는 v1입니다 그러면 밑변 제곱은 무엇일까요? 밑변 제곱은 v1길이의 제곱입니다 다르게 적으면 v1과 v1의 내적입니다 이 높이의 제곱값을 이미 알고있으니 여기에 적혀있죠 높이의 제곱은 여기 이 H의 제곱입니다 그러면 넓이의 제곱은 어떻게될까요? 넓이의 제곱은 아래에 적어보면 밑변의 제곱, v1과 v1의 내적 곱하기 높이의 제곱입니다 이렇게 적어볼게요 곱하기 v2와 v2의 내적 빼기 v2와 v1의 내적의 제곱 나누기 v1과 v1의 내적 그러면 약분해봅시다 자 여기 이제 모두 숫자가 됩니다 만약에 곱하면, 이 항을 분배해 준다면 어떻게 되나요? 이 두개의 곱은 v1 과 v1의 내적 곱하기 v2와 v2의 내적이 되죠 그리고 이것을 여기 앞의 항과 곱해주면 어떻게되나요? 여기 분모와 저기 분자는 서로 약분됩니다 그러면 -v2와 v1의 내적만 남게되죠 이 두개의 벡터가 어디서 왔는지 다시 생각해봅시다 v1은 a, c 벡터, v2는 b, d 벡터였습니다 v1은 벡터 ad이고 v2는 벡터 bd라면 v1과 v1의 내적은 어떻게되나요? a 와 a의 내적, 즉 a 곱하기 a, a의 제곱 더하기 c의 제곱이 됩니다 여기 이렇게요 그러면 v2와 v2의 내적은 자 여기 v2와 v2의 내적을 곱해주죠 이때의 값은 b제곱 더하기 d 제곱이 됩니다 그리고 빼기 v2와 v1의 내적의 제곱이 오죠 그러면 v2와 v1의 제곰은 무엇인가요? b 곱하기 a 더하기 d 곱하기 c 이 두개의 내적이 됩니다 결과적으로 ab+cd의 제곱이 되죠 그러면 이 전체가 어떻게 간소화되는지 계산해봅시다 간소화 되기를 바라면서 펜 색깔을 바꿔볼게요 만약 이 두개를 곱하면 넓이의 제곱은 a제곱 곱하기 b 제곱 더하기 a 제곱 곱하기 d 제곱 더하기 c 제곱 곱하기 b 제곱 더하기 c 제곱 곱하기 d 제곱 그리고 여기 이 제곱을 빼줍니다 그러면 결과값은? ab 제곱은 a제곱 b제곱 그리고 이 두개를 서로 두번 곱하게 하면 더하기 2abcd가 되죠 그리고 더하기 c제곱 d제곱을 해줍니다 그리고 나서 어떻게 될까요? 뺄셈 부호를 분배해서 적어봅시다 이제 a제곱 b제곱 더하기 b제곱 d제곱 더하기 c제곱 b제곱 더하기 c 제곱 d제곱 빼기 a제곱 v제곱 빼기 2abcd 빼기 c제곱 d제곱을 적어줍니다 뺄셈을 분배했을 뿐이죠 이제 어떻게 더 간소화될지 보입니다 ab제곱과 -ab제곱이 있으니 없어집니다 -cd제곱과 cd제곱이 있으니 사라집니다 나머지는 이제 평행사변형 넓이의 제곱이 됩니다 a제곱 d제곱 빼기 2abcd 더하기 c제곱 b제곱만 남았습니다 만약 지금 이 상태에서 치환을 했다면 만약 x가 ad라면 그리고 y가 cb라면 어떻게될까요? x제곱 빼기 2xy 더하기 y제곱이 되었을 것입니다 맞죠? 알아보셨기를 바랍니다 이것이 바로 x-y의 제곱 형태입니다 자 우리가 이런 치환을 했죠 치환을 하면 더 쉽게 이해할 수 있습니다 지금 우리는 넓이의 제곱을 구했습니다 그리고 그것이 x-y 또는 ad-cb의 제곱과 같죠 바로 평행사변형 넓이의 제곱입니다 방금 치환을 통해서 제곱식을 표현했죠 하지만 이것이 같다고 이해가 잘 안가신다면 한번 제곱을 직접 계산해보세요 같은 값이 나올것입니다 그럼 이것은 무엇인가요? 지금 여기의 ad-bc는 바로 행렬식입니다 우리가 처음 정의한 행렬의 행렬식이죠 우리는 행렬 A를 정의했고 A를 사용해 넓이를 구했습니다 여기 보이듯이 넓이의 제곱을 구했죠 넓이의 제곱이 ad-bc의 제곱인 것입니다 그러니 이 넓이, A의 넓이는 무엇인가요? 이것이 바로 행렬의 행렬식입니다 원래의 행렬 A의 행렬식이죠 가장 처음에 정의했던 행렬입니다 그리고 평행사변형 abcd의 행렬식이기도 하죠 행렬식은 정의에 의하면 ad-bc가 됩니다 그리고 이것이 넓이이기도 하죠 그러므로 평행사변형 넓이의 제곱이 이 평행사변형을 이루는 열 벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 곱과 같습니다 양쪽 모두 루트를 취해주면 이 넓이가 A의 행렬식에 절댓값을 씌운 값이 된다는 것이죠 지금까지의 복잡한 계산에 비하면 결과가 굉장히 깔끔합니다 다시 위로 돌아가서, 그래프를 살펴봅시다 우리는 이 평행사변형의 넓이를 구하고자 했습니다 그리고 이 평행사변형은 이 행렬의 두 열 벡터로 만들어졌습니다 그리고 우리는 이 행렬의 행렬식을 찾았죠 이 도형의 넓이는 A의 행렬식의 절댓값과 같았습니다 절댓값은 꼭 씌워줘야합니다 행렬식이 음수일 수도 있으니까요 만약에 두개의 행을 바꿔주면 행렬식이 음수가 되죠 하지만 넓이는 음수가 될 수 없습니다 그리고 이러한 계산은 정의를 바꾸지 않습니다 생성되는것 또한 바꾸지 않죠 v1과 v2를 바꾼다 해도 같은 평행사변형을 생성합니다 단지 행렬식의 부후가 바뀔뿐이죠 결과적으로 굉장히 깔끔합니다 그리고 처음 행렬식을 배울 때 처음 행렬식에 대해 접할 때 우리는 2x2 행렬의 역행렬을 배웁니다 그리고 이런게 분모에 오게 되죠 이것이 바로 행렬식이였습니다 하지만 이젠 행렬식에 대한 다른 해석을 배웠습니다 행렬식이 바로 이 행렬의 열벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같다는것이죠