간단한 4x4 행렬식

여기 4x4 행렬 A가 있습니다 이제 행렬 A의 행렬식을 찾아봅시다 우리가 지난번에 배웠던 하나의 행 또는 열을 중심으로 두는 방법으로 행렬식을 찾기 전에 이 행렬에 0이 없다는 것을 눈치채셨을 것입니다 그렇기에 행렬식을 찾기 쉽지 않죠 하나의 행을 중심으로 두고 각각의 부분행렬을 찾을 수도 있지만 매우 복잡해보입니다 그렇게 계산하게 되면 네 개의 3x3 부분행렬들이 존재하고 그 부분행렬들은 각각 세 개의 2x2 부분행렬들로 이루어지죠 계산이 매우 복잡합니다 우리가 지난 두 영상에서 배운 내용들로 계산을 조금 더 간소화시킬 수 있는지 확인해봅시다 첫번째로는 행연산을 이용할 수 있습니다 만약 j번째 행을 j 빼기 어떤 특정 수 또는 곱 그리고 곱하기 i번째 행을 해주면 결과적으로 행렬식은 변하지 않습니다 아마 지지난 영상에서 배웠던 방법이죠 매우 간소화하는데 효과적일 것입니다 이러한 행연산을 하더라도 행렬식의 결과는 변하지 않습니다 그리고 상삼각행렬을 사용해서도 행렬식을 간단하게 찾을 수 있었죠 상삼각행렬이 어떤 꼴인지 기억하시나요? 다시 복습해봅시다 상삼각함수란 주대각선 아래의 모든 원소 우선 주대각선을 나타내볼게요 아무렇게나 표현을 해줍니다 그리고 위에는 0이 아닌 원소들이 오죠 굳이 0이 아닐필요는 없습니다 그리고 상삼각형, 대각선의 아래는 모두 0이 옵니다 대각선 위는 어떤수가 와도 상관없습니다 그냥 아무렇게나 적어둘게요 초록색은 모두 0입니다 비록 다루지는 않지만 하삼각행렬이란 것도 존재합니다 어떤 모습일지는 예측 가능하실겁니다 주대각선 위의 원소들이 모두 0이죠 이런 모습을 가집니다 아래는 0이 아닌 원소들이 오죠 아래는 0이 아닌 원소, 위에는 모두 0이 옵니다 대각선을 중심으로요 지난 영상에서 배웠듯이 이런 경우 행렬식은 대각선 위 원소들의 곱이 됩니다 굉장히 간단히 행렬식을 찾을 수 있죠 그리고 이러한 결론은 하삼각행렬에도 똑같이 적용할 수 있습니다 하삼각행렬의 행렬식 또한 대각선 위 원소들의 곱이 되죠 증명은 굳이 하지 않을게요 하지만 지난 영상에서 배운 같은 방법으로 하삼각행렬의 행렬식도 증명할 수 있습니다 그러니 이러한 행렬이 주어지면 행렬식은 대각선 위의 원소들의 곱이 됩니다 그리고 행연산을 하게 되도 행렬식은 변하지 않으니 아마 이 행렬을 상삼각행렬로 바꿀 수 있다면 대각선 위 원소들의 곱을 이용해 행렬식을 쉽게 찾을 수 있을것입니다 한번 해봅시다 우리는 A의 행렬식을 계산하려고 합니다 A를 다시 적어볼게요 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 7, 5, 2, -1, 4 -6 그리고 3 이제 상삼각함수꼴로 만들어봅시다 첫번째 행은 그대로 두고 두번째 행부터 바꿔볼게요 첫째행은 그대로 1, 2, 2, 1 그리고 두번째 행은 두번째행에서 첫번째 행을 빼줍니다 그러면 두번째 행에는 1 빼기 1은 0 1 빼기 1은 0 2 빼기 2도 0 4 빼기 2는 2 2 빼기 1은 1 세번째행은 세번째 행에서 두번째 행의 두배를 빼줍니다 그러면 2에서 2 곱하기 1을 빼서 0 7에서 2 곱하기 2를 빼면 3 5에서 2곱하기 2를 빼면 1 2에서 2 곱하기 1을 빼면 0이 되죠 다른 색으로 써볼게요 그리고 마지막 행은 마지막행에 첫번째 행을 더해줍니다 마지막 행과 첫번째 행을 더해주는 행연산을 해주면 -1 더하기 1은 0 4 더하기 2는 6 -6 더하기 2는 -4 그리고 3 더하기 1은 4가 됩니다 그러면 이러한 결과가 되죠 이제 두개의 0을 만들었습니다 이제는 몇개의 행을 바꿔보도록 합시다 행을 바꾸면 어떻게 되나요? 우선 중의 두 행을 바꿔볼게요 우리는 지금 상삼각행렬을 만들고싶으니까요 여기에는 0이 아닌 숫자가 와야합니다 그러니 위아래 숫자를 바꿀것이죠 맨 위 행은 그대로 두고 1, 2, 2, 1 맨 아래 행도 그대로 두비다 0, 6, -4, 4 그리고 가운데 두 행을 바꿔줍니다 그러면 0, 3, 1, 0 0, 0, 2, 1이 옵니다 그러면 이렇게 행을 아무렇게나 바꿔도 되나요? 바꿔도 상관은 없습니다 다만 행렬식이 원래의 행렬식의 음수꼴이 된다는것을 기억하세요 이렇게 두 행을 바꾸게 되면 행렬식은 원래의 행렬식의 음수꼴입니다 그러니 행렬식 계산 후 부호를 바꿔주면 되죠 앞선 영상에서 배웠던 내용입니다 그럼 이제 어떻게 계산하면 되나요? 상삼각행렬을 만들려면 여기에 0이 와야합니다 그러면 나머지는 그대로 두고 여기에 0이 오도록 만들어봅시다 우선 1, 2, 2, 1이 그대로 오고 0, 3, 1, 0이 옵니다 세번째 행에도 0, 0, 2, 1이 그대로 옵니다 그리고 마지막 행은 마지막행에서 두번째행의 두배를 빼줍니다 그리고 여전히 마지막에는 부호를 바꾸어주어야합니다 자 그러면 마지막 행을 마지막행에서 두번째행의 두배를 빼준 값들로 나타냅니다 여기를 0으로 만들기 위해서죠 0에서 2 곱하기 0을 빼면 0 6에서 2 곱하기 3을 빼면 0 -4에서 -2 곱하기 1을 빼면 -6 그리고 4에서 -2곱하기 0을 빼면 4 거의 다 왔죠 그러면 마지막으로 여기 -6을 0으로 바꿔줍시다 위의 세 행은 그대로 둡니다 조금 깔끔하게 다시 적어볼게요 첫번째 행에는 1, 2, 2, 1 두번째에는 0, 3, 1, 0 세번째 행에는 0, 0, 2, 1 아직 네번째 행은 적지 않았습니다 당연히 이 때 역시 원래의 행렬식의 음수꼴이겠죠 왜냐하면 아까 두 행을 바꿔주었으니까요 우선 마지막 행을 마지막행에 세번째 행의 세배를 곱해준 값으로 대입해줍니다 그러면 0 더하기 3 곱하기 0은 0 0 더하기 3 곱하기 0은 0 -6 더하기 3 곱하기 2 는 0 4 더하기 3 곱하기 1은 7 이렇게 우리는 이제 행렬을 상삼각행렬로 만들어주었습니다 그러면 이제 행렬식은 대각선 위의 원소들의 곱으로 표현이 가능해집니다 그리고 마지막에 부호를 바꾸는 것을 잊지 말아주세요 먼저 앞에 음수 기호를 붙이겠습니다 그리고 대각선 위 원소들을 곱해주죠 1 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 7을 해주면 43 그러면 행렬식은 -42가 됩니다 아주 간단하고 빠르죠 결과적으로 이렇게 복잡한 행렬식을 구할때 상삼각행렬로 변환하여 계산하는것이 훨씬 효율적입니다 그리고 두 행을 바꿔주면 행렬식에 부호를 바꿔주는 것을 잊지 말아야합니다 그 후 대각선 위 원소의 곱을 구해주면 되죠 이러한 방법으로 우리는 -42라는 행렬식을 구할 수 있었습니다