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주요 내용

행이 더해졌을 때의 행렬식

어떤 행렬이 다른 행렬의 행의 합인 행을 가지고 있을 때의 행렬식 (그리고 모든 다른 항은 3개 행렬이 동일합니다)에 대해 알아봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

이번에도 지난 영상에 이어 행렬식을 다뤄보겠습니다 비록 오늘 배울 내용이 지금은 중요하지 않을 수도 있지만 나중에 선형대수의 다른 부분들을 배울 때 매우 유용하게 사용될 것입니다 행렬이 하나 있습니다 행렬 X라고 부릅시다 행렬 X를 우선 3 X 3 행렬이라고 둡시다 2 X 2 행렬은 너무 간단하니까요 사실 간단한 2X2 행렬부터 다루는 게 좋겠네요 행렬 X는 a, b, x1, x2 를 원소로 둡니다 c d로 둘수도 있었지만 x1, x2라고 둔 이유는 이제 곧 알게 되실겁니다 그리고 다른 행렬을 하나 더 둡니다 Y라고 부를게요 이 행렬은 X와 첫째 행이 같고 두번째 행은 y1, y2를 가집니다 그리고 세번째 행렬 Z도 있습니다 이 행렬도 앞의 두 행렬과 마찬가지로 첫째행에 a, b 두번째 행은 X와 Y 두번째 행의 합이 됩니다 그러면 x1 더하기 y1, 그리고 x2 더하기 y2가 되죠 이런식으로요 행렬 Z 는 행렬 X와 Y의 합과는 다릅니다 모든 Z의 원소가 X와 Y의 합은 아니기 때문이죠 여기서는 특정 행만 주로 다루게됩니다 지금까지의 내용은 지난 영상처럼 반복적으로 보이게 되는 이번 영상의 주요 과정입니다 행렬식 또는 행렬들의 행렬식을 찾는 것은 행렬연산에 선형으로 적용되지 않습니다 하지만 하나의 열에 대해서는 선형으로 연산이 가능하죠 그래서 이러한 경우, 즉 Z의 첫째행은 이 두 행렬과 같고, 두번째 행은나머지 두 행의 합과 같을 때를 말합니다 그러면 이 행렬들의 행렬식이 어떤 연관성이 있는지 살펴봅시다 X의 행렬식을 찾아봅시다 X의 행렬식은 ax2 빼기 bx1이 되죠 이러한 계산은 여러번 보셨을 것입니다 Y의 행렬식은 ay2 빼기 by1이 되죠 그리고 Z의 행렬식은 a 곱하기 x2 더하기 y2 빼기 b 곱하기 x1 더하기 y1이 됩니다 이것을 풀어 쓰면 ax2 더하기 ay2 빼기 bx1 빼기 by1이 되죠 그리고 다시 묶어주면 이렇게 됩니다 ax2 빼기 bx1 그리고 색깔을 바꿔서 써볼게요 나머지 두 항을 묶으면 더하기 ay2 빼기 by1이 됩니다 자 그럼 이것이 무엇과 같나요? X의 행렬식과 같습니다 그리고 나머지 항은 Y의 행렬식과 같죠 자 이제 무엇인가 아시겠죠 만약 하나의 행을 제외한 나머지가 같은 행렬들이 존재할 때, 예를들어 이번처럼 2 X 2 행렬인 경우 행렬 절반이 같을 때, 그리고 행렬 Z와 같이 Z가 나머지 두 행렬의 합과 같을 때, Z의 행렬식은 나머지 두 행렬의 행렬식의 합과 같게 됩니다 매우 특별한 경우이기도 하죠 계속 반복적으로 언급하고자 합니다 이런 방식은 Z의 두번째 열이 X와 Y의 두번째 열의 합과 같을 때만 적용됩니다 그리고 나머지 행이 모두 같아야하죠 그러면 이제 3X3 행렬에 대해 보여드릴게요 조금 더 일반화되겠죠 그리고 나서 n x n 행렬을 알아보겠습니다 n x n 행렬이 사실 어떻게 보면 가장 간단합니다 하지만 조금 추상적이기 때문에 마지막에 다룰게요 3 X 3 행렬로 다시 X를 정의할게요 행렬 X는 a, b, c 그리고 두번째 행을 기준으로 행렬식을 구할게요 사실 어떤 행을 기준으로 하든 상관은 없습니다 그리고 x1, x2, x3, d, e, f를 둡니다 그러면 행렬 X의 행렬식은 어떻게될까요? X의 행렬식은 이 가운데 행을 기준으로 더하기 빼기 패턴을 기억하실 것입니다 처음엔 더하기, 그리고 빼기, 더하기, 빼기, 더하기 어떤식으로 계산하는지 아실겁니다 - x1 곱하기 부분행렬의 행렬식으로 시작합니다 이 때 부분행렬은 b, c, e, f가 됩니다 그리고 x2곱하기 부분행렬 a, c, d, f의 행렬식을 더합니다 그리고 x3 곱하기 부분행렬 a, b, d, e의 행렬식을 빼줍니다 그리고 행렬 Y를 정의해볼게요 Y는 X와 가운데 행을 제외하고 같습니다 첫번째 행에는 a, b, c 세번째 행은 d, e, f 그리고 가운데 행은 다르죠 y1, y2, y3을 둡니다 그러면 Y의 행렬식은 어떻게 될까요? Y의 행렬식은 X의 행렬식과 비슷합니다 더하고 빼는 모든 부분행렬들이 같으니까요 하지만 이 부분행렬 행렬식의 계수들은 다릅니다 x1 대신 y1이 됩니다 그러면 -y1 곱하기 부분행렬 b, c, e, f의 행렬식 더하기 y2 곱하기 부분행렬 a, c, d, f의 행렬식 빼기 y3 곱하기 부분행렬 a, b, d, e의 행렬식ㅇ 됩니다 어떤식으로 행렬식이 이루어지는지 이제 아실 것입니다 그러면 이제 다른 행렬식을 정의해봅시다 행렬 Z가 있습니다 Z는 이 두 행렬과 첫째 셋째 행이 같습니다 a, b, c, d, e, f를 가지겠죠 이런식으로요 하지만 두번째 행은 나머지 두 행렬의 합과 같습니다 그리고 이제 이 행렬의 행렬식을 찾아볼게요 일단 가운데 행의 첫번째 원소는 x1 더하기 y1이죠 그리고 x2 더하기 y2, x3 더하기 y3이 됩니다 그러면 Z의 행렬식은 어떻게 될까요? 이 가운데 행을 기준으로 구해보겠습니다 행렬식은 - (x1 + y1) 곱하기 부분행렬 b, c, e, f의 행렬식 위의 두 식과 비슷하죠 더하기 x2 더하기 y2 곱하기 부분행렬 a, c, d, f의 행렬식 그리고 마지막으로 x3 더하기 y3 곱하기 부분행렬 a, b, d, e의 행렬식을 빼주면 됩니다 그러면 이 식이 바로 Z의 행렬식이 됩니다 여기 이 식이 Z의 행렬식인데요 여기를 보시면 이 식이 위의 두 식의 합과 같다는 것을 바로 눈치채셨을 것입니다 왜냐하면 두 식의 계수들을 이 식에서 가지고 있기 때문입니다 만약 이 두 식을 더하면 - (x1 + y1) 이 두 계수들의 합이 아래 식의 계수와 같죠 그리고 이 두 계수를 더하면 아래의 이 계수와 같게되고 마지막으로 두 마지막 계수들을 더하면 아래 식의 마지막 계수와 같습니다 이제 이 행렬식들을 보시면 X의 행렬식과 Y의 행렬식을 더했을 때 Z의 행렬식과 같다는 것이 보입니다 2 X 2 행렬의 경우와 같이 3 X 3 행렬에서도 같은 사실이 적용됩니다 아마 n X n 행렬도 마찬가지이겠죠 하지만 3 X 3 행렬의 경우 시각적으로 쉽게 이해가 가능했지만 n x n의 경우는 살짝 추상적입니다 그러면 행렬들을 다시 정의해볼게요 같은 과정들을 되풀이 하겠습니다 행렬 X가 있습니다 이번에는 n x n 행렬입니다 이런식으로 적어볼게요 자 여기 a11, a12부터 a1n까지 있습니다 그리고 행이 아래로 쭉 존재하고 중간에 i번째 행이 있습니다 i번째 행에는 x1, x2 부터 xn까지 존재합니다 나머지는 모두 앞선 행들과 같이 a 로 표현됩니다 그러면 여기 a 가 다시 옵니다 a21 부터 a2n까지 있겠죠 그리고 쭉 내려가면 an1 부터 ann까지 존재합니다 그러면 이제 일반행렬이 어떻게 이루어지는지 감이 오실겁니다 그러나 이제 제가 이 i번째 행을 조금 다르게 다시 정의해보려 합니다 왜 이렇게 하는지는 아마 알고계실겁니다 이번엔 다른 행렬을 정의해보기 위해서죠 행렬 Y를 정의해볼게요 Y 또한 거의 비슷한 모양의 행렬입니다 행렬 X와 같이 여기 a11이 있죠 그리고 a12가 있고 a1n까지 있습니다 이번엔 a21부터 a2n까지 존재하죠 그리고 i 번째 행이 있습니다 X에서와 같은 i 번째 행을 말합니다 Y 또한 n x n 행렬임을 잊지마세요 만약 i가 7번째 행이였다면, Y에서도 7번째 행입니다 i번째 행은 X와 같은 위치이지만 다르게 표현됩니다 하지만 i번째 행 외의 나머지는 모두 같죠 i번째 행에는, y1, y2부터 yn까지 존재합니다 그리고 쭉 내려가면 an1이 있고 그 행에는 ann까지 존재합니다 이해 가시죠 그러면 이제 세번째 행렬이 있습니다 세번째 행렬을 정의해봅시다 여기에 적어볼게요 행렬 Z가 있습니다 어떤식으로 정의될지는 예상이 가실 것입니다 Z 또한 앞선 두 행렬과 i행을 제외한 나머지가 모두 같습니다 그러면 이렇게 표현 가능하겠죠 우선 a11, a12 부터 a1n이 존재합니다 그리고 i행으로 내려가면 행렬 X와 Y의 합이 요소가 됩니다 그러면 x1+y1, x2+y2 부터 xn+yn 까지 존재하겠죠 그리고 나머지는 모두 같습니다 마지막 행 역시 an1부터 ann까지 존재하죠 이 세 행렬은 i행을 제외하고 모두 같습니다 Z의 i행은 X와 Y의 i행의 합이 되죠 그러면 이러한 특정한 경우에 대하여 행렬식을 찾아보겠습니다 행렬식은 어떻게 될까요? X의 행렬식은 이전과 같이 시그마를 사용하는 것이 나타내기에 용이합니다 그러면 바로 i번째 행을 살펴보고 행렬식을 시그마를 사용해 적어볼게요 우선 j가 1일 때부터 생각해봅시다 행렬식은 j가 1부터 n일때 까지의 합이 되죠 그리고 더하기 빼기 패턴을 기억하세요 우선은 양수 음수를 구분하기가 힘듭니다 그러니 -1의 i+j승으로 둡시다 지금 i번째 행에 대해서 얘기하고 있으니 계수는 xj가 됩니다 xj 에 부분행렬 Xj를 곱합니다 이 행과 열을 제외하면 나머지는 무엇이 남을까요? 부분행렬이 남습니다 여기 이 행과 첫번째 열을 지우고 나면 나머지는 부분행렬이 되죠 ai2일때도 부분행렬은 마찬가지입니다 ai2가 속한 열과 행을 제외해주시면 나머지는 부분행렬이 되는 것이죠 그래서 모든 aij에 대해서 같은식으로 부분행렬을 구할 수 있습니다 그리고 모든 부분행렬은 n-1 x n-1 행렬이죠 모든 aij에 대해서요 다시 행렬식으로 돌아가봅시다 참고로 우리는 Aji의 행렬식을 곱해주어야 한다는 것을 꼭 기억하세요 그리고 두번째 항 역시 같겠죠 j가 n이 될때까지 모두 더한 것이 행렬식이 됩니다 그래서 우리는 시그마를 사용한 것이지요 이제 X의 행렬식을 모두 구했습니다 그러면 Y의 행렬식은 어떻게 될까요? Y의 행렬식은 X와 비슷합니다 시그마 j는 1부터 n까지 우선 -1의 i+j승을 곱해줍니다 그리고 마찬가지로 i번째 행을 볼게요 yj가 있습니다 y1부터 시작해서 y2를 더해주게 되겠죠 그리고 각각의 부분행렬의 행렬식을 곱해줍니다 부분행렬은 각각의 행과 열을 제외한 나머지가 되겠죠 그래서 이제 Aij를 곱해줍니다 Aij의 행렬의 행렬식이죠 자 그러면 이제 Z의 행렬식을 구합시다 이제 어떤식으로 행렬식이 모두 구해지는지 잘 아실 겁니다 여기 Y는 대문자로 표기해야하죠 Z의 행렬식은 시그마 j는 1부터 n까지 -1의 i+j승을 곱해주죠 그리고 i번째 행으로 갑니다 이번에 계수들은 xj+yj가 되겠죠 그리고 각각의 부분행렬을 곱해줍니다 Aij로 표기할게요 결국 앞선 두 부분행렬들의 합이겠죠 만약 모든 j에 대하여 위의 두 식을 합하면 두개의 계수를 갖게됩니다 Aij 앞에 xj와 yj 계수를 갖게되죠 그리고 모두 더하여 인수분해 해주면 아래의 식과 같게 됩니다 그러면 결국 X의 행렬식과 Y의 행렬식을 더했을 때 Z의 행렬식과 같게 된다는 것입니다 자 이제 일반식도 이해하셨을 것입니다 조금 더 정확히 설명해드리자면 방금까지는 세 개의 행렬이 하나의 행을 제외하고 모두 동일한 특정한 경우에 대해 알아보았습니다 그리고 그 중 하나의 행렬의 특정한 행이 나머지 두 행렬의 특정 행의 합과 같았죠 그리고 나머지 원소는 모두 같았습니다 이러한 특별한 경우에만 방금전 알아본 결론을 지을 수 있습니다 Z의 행렬식은 X의 행렬식과 Y의 행렬식과 같다는 결론이죠 이러한 경우는 Z가 X와 Y의 합인 경우는 아닙니다 Z의 행렬식이 X의 행렬식과 Y이 행렬식의 합인 경우이죠 함부로 X와 Y의 합은 Z라고 추정하면 안됩니다 행렬식 연산은 행렬덧셈과 선형하지 않습니다 오직 특정 행에 대해서만 선형합니다 어쨌든, 나중에 유용할 내용이니 꼭 기억하시길 바랍니다