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행연산 후의 행렬식

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행렬 A가 있습니다 n×n 행렬이죠 그리고 이렇게 행을 써 보겠습니다 이것을 r1이라고 하겠습니다 이 행 벡터는 r2라 고 하죠 형식적으로 하는 것은 아닙니다 그냥 시간을 단축하기 위함입니다 그리고 i번째 행에는 ri가 있습니다 그런 식으로 이어집니다 i가 바로 여기있네요 그리고 나서 j번째 행인 rj가 있고 더 나아가면 n번째에 도달합니다 이 행렬은 행과 열이 n개씩 있습니다 그러면 이렇게 rn에 도달하게 됩니다 이것이 완성된 행렬입니다 즉, k번째의 rk는 ak1과 같겠죠 벡터로 표현하겠습니다 ak2부터 akn까지 있습니다 이것이 표준적인 표현입니다 이 수업에서 행을 다루기 때문에 이렇게 썼습니다 표현하기 좀 더 쉽죠 여기 두 행을 보겠습니다 그리고 또 다른 행렬 B를 정의하겠습니다 이 행렬 또한 n × n 행렬입니다 하나의 행을 제외하고 행렬 A와 같습니다 하나의 행을 제외하고 행렬 A와 같습니다 r1이 있습니다 행렬 A에 있는 것과 같죠 r2, 더 나아가서 ri까지 동일합니다 그러나 rj는 조금 다릅니다 rj를 rj에서 ri의 스칼라 배수를 뺀 값으로 대체합니다 - c × ri 그래서 ri의 스칼라배를 뺀 것입니다 rj를 그 식으로 바꿨습니다 따라서 이것은 가우스 소거법으로 행연산하거나 기약행 사다리꼴에 대입한 것과 같습니다 그리고 다른 모든 것은 행렬 A와 같습니다 rn까지 말이죠 이것이 완성된 행렬 B입니다 B의 행렬식이 무엇일지 생각해 봅시다 B가 무엇과 같다고 할 수 있냐면 두 개의 벡터를 상상해 봅시다 두 개의 행렬을 생각해보죠 하나는 이렇습니다 r1, r2부터 ri까지 rj까지 갑니다 그리고 rn까지 계속 이어집니다 눈치챘을지 모르겠지만 이것은 A와 같은 행렬입니다 행렬 하나는 이렇습니다 그리고 이렇게 생긴 또 다른 행렬이 있습니다 어디서든 동일합니다 r1, r2, ri 이 점들은 행을 생략한 것입니다 이 점들은 행을 생략한 것입니다 그리고 여기에는 c × ri가 있습니다 c × ri 다른 색으로 표현합시다 바로 여기에 말이죠 계속 나아가 rn까지 이어집니다 B의 행렬식은 이것의 행렬식으로 볼 수 있습니다 B의 행렬식은 이것의 행렬식으로 볼 수 있습니다 여기에 적도록 하죠 B의 행렬식은 이 행렬식과 이 행렬식을 더한 것과 같습니다 이전의 영상을 기억하실 것입니다 한 행을 제외하고 나머지가 동일한 두 행렬을 사용합시다 따라서 이 두 행렬은 j번째 행을 제외하고 완전히 동일합니다 여기 rj가 있습니다 여기 c × ri가 있습니다 따라서 이것은 한 행의 스칼라 배수입니다 ri는 i번째 행이죠 여기 ri가 있고, 여기 ri가 있습니다 하지만 여기에는 r행의 다른 형태인 ri의 스칼라 배수가 있습니다 그리고 여기에 rj가 있습니다 자, 이 두 행렬과 이 행을 제외하고 본질적으로 다른 행렬이 있다고 합시다 그리고 그 한 행에 이 두 행렬을 추가한 것처럼 보입니다 그리고 여기를 음수로 하죠 따라서 이 행렬을 완벽히 동일하게 유지한다면 이 행을 이 두 행의 합으로 바꿔야합니다 rj - c × ri 이 행렬을 여기서 가져옵니다 행렬 B에서 말이죠 그리고 B의 행렬식이 이것과 이것의 행렬식과 같다는 것을 배웠습니다 B는 이 두 행렬의 합이 아니라는 것을 기억하세요 B는 이 두 행렬과 같습니다 하나의 행을 제외하고 말이죠 이것과 이것을 더한 B의 j번째 행 말입니다 그리고 행을 추가할 때에는 이것들을 추가하는 겁니다 그래서 이것을 다음과 같이 쓸 수 있습니다 첫 번째로 aj1 - c × ai1입니다 이 행의 첫 번째입니다 두 번째는 aj2에서 c × ai2를 빼줍니다 그리고 n번째 열인 ajn - cain까지 이어집니다 바로 이말입니다 그래서 B의 행렬식은 이것과 이것의 행렬식을 더한 것과 같습니다 이것의 행렬식은 바로 여기 있는 행렬 A입니다 이것은 A의 행렬식이 될 것입니다 그러면 이것의 행렬식은 뭘까요? 음, 조금 더 자세히 설명해 드리죠 이것의 행렬식은 무엇과 같죠? 이것은 이 행을 제외하고 A와 완전히 같습니다 미안합니다. 이 행렬과 같네요 A와 같지 않습니다 주의하세요 방금 제가 말한 것은 무시하세요 이것은 A와 다릅니다 차이점은 A가 rj를 갖고 있다는 겁니다 이것은 a - c × ri를 갖고 있습니다 따라서 이것은 이 행렬과 같습니다 여기 이 행렬과 완벽히 같습니다 이런 식으로 하죠 그래서 r1, r2, 나아가서 ri가 있습니다 그럼 또 다른 ri가 있습니다 이것은 좀 치우죠 이걸 정리하면 쓸 공간이 생기죠 ri가 있습니다 여기도 ri가 있습니다 그러면, 또 다른 ri가 있습니다 여기에 말이죠 또 다른 ri가 있습니다 j번째 행은 ri를 가집니다 계속 나아가 rn이 있죠 이 둘은 이것의 j번째 행과 -c의 곱을 제외하고 완전히 같습니다 맞죠? 바로 이것이 여기 있습니다 j번째 행입니다 우리가 한 모든 것이 j번째 행에 있습니다 이것은 j번째 행의 -c배입니다 이 행렬식은 여기 있습니다 이 행렬의 행렬식만을 취할 것을 확실히 하죠 이것은 다음과 같은 행렬식의 -c배와 같을 것입니다 이 방법을 쓰도록 하죠 r1, r2의 -c배 첫 번째 ri가 있습니다 그리고 j번째 행에는 또 다른 형태의 ri가 있습니다. 그렇게 rn까지 이어집니다 행렬식을 곱하세요 이것은 이에 대한 행렬식입니다 괄호와 직선을 넣었습니다 그리고 이미 몇 개의 영상을 봤었죠 한 행렬이 있다면 행 하나에 스칼라곱을 하면 됩니다 여기선 -c에 말이죠 이것은 -c와 같습니다 새로운 행렬의 행렬식은 이 행렬의 행렬식의 -c배와 같습니다 그게 제가 말하는 전부입니다 그렇지만 이 행렬의 행렬식은 뭐죠? 이미 행이 중복된 것을 알아차렸을 겁니다 ri가 있고, i번째 행과 j번째 행에서도 ri가 있습니다 기억하세요 B 행렬을 합으로 분해했습니다 또는 이 행렬식은 이 둘의 합의 행렬식으로 설명될 수 있습니다 B는 이 둘을 합한게 아닙니다 다른 모든 요소는 이 두 요소의 다른 모든 요소와 같습니다 하지만 이것이 여기 있고 ri와 중복됩니다 중복된 것이 있는 행렬식으로부터 무엇을 알 수 있죠? 행렬식 값은 0입니다 그래서 이 성분은 0입니다 -c × 0 = 0 그래서 이 전체의 행렬식은 0입니다 따라서 여기서 중요한 것은 바로 B의 행렬식이 이것에 대한 A의 행렬식과 동일하다는 것입니다 이것은 매우 중요한 사실입니다 우리 삶을 윤택하게 만들죠 B의 행렬식은 A의 행렬식과 같습니다 어떤 행렬이 있을 때 여기서 j행과 같은 어떤 행을 그 행에서 다른 행의 스칼라 배수를 뺀 값으로 대체한다면 ri를 선택하였습니다 행렬식은 달라지지 않습니다 이것은 스칼라 값을 곱하는 경우에만 한정되기 때문에 행렬식을 바꿀 수 있는 다른 경우에서는 주의해야 합니다 계산한 행연산과 동일한 j번째 행을 j행에서 i행와 c의 곱을 뺀 값으로 대체한다면 행렬식은 바뀌지 않습니다 신중히 행연산을 할 수 있고 행렬식이 바뀌지 않는다는 것을 알았기 때문에 이것은 중요한 사실입니다