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행을 스칼라로 곱했을 때의 행렬식

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행렬식을 스칼라로 곱했을 때 어떻게 되는지 알아봅시다 여기 a, b, c, d  행렬의 행렬식을 찾아봅시다 행렬식의 정의에 의하면 행렬식은 a 곱하기 d 에서 c 곱하기 b를 빼주면 됩니다 ad 빼기 bc가 되죠 이것이 바로 행렬식입니다 이제 이 행렬의 한 행을 스칼라로 곱하면 어떻게 될까요 k로 곱해봅시다 첫번째 행에 a, b가 있습니다 두번째 행에 k를 곱해볼게요 kc와 kd가 되겠죠 그러면 이 때의 행렬식은 어떻게될까요 a 곱하기 kd kad에서 kc 곱하기 b, kbc를 빼주면 됩니다 그리고 k로 묶어주면 k 곱하기 ad 빼기 bc와 같은 식이 됩니다 자 그러면 이 식이 위의 식과 같다는 것을 보실 수 있습니다 즉 a, b, c, d 의 행렬식에 k를 곱한 식이죠 따라서 행렬의 한 행에 스칼라를 곱하면 모든 행이 아닌 하나의 행에만 곱했을 때 그 행렬의 행렬식은 원래의 행렬식에 스칼라를 곱한 값과 같게 됩니다 그러면 행렬 전체를 스칼라로 곱해주면 어떻게 될까요 그러면 원래의 행렬식에 스칼라를 두번 곱한 값과 같게 되겠죠 자 여기 행렬 A가 있습니다 행렬 A의 원소는 a, b, c, d 입니다 만약 행렬식 A에 k를 곱했을 때, 모든 원소에 k가 곱해지겠죠 전체 행렬에 스칼라를 곱해줍니다 그러면 ka, kb, kc, kd가 됩니다 이 행렬, kA의 행렬식을 찾으면 ka, kb, kc, kd로 이루어진 행렬식이 되죠 그러면 행렬 A의 행렬식에 k제곱을 곱한 식이 됩니다 k제곱 곱하기 ad 빼기 k제곱 곱하기 bc, 또는 k제곱 곱하기 ad 빼기 bc 즉 행렬 A의 행렬식에 k 제곱을 곱해준 식이 됩니다 그러니 항상 계산에 신경써야 합니다 방금 계산한 행렬은 2X2 행렬이였고 n X n 행렬의 행렬식에서는 k 의 n승을 곱해주어야 하기 때문입니다 그러면 원래의 행렬식에 스칼라를 곱한 행렬식을 갖는 경우는 어떤 행렬의 하나의 행에만 스칼라를 곱해주었을 때입니다 전체 행렬에 스칼라를 곱한 경우가 아니죠 그러면 3 x3 행렬의 경우도 살펴봅시다 자 이번에는 두번째 행을 골랐어요 첫번째 행렬을 골라도 같은 결과일까요? 직접 판단해보시기를 바라지만 결과는 같습니다 몇번째 행에 곱하는지는 중요하지 않습니다 그러면 3X3 행렬을 가지고 계산해봅시다 여기 행렬이 있습니다 A라고 부릅시다 행렬 A에 a, b, c, d, e, f, g,h, i가 있습니다 이 행렬의 행렬식을 찾는 방법은 몇가지가 있습니다 우선 하나의 행을 골라볼게요 그리고 이 행을 스칼라로 곱합니다 이 행 하나를 골라서 곱해볼게요 더하기 빼기 패턴을 기억하세요 더하기 빼기 더하기 빼기 패턴이 있죠 그러면 d 는 음수가 곱해지죠 마이너스 d 곱하기 이 부분행렬의 행렬식을 먼저 구합니다 그리고 d가 속한 열을 제외한 b c h i를 부분행렬로 둡니다 그리고 e 곱하기 부분행렬, a, c, g, i를 더해줍니다 다음으로 f. 곱하기 행렬 d, e, g, h를 빼줍니다 자 그러면 이 식이 행렬 A의 행렬식입니다 그러면 이제 새로운 행렬식을 A 프라임이라고 부를게요 그리고 A프라임을 정의해보겠습니다 A프라임은 행렬 A의 두번째 행에 스칼라를 곱해준 행렬입니다 a, b, c, kd, ke, kf가 첫 두 행에 오겠죠 전체 행렬에 스칼라를 곱하는 것은 아닙니다 kA라고 부를 수 없죠 하나의 행에만 스칼라를 곱해주죠 마지막 행에는 g, h, i가 옵니다 그러면 A 프라임의 행렬식은 어떻게될까요 A의 행렬식과는 다르지만, A의 행렬식과 비슷하겠죠 다시한번 강조하자면 행렬 A의 하나의 행에만 스칼라를 곱해주었습니다 위의 행렬식에서 고른 행과 같은 행을 골라서 곱해주었습니다 다른 점은, d 대신에 kd를 가지고있죠 e 대신 , ke가 오죠 d 대신에 kd가 존재하고 e 대신에 ke가 존재합니다 그러면 위의 행렬식을 구할 때와 완전히 같지만 여기 이 값들에 k만 곱해주면 됩니다 그러면 kd 곱하기 부분행렬 b, c, h, i 위이 식을 참고해주면 좋겠죠 A프라임은 A의 한 행만 바꿔주었으니까요 더하기 ke 곱하기 a, d, g, i 의 행렬식 빼기 kf 곱하기 d, e, g, h의 행렬식이 되죠 전체식은 어떻게 되나요? k 로 묶어주게 되면 이 행렬식은 위의 행렬식에 k를 곱해준 것과 같습니다 즉 A의 행렬식에 k를 곱해준 값이죠 우리의 결과가 3X3 행렬식에도 성립한다는 것을 알 수 있습니다 방금은 두번째 행에 k를 곱해주었지만 다른 행에 곱했을 경우도 확인해보세요 그러면 이제 일반식을 찾아봅시다 지금까지는 2X2, 3X3과 같은 특정 행렬식을 다루었으니 이제는 모든 행렬식에 적용 가능한 일반식을 찾아서 증명해볼게요 자 여기 n X n 행렬이 있습니다 이번에도 A라고 부를게요 행렬 A는 n X n 행렬입니다 이렇게 적을 수 있죠 이것이 첫번째 행입니다 첫번재 행에는 a11, a12 부터 a1n까지 존재합니다 그러면 하나의 행을 하나 골라서 스칼라로 곱해볼게요 쭉 내려가서 ai행이라고 합시다. ai1, ai2 부터 ain까지 있죠 그리고 이 행을 이용해서 행렬식을 구해볼게요 어떤 행을 골라도 상관없다는 것을 기억하세요 이 행렬의 끝까지 내려가면 마지막행은 ani, an2, 부터 ann까지 가집니다 이 행렬은 n X n을 가장 일반화시킨 행렬입니다 그러면 이제 행렬식을 구해볼게요 an번째 행을 고릅니다 그러면 행렬식은 어떻게 될까요 더하기 빼기 패턴을 기억하시면 됩니다 지금 우리는 일반화된 식을 다루기때문에 더하기 빼기 순서를 따라가기 힘듭니다 그러나 부호가 -1의 i승으로 정해진다고 생각하면 됩니다 왜냐하면 i가 짝수인지 홀수인지 알 수 없으니까요 그러면 첫번째 i는 1이기 때문에 마이너스 부호가 되겠죠 이러한 방법으로 더하기 빼기 패턴을 나타낼 수 있습니다 복잡해보이지만 우리가 다루던 패턴을 표기할 수 있습니다 자 그러면 이 패턴에 ai를 곱해주세요 ai1을 곱해준 후 부분행렬을 곱해주면 되죠 부분행렬은 기억하실 것입니다 이 행을 제외하고 이 열이 남게 됩니다 그것이 ai1의 부분행렬이 되죠 그리고 더하기 -1의 i승 더하기 2 곱하기 ai2 곱하기 부분행렬 더하기 -1 의 i승 더하기 n곱하기 ai까지 쭉 더해줍니다 n번째 열까지 왔다고 했을 때 부분행렬을 곱해줍니다 그러면 n-1 X n-1 행렬이 되죠 모든 부분행렬이 n-1 X n-1 행렬이 됩니다 자 이제 A의 행렬식을 구했습니다 이 식을 시그마 기호를 사용해서 나타낼 수 있죠 그러면 식이 간단해지죠 A의 행렬식을 다시 적어보면 j의 값이 1부터 n까지 이고 -1의 i+j승 곱하기 air 그리고 각각의 부분행렬 Aij의 곱 방금 적은 이 식은 위의 식을 다르게 표현한 같은 식입니다 시그마는 모든 값의 합을 의미하죠 j 가 1이 되면 위의 식의 첫번째 항이 되죠 j 가 2일때는 위의 식의 두번째 항이 됩니다 쭉 더하다 보면 마지막에는 j 가 n이 되죠 그러면 위 식의 마지막 항과 같습니다 그러므로 이 두 식은 완전히 같죠 그러면 이 새로운 행렬은 어떻게 될까요? 이 행렬을 그대로 하나 다시 적습니다 복사해서 붙여넣어볼게요 우선 전체를 다시 복사해서 붙여놓고 이 새로운 A 를 A 프라임이라고 합시다 여전히 n X n 행렬이죠 이제 이 새로운 행렬의 하나의 행에 스칼라 k를 곱해볼게요 그러면 이 행은 k ai1, k ai2, 부터 k ain이 되죠 그러면 A 프라임의 행렬식은 어떻게될까요 이번에도 같은 행을 기준으로 구해볼게요 다만 이제는 ai1 대신 k ai1 ai2 대신 k ai2, ain 대신 k ain 이 존재합니다 그러면 새로운 행렬식은 이전과 같고 aij 대신에 k aij가 오게 됩니다 이것이 바로 A프라임의 행렬식이죠 여기 상수를 밖으로 보낼 수 있습니다 i나 j를 가지고 있지 않기 때문이죠 j에 따라 값이 변하지 않는 상수이기 때문에 시그마 밖에 곱해줄 수 있습니다 그러면 k 곱하기 시그마 j는 1부터 n까지 -1의 i더하기 j승 곱하기 aij 이것이 계수가 되고 각각의 계수 aij에 각각의 부분행렬을 곱해줍니다 각각의 부분행렬은 n-1 X n-1행렬이죠 바로 눈치챌 수 있듯이 k를 제외한 나머지는 A의 행렬식과 같습니다 결국 A프라임의 행렬식은 A의 행렬식에 k를 곱한 값과 같죠 그러면 이제 일반식까지 모두 증명하였습니다 n X n 행렬의 하나의 행에, 전체 행렬이 아니라는 점 기억하세요 하나의 행에 스칼라 k를 곱해주면 그 행렬의 행렬식은 원래의 행렬식에 k를 곱한 값과 같습니다 그러면 행렬 A에 k를 곱해준 행렬의 행렬식은 어떻게 될까요? 이번에는 모든 행에 k를 곱해준 경우입니다 다르게 생각하면 n개의 행에 k를 곱해주었습니다 k를 곱하는 것을 n번 한거죠 그래서 만약 k를 n번 곱해주면 어떻게되나요? k의 n 승이 되겠죠 그러면 이 행렬식은 A의 행렬식에 k의 n승을 곱해준 식이 됩니다 만약 k를 하나의 행에만 곱해주면 행렬식은 원래의 행렬식에 k를 한번 곱해주면 됩니다 만약 두번째 행에도 k를 곱해주면 원래 행렬식에 k를 두번 곱해주면 되죠 세번째 행에도 k를 곱해준다면 원래 행렬식에 k를 세번 곱해주면 됩니다 네번째 행에도 k를 곱해주면 원래 행렬식에 k의 4승을 곱해주면 됩니다 그러므로 모든 행에 곱해주면, n개의 행이니 k의 n승을 A의 행렬식에 곱해주면 됩니다 이번 영상도 흥미로웠기를 바랍니다 다른 방법들로도 방금 제가 한 과정들을 모험해보시기를 권해드립니다 이번에는 행이 아닌 열을 기준으로 계산해 보세요