예제: 등차급수(시그마 기호)

보이는 문제에 유한급수가 시그마 기호로 표현된 것을 볼 수 있는데 이 영상을 멈추고 계산해보세요 이 영상을 멈추고 계산해보세요 이 영상을 멈추고 계산해보세요 답은 어떠한 숫자로 나올 것입니다 시도해보셨죠? 같이 풀어봅시다 문제는 k=1 부터 순차적으로 k=550 일때까지의 합을 물어봅니다 그럼 550개의 항의 값이 나올 것이고 식 2k+50 에 대응되는 k가 1부터 550 사이의 모든 항의 값의 합일 것입니다 수열을 구할려고 할 때마다 수열에 들어가는 여러 값들의 합이 어떤 규칙으로 연결되는지 알아보기 위해 수열을 나열하려고 합니다 한번 봅시다 k=1 일때의 값을 계산해 보면 2k+50 은 2×1+50 이 될 것입니다 k=2일때는 2×2+50 이 됩니다 k=3 일때는 그 값이 2×3+50 이 될 것입니다 이러한 계산을 수열의 마지막 항인 k=550일때인 2×550+50 이 k=550일때인 2×550+50 이 한번 봅시다 수열의 첫번째 항을 계산하면 52가 나옵니다 이어서 두번째 항은 2×2+50 이므로 54가 될 것입니다 3번째 항은 2×3=6 6+50=56 이 되고 이러한 계산을 마지막 항까지 전부 할 것입니다 2×550+50=1150 이 될 것입니다 각 항을 구해보는 연습이 주어진 급수를 구하는 데 좋은 감을 주었습니다 첫번째 항인 52부터 시작해서 이어지는 항은 1150에 도달할 때까지 2를 연속되는 바로 전 항에 계속 더해줄 것입니다 그리고 계산한 모든 항의 값의 합을 구해줄 것입니다 이어서 연속되는 각각의 항이 2라는 동일한 값만큼 더해지고 있기 때문에 우리는 이 급수를 등차급수라고 인식할 수 있게 됩니다 급수에서 다음 항으로 넘어갈 때 항상 동일한 값만큼 증가합니다 등차급수에는 그 합을 구하는 공식이 있는데 처음에는 그대로 공식을 적용할 것이지만 그 후에는 직관을 이용해서 왜 등차급수의 공식이 적용되는지에 대한 이유를 알아볼 것입니다 사실 다른 영상에서 등차급수 공식에 대한 증명을 이미 마쳤지만 이러한 공식이 허공에서 갑자기 생기지 않는다는 것을 알아두는 것이 아무런 해가 되지 않고 또 분별력도 높여 줄 것입니다 그래서 등차급수에 대한 공식은 그래서 등차급수에 대한 공식은 다시말해 처음부터 n번째 항까지의 합은 첫째 항과 n번째 항을 더한 것을 2로 나눈 값이고 이 값이 진짜 첫째 항과 마지막 항의 등차중항 이라는 것을 알 수 있습니다 첫째 항과 마지막 항의 등차중항 이라는 것을 알 수 있습니다 일상생활에서 쓰는 말로는 평균이라고 말할수도 있겠네요 일상생활에서 쓰는 말로는 평균이라고 말할수도 있겠네요 첫째 항과 마지막 항의 평균에 실제 가지고 있는 항의 개수를 곱하면 그것이 바로 등차급수의 공식이 됩니다 공식을 그림에 나타난 문제에 적용하려면 먼저 처음 550개의 항의 합을 가지고 먼저 처음 550개의 항의 합을 가지고 새로운 색을 쓰겠습니다 처음부터 550개의 항의 합을 계산할 것인데 처음부터 550개의 항의 합을 계산할 것인데 답은 공식을 적용해 첫번째 항인 52와 마지막 항 다시말해 n번째 항인 1150을 더하고 2로 나눈 값과 같습니다 다시말해 n번째 항인 1150을 더하고 2로 나눈 값과 같습니다 쉽게 말하자면 52와 1150의 평균과 마찬가지인 셈입니다 첫째항과 마지막항의 평균과 전체 항의 개수 550을 곱한 값은 첫째항과 마지막항의 평균과 전체 항의 개수 550을 곱한 값은 첫째항과 마지막항의 평균과 전체 항의 개수 550을 곱한 값은 어떠한 값이 나올까요? 계산식을 조금 더 쉽게 만들어 봅시다 550÷2를 미리 계산하면 550÷2 를 곱하기를 이용해 표현할 수 있는데 다른 방법으로 이 식을 단순화해 봅시다 식을 간단하게 만들면 52 나누기 52 나누기 그냥 덧셈 먼저 합시다 (1150+52)÷2=1202÷2 가 될 것입니다 (1150+52)÷2=1202÷2 가 될 것입니다 제가 올바르게 했나요? 맞네요 1202÷2×550 이 처음 식을 조금 더 단순화한 식입니다 1202÷2=601 이 될 것이기 때문에 단순화한 식은 601×550 이 될 것입니다 단순화한 식은 601×550 이 될 것입니다 그럼 곱셈을 할 수 있는지 한번 봅시다 550×601을 한 번 해보면 550×601을 한 번 해보면 550×1=550 이고 550의 일의 자리 수는 0이기 때문에 그대로 내려오고 601에서 십의 자리 수는 0이기 때문에 0×550=0 이 나오고 두번째 줄에는 0만 갖게 됩니다 다음으로 백의 자리를 가봅시다 6×0=0 이고 6×5=30 6×5+3=33입니다 다 더해주면 330,550이 나옵니다 330,550이 나옵니다 330,550이 나옵니다 330,550이 나옵니다 330,550이 바로 등차급수 문제에서 첫 번째 항부터 마지막번째 항까지 다 더한 값이 되는 것입니다 지금 왜 등차급수 공식을 적용할 수 있는지 살짝 감이 잡일 것이라고 전에 말했는데 파란색으로 쓰인 식을 보면서 550개의 항의 합이 무엇인지 생각해봅시다 550개의 항의 합이 무엇인지 생각해봅시다 식을 적기 전 쓰는 색깔을 바꿀께요 식을 적기 전 쓰는 색깔을 바꿀께요 그래서 노란색으로 쓴 식이 보이듯이 순서대로 550개의 항의 합을 구할 것입니다 파란색 글자로 쓰인 것이 보이듯이 52+54+56+.......... 부터 시작해서 1150이 될때까지 더한 값이 나온다는 것을 압니다 1150이 될때까지 더한 값이 나온다는 것을 압니다 다시 한번 써 봅니다 그 대신 이번에는 550개의 항을 큰 순서를 먼저 오게 배열할 것입니다 그 대신 이번에는 550개의 항을 큰 순서를 먼저 오게 배열할 것입니다 더하기에서는 교환법칙이 성립하기 때문에 순서를 바꿔도 됩니다 식을 쓰면 1150+(1150-2)+(1150-2-2)+... 와 같은 방법으로 전 항에서 계속 2를 빼주면 1150+1148+1146+... 이 첫번째 항인 52가 나올때 까지 계속 지속됩니다 첫번째 항인 52가 나올때 까지 계속 지속됩니다 첫번째 항인 52가 나올때 까지 계속 지속됩니다 지금 해야할 것은 원래 급수와 그 급수를 반대로 뒤집은 식을 더하는 것입니다 왼쪽 변을 더하면 550개의 항의 합 곱하기 2가 됩니다 왼쪽 변을 더하면 550개의 항의 합 곱하기 2가 됩니다 왼쪽 변을 더하면 550개의 항의 합 곱하기 2가 됩니다 등차급수 공식을 증명했던 전 영상에서도 교환법칙만 적용된 두 항등식을 더하는 방법을 사용했습니다 공식이 어디로부터 왔는지에 대해 접근해보는 것을 좋아하기 때문에 두 급수의 합을 구할 것입니다 52+1150은 무엇이 나올까요? 1202가 나옵니다 이 숫자는 매우 익숙하실 것입니다 그 다음으로 54+1148을 하면 어떤 수가 나올까요? 1202가 나옵니다 어떠한 방식대로 진행될 것인지 이제 다 알 텐데 56+1146을 계산하면 결과가 어떻게 될까요? 1202가 나옵니다 다른 지표에서도 마찬가지로 마지막 두 지표까지 1202가 나옵니다 전부 다 더하면 어떤 값이 나오나요? 1202가 나옵니다 1202가 몇개 있나요? 550개가 있습니다 1202라는 숫자가 550개가 있습니다 그 결과는 550×1202와 같을 것입니다 그 결과는 550×1202와 같을 것입니다 그래서 만약 550개의 항을 구하고 싶었다면기 위해서는 양변을 모두 2로 나누어주면 됩니다 2로 나누어주고 2로 나누고 2로 나누어주고 2로 나누고 2로 나누어주면 처음 공식에 대입한 값과 같은 결과가 나옵니다 그 값이 바로 550×1202÷2 입니다 등차급수 공식이 도움이 되셨기를 바랍니다