유한등차급수 공식 증명

지난 영상에서 우리는 n까지의 모든 양의 정수의 합이 2분의 n(n+1)이 된 다는 것을 증명했습니다 우리는 그 공식을 귀납법을 통해 증명했었죠 이 영상에서 제가 보여드릴 것은 그 방법보다 더 쉬운 증명법이 있다는 것입니다 귀납법이 아닌 다른 증명법이요 이전 영상에는 포함되지 않았지만, 지금부터 그 증명법이 실재한다는 것을 보여드리겠습니다 그래서 여러분은 귀납법만이 그 공식을 증명하는 유일한 방법이 아니라는 것을 알게되겠죠 자, 우리는 s(n)을 n까지의 모든 양의 정수의 합이라고 정의할 겁니다 그러면 이 정의에 의해 이 식은 1+2+3+ 쭉 해서 + n-1+n이 되겠죠 그러면 이것이 n까지의 모든 양의 정수의 합이 되겠죠 이게 우리가 방금 정의한 방식이구요 다른 방식으로 한 번 더 써봅시다 방금 썼던 식과 동일한 식을 약간 다른 순서로 써보도록 하겠습니다 우리는 이 똑같은 식을 n + n-1 +n-2 쭉 해서 +2+1 로 둘 수 있죠 여기서 우리가 또 할 수 있는것은, 우리는 이 두 식을 더할 수가 있죠 s(n) + s(n) 은 2 곱하기 s(n)이 될것이구요 그러면 2s(n)을 왼쪽에 쓰고요 그리고, 오른쪽에 있는 식도 더해줄 수 있겠죠 우리가 어떤 식으로 더하기를 하게 될 것이냐면요 이 부분과 이 부분을, 또 이 부분과 이 부분을 각각 더해줄겁니다 우리는 이 두 식을 더해야하고요 우리가 어떤 식으로 더하기를 하더라도 상관없습니다 1 + n은 n+1이 되고요 그리고 나서 2와 n-1을 더하겠죠 어떤 식이 나오나요? 이쪽에 한 번 써볼게요 2 + (n-1)은 2+n-1과 같죠 그런데 이 식은 n+1과 같네요 그래서 이것도 n+1이 되겠네요 또 여기서는 3+n-2 혹은 n-2+3으로도 나타낼 수 있는데 이것 역시 n+1이 되겠네요 이렇게 끝이 될 때까지 계속해서 이렇게 더하기를 하면 되는데요 n-1+2 역시 n+1이 되고요 그리고 마지막에서도 n+1을 얻게되죠 그러면 이 전체의 값은 어떻게 될까요? 음, 우리가 n+1을 몇개나 얻었는지 볼까요? 우리는 총 n개의 n+1을 얻었습니다 이 각각의 합이 모두 n+1이고 1부터 시작해서 n까지 있으니 총 n개의 n+1을 얻었다고 할 수 있겠죠 그래서, 이 식은 곧 n(n+1)과 같게 됩니다 그래서, 이 모든 양의 정수의 합의 두 배는 n(n+1)이 됩니다 그래서, 이 2s(n)을 2로 나누면 모든 양의 정수의 합은 2분의 n(n+1)이 되겠네요 자, 그러면 우리가 귀납법 없이 증명하는 방법을 배웠네요