등차급수란?

이번 시간에는 등차수열의 합을 표현하는 방법을 공부해보겠습니다 이번 시간에는 등차수열의 합을 표현하는 방법을 공부해보겠습니다 우선, 간단한 등차 수열을 생각해봅시다 이 수열은 1로 시작해서 1씩 증가합니다 1씩 증가합니다 이렇게 1, 2, 3 에서 n까지의 수열을 생각해봅시다 질문이 하나 있는데요 이 수열의 합을 어떻게 표현할 수 있을까요? n까지의 합을 나타내는 새로운 문자를 생각해봅시다 이것을 Sn이라 하겠습니다 그러니까 이 Sn은 1 + 2 + 3 으로 시작해서 + n까지 더하면 됩니다 여기서 창의적인 접근이 필요합니다 일단 Sn을 다시 써보겠습니다 그러나 아까와는 다르게 써보려고 합니다 역순으로 쓰는 거죠 이제는 n + (n - 1) + + (n - 2)로 시작해서 이렇게 + 1까지 계속합니다 아래의 식도 당연히 Sn과 같습니다 따라서 두 식을 변끼리 더해보겠습니다 우선 왼쪽은 Sn + Sn이 됩니다 이것은 2Sn과 같습니다 이제 우변을 더해봅시다 놀라운 결과를 볼 수 있을겁니다 1과 n을 더하면 (n + 1)이 됩니다 마찬가지로 2와 (n - 1)을 더해도 (n + 1)이 됩니다 마지막으로 3과 (n - 2)를 더해봅시다 역시 (n + 1)이 됩니다 눈치채셨나요? 같은 방법으로 끝까지 계속하면 여러분은 마지막 두 항의 합까지 (n + 1)이 된다는 것을 알 수 있을 겁니다 그런데 (n + 1)이 몇 개나 있을까요? n개가 있습니다 왜냐하면 이 수열에 n개의 항이 있기 때문입니다 이를 정리하면, 2Sn은 (n + 1)이 n개 있는 것과 같습니다 따라서 n * (n + 1)로 정리할 수 있습니다 Sn을 구하기 위해서 양쪽을 2로 나누겠습니다 그러면 왼쪽(Sn)은 이 수열의 총합이 됩니다 이 수열은 1으로 시작해서 n까지 1씩 증가하는 등차수열이었습니다 이제 이 수열의 총합을 빠르게 계산할 수 있습니다 1부터 100까지의 합을 계산해봅시다 총합은 100 * 101을 2로 나눈 값이 됩니다 이렇게 빠르게 구할 수 있습니다 다음 강의에서는 모든 등차수열의 합을 빠르게 구하는 방법을 알아보겠습니다 이 수열은 1로 시작했고 n까지 1씩 증가하였습니다 이 식은 다음과 같이 정리할 수 있겠네요 총합은 (n + 1) / 2의 n배인데 이 n은 수열의 n번째 항을 의미하고 그리고 이 1은 수열의 첫 번째 항을 의미한다고 볼 수 있습니다 그러니까 이 값은 첫째항과 n번째 항의 평균과 같다는 것을 알 수 있습니다 이를 다시 쓰면 Sn은 첫째 항과 n번째 항의 평균에 n을 곱한 것으로 볼 수 있습니다 그러나 모든 등차수열의 총합이 첫째항과 n번째 항의 평균에 n을 곱한 것과 같다는 것을 증명해야 합니다