예제: 등차급수(점화식)

지금부터 재귀적으로 등차수열을 정의하겠습니다 수열의 i번째 항이 i-1 번째 항에 11을 더한 것과 같다고 합시다 각 항은 그 전 항보다 11씩 클 것입니다 이제 기반 조건을 설정해야 하는데 앞서 만든 등차수열의 첫 번째 항을 4라고 합시다 여기 주어진 등차수열에 대한 재귀적 정의에 대해 여러분에게 권하고 싶은 것은 이 수열의 650항 까지의 합을 구해보는 것 입니다 아래에 적겠습니다 앞서 정의한 등차수열의 첫 항 부터 650 항 까지의 합을 구해봅시다 그리고 언제나 그랬듯 영상을 멈추고 구해봅시다 이것을 어떻게 생각해야할까요? 물론 많은 영상들에서 등차수열의 합을 계산하기 위해 직관을 가지고 공식을 얻어냈습니다 등차급수라고 부르는 것에 대해서 말입니다 그리고 첫 항부터 n번째 항까지의 합은 첫 항 더하기 마지막 항 나누기 2 즉 첫 항과 마지막 항의 평균에 항의 수를 곱하는 것입니다 그리고 이것은 오직 등차수열에 대해서만 성립합니다 각 항은 더 크거나 작은 값이 그 전 항에 더해지거나 빼집니다 여기에 있는 경우는 어떤가요 첫 번째 항과 마지막 항 그리고 n은 얼마일까요 물론 n이 650임을 압니다 n은 650이고 첫번째 항의 값이 4라는 것도 압니다 이제 n번째 항이 얼마인지를 알아야 합니다 또는 650번째 항이 얼마인지를 알아야 합니다 조금 생각해봅시다 합을 구하려 한다면 합을 구하려 한다면 즉 두 번째 항을 더하는 것입니다 그래서 두 번째 항을 구한다면 4 + 11인 15입니다 다시 11을 더한다면 26이고 계속해서 11을 더합시다 11을 얼마나 더해야 할까요? 두 번째 항을 얻기 위해서 11을 1번 더했습니다 세 번째 항을 얻기 위해서 11을 2번 더했습니다 때문에 650번째 항을 얻기 위해서 650번째 650번째 항을 얻기 위해서 우리는 11을 몇 번 더해야 할까요 보세요 두 번째 항을 얻기 위해 11을 한 번 더하고 세 번째 항을 얻기 위해 11을 두 번 더했습니다 때문에 650번째 항을 얻기 위해서 11을 650-1인 649번 더해야 합니다 짚고 넘어갈 점은 첫 번째 항을 얻기 위해서 여러분은 11을 1-1번인 0번만큼 더합니다 11을 0번 더하게 됩니다 4부터 시작했기 때문에 11을 더하지 않아도 됩니다 그리고 두 번째 항은 11을 1번 더하고 세 번째 항은 11을 2번 4번째 항은 11을 3번 650번째 항은 11을 649번 더합니다 만약 11을 649번 더한다면 얼마인가요 4 더하기 649 곱하기 11은 무엇인가요 계산기로 계산합시다 이 값은 649 곱하기 11 더하기 4는 7143입니다 7143 때문에 650번째 항은 7, 143입니다 이제 이것을 계산할 수 있습니다 계산기로 계산해보면 7143 더하기 첫 번째 항 4를 더해주면 7143 더하기 4입니다 이것을 우리는 2로 나눕니다 그러면 3,573.5를 얻습니다 이제 항의 수인 650을 곱합니다 650을 곱해보면 꽤 큰 수가 되는데 2,322,755가 됩니다 2322775 이미 까먹었습니다 스크린에서 벗어나니 기억하기가 어렵습니다 좋습니다 2322775 계산기가 손에 있다는 점이 행복합니다 하지만 손으로도 할 수 있습니다 언제나 말하지만 여러분도 한번 해 보세요 이것은 산수를 연습하는데 절대 해가 되지 않습니다