예제: 등차급수(합의 식)

-50 더하기 -44 더하기 -38 더하기 2038 그리고 2044까지 쭉 더한 합이 있습니다 이 동영상을 멈추고 합을 구할 수 있는지 봅시다 함께 해보죠 어떻게 하면 될지 생각해봅시다 첫 항은 -50이고 다음은 -44입니다 두 번째 항이 -50+6이고 세 번째 항에서 또다시 6을 더합니다 -44+6은 38이고 이런 식으로 6을 더해나가서 2038에서 2044로 가기 위해서 마지막 항을 얻기 위해서 6을 또 한 번 더합니다 모든 항은 이전 항보다 6씩 많습니다 이제 해봅시다 이 합은 등차급수입니다 등차수열의 합이란 의미죠 각 항은 이전의 항보다 6이라는 상수만큼 큰 값을 가집니다 등차수열의 합을 어떻게 구하는지는 알고 있습니다 화면에 조금의 다양성을 부여하기 위해 다른 색깔로 해보죠 등차수열의 첫 n 항의 합을 구할 때나 등차수열의 첫 n 항의 합을 구할 때나 등차수열의 첫 n 항을 구할 때 등차수열의 첫 n 항을 구할 때 첫 항과 마지막 항을 더해 첫 항과 마지막 항을 더해 2로 나누어 평균을 구할 수 있고 2로 나누어 평균을 구할 수 있고 여기에 다루고자 하는 항의 수를 곱해 여기에 다루고자 하는 항의 수를 곱해 여기에 다루고자 하는 항의 수를 곱해 구할 수 있습니다 구할 수 있습니다 구할 수 있습니다 여기서 우리는 첫 항과 마지막 항이 무엇인지 알고 있습니다 초항이 a1이고 마지막 항인 2044를 an이라고 합시다 n이 뭘까요 우리가 다루고자 하는 항이 몇 개인가요 이것들에 대해 생각을 해보자면 -50부터 2044까지 도달하기 위해 6을 몇 번 더해야 하나요 2044 빼기 -50은 2044 빼기 -50은 2044 더하기 50과 같네요 즉 2094이고 이걸 계산한 이유는 -50부터 2044까지 얼마나 가야 하는지 알기 위해서입니다 0으로 가기 위해 50이 필요하고 2044까지 또 한 번 가야 합니다 0으로 가기 위해 50 그리고 또 2044만큼 가야 합니다 총 2094만큼 가야겠네요 한 번 가보자면 6을 매 항에 더한다면 2094만큼 증가하기 위해 6을 몇 번 더해야 하나요 이를 알기 위해 2094를 6으로 나눠봅시다 6은 20에 3번 들어가고 3 곱하기 6은 18이고 20 빼기 18은 2이며 9를 끌어오면 6은 29에 4번 들어가고 4 곱하기 6은 24이고 29 빼기 24는 5이며 4를 다시 끌어오면 54가 남네요 6은 54에 9번 들어가고 9 곱하기 6은 54입니다 이제 끝났네요 그러므로 -50부터 2044까지 가기 위해서는 6을 349번 더해야 하고 한 번 더하고 두 번 더하고 6을 349번 더한 값이 되었네요 몇 개의 항이 있나요 349개의 항이 있다고 생각할 수 있지만 사실 349+1개의 항을 가지고 있습니다 6을 더한 횟수가 349이고 이것이 6을 처음 더한 거고 6을 두 번째 더한 거고 6을 349번 더한 것입니다 명확히 하자면 여기가 6을 349번째 더한 것이지만 아직 첫 번째 항을 세지 않았기 때문에 아직 첫 번째 항을 세지 않았기 때문에 첫 번째 항과 6을 349번 더한 항들이 있기 때문에 첫 번째 항과 6을 349번 더한 항들이 있기 때문에 총합에 들어 있는 항은 350개의 항이네요 총합에 들어 있는 항은 350개의 항이네요 이러한 경우 n은 350이 될 겁니다 n은 350입니다 초록색으로 할게요 첫 350개 항의 합은 첫 350개 항의 합은 첫 항과 마지막 항의 평균인 -50+2044를 2로 나눈 것에 -50+2044를 2로 나눈 것에 350을 곱한 값과 같고 계산해보면 -50+2044는 무엇이 될까요 -50+2044는 2094가 될 것이고 2094가 될 것이고 2094를 2로 나눈 것에 2094를 2로 나눈 것에 350을 곱해주고 350을 곱해주고 294에 350을 곱해주고 나눠야 하는데 294가 아니네요 294가 아니네요 뭐죠 뭐죠 계산이 안 되네요 계산이 안 되네요 2094가 아니라 사실 1994입니다 2094가 아니라 사실 1994입니다 조금 전에 뇌가 멈췄었습니다 1994를 2로 나누고 350을 곱하면 되니까 1994를 2로 나누고 350을 곱하면 되니까 350을 2로 나눈 것을 175이고 1994에다가 175를 곱하면 되겠네요 1994에다가 175를 곱하면 되겠네요 1994에다가 175를 곱하면 되겠네요 이것은 계산기가 필요할 것 같네요 이것은 계산기가 필요할 것 같네요 계산기로 계산해보면 1994 곱하기 175는 1994 곱하기 175는 348950이 나옵니다 348950입니다 이것을 시그마 형태로 표현할 수 있습니다 이제 n이 무엇인지 압니다 우리가 찾고자 하는 답을 찾았고 여러분이 궁금하시다면 합의 형태로 나타낼 수 있는데 k가 1일 때부터 350이 될 때까지 k가 1일 때부터 350이 될 때까지 여기는 -50이고 여기를 -50+6(k-1)으로 쓸 수 있겠네요 여기를 -50+6(k-1)으로 쓸 수 있겠네요 첫 항은 6을 더한 값이 아니고 첫 항은 6을 더한 값이 아니고 마지막 항은 6을 349번 더한 값입니다 마지막 항은 6을 349번 더한 값입니다 우리가 봤듯 6을 349번 더할 것입니다 그러면 값을 얻을 수 있습니다 등차수열을 시그마의 형태로 나타낸 이것을 여러분들이 즐겨서 다행이네요 여러분들이 즐겨서 다행이네요 아까 전의 실수는 양해 부탁드립니다 뇌에 무슨 일이 있었는지 저도 잘 모르겠네요