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주요 내용

예제: 급수의 값 구하기 (심화)

시그마의 속성을 사용하여 간단한 합의 조합으로 합을 나타낼 수 있고 공식을 구할 수 있습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

합을 구하는 거라고 말해도 좋고 수식의 결과를 계산한다고 말해도 좋아요 어쨌거나 이 식의 답을 구해 보죠 방법은 많습니다 무식하게 풀 수도 있죠 n=1 부터 n=2, n=7일 때까지 각 값은? 이것도 맞는 방법입니다 하지만 저는 이게 시그마 표기법을 배울 기회라고 생각합니다 식을 쉽게 쪼갭시다 여러분이 만약 n=1일 때부터 n=7일 때까지 다 더한다면 n=1부터 7 까지의 3곱하기 n의 제곱의 합 더하기 n=1 에서 7까지의 2곱하기 n의 합 더하기 n=1에서 7까지의 4의 합을 구하려고 할 겁니다 조금 헷갈린다면 이걸 전개해서 모든 항을 재배치 해보세요 이 두 수식은 같습니다 증명은 생략하겠습니다 하지만 식을 각각 전개한다면 제 말이 틀리지 않다는 걸 알 수 있습니다 4의 시그마 부분은 쉬운 계산입니다 n=1일 때 합은 4입니다 n=2일 때도 합은 4입니다 n=3일 때도 합이 4입니다 그래서 4를 총 7번 더하게 됩니다 따라서 7 곱하기 4 28이 됩니다 이제 여기를 볼까요 이번에도 무식하게 해보죠 2 x 1 = 2, 더하기 2 x 2 = 4 2 x 7까지의 값을 더하는 걸로 이해해도 되고 그냥 풀어써도 됩니다 풀어써보죠 2 더하기 4 더하기 6 더하기, 같은 방식으로 7항일 때인 14까지 더합니다 2로 묶겠습니다 그럼 2 곱하기 (1 더하기 2 더하기 3 더하기 ... 같은 식으로 ... 더하기 7 ) 시그마로 다시 쓰면 2 곱하기 이 덧셈식이니까 n이 1부터 7까지의 합입니다 이 식이 이 부분입니다 여기에 이 28을 더해야 합니다 뒷 수식과 섞이지 않게 괄호를 붙이겠습니다 같은 방식으로 하면 됩니다 n= 1부터 7 까지의 3 x n^2를 구합니다 자홍색으로 한 것처럼 똑같이 하면 3 곱하기 n=1에서 7까지의 n^2의 합과 같을 것입니다 3으로 묶었습니다 2를 묶은 것처럼요 확실히 구분하려고 괄호를 넣었습니다 이 상황에서 쓸 수 있는 계산 공식이 있습니다 이 계산에 대한 공식도 있고 이 계산에 대한 공식도 있고 여러분도 찾을 수 있습니다 제가 편의를 위해 공식을 알려드릴겁니다 공식대로 이 부분을 풀면 (n의 세제곱 나누기 3) 더하기 (n의 제곱 나누기 2) 더하기 n 나누기 6 이게 이 부분 답이고 이 부분의 공식은, n이 1에서 7까지- 죄송합니다 앞을 수정해야 해요 이 n은 마지막 값이 되야 합니다 따라서 7을 세제곱해서 3으로 나눈 값입니다 이것도 n이 아니죠 제가 생각 없이 공식을 사용했군요 (7의 세제곱 나누기 3) 더하기 (7의 제곱 나누기 2) 더하기 7 나누기 6 이게 합입니다 이건 첫 항과 마지막 항의 평균으로 볼 수 있습니다 첫번째 항은 1이고 마지막 항은 7이죠 그러면 평균을 구해서 항수만큼 곱합시다 7개의 항이 있으니 7을 곱합시다 그럼 이 가운데는 얼마일까요 1 곱하기.. 당연히 2도 곱합니다 이 초록색은 시그마 계산값입니다 여기에 2를 곱해야 하죠 여기에는 3을 곱해야 합니다 2로 곱하면 1 더하기 7은 8이고, 2로 나누면 4 4 곱하기 2는 8이니까 여기에 7을 곱하면 56 따라서 이건 56이 됩니다 이제 여기를 봅시다 원한다면 계산할 수 있겠죠 7^3을 계산하고 싶다면 계산기를 쓸 수도 있습니다 시간을 아끼기 위해 그렇게 합시다 계산해 보죠 7의 세제곱 나누기 3 더하기 7의 제곱 나누기 2 더하기 7 나누기 6은 140이 되는군요 따라서 3 곱하기 140 이 색으로 합시다 3 곱하기 140 더하기 56 더하기 28이 될 것입니다 계산기를 꺼냈으니 사용합니다 140 곱하기 3은 420이 나오는데 여기에 더하기 56 더하기 28을 하니까 504가 되는군요 따라서 이 합은 504입니다 푸는 방법은 여러가지이지만 이런 방법으로도 문제를 쪼갤 수 있다는 것을 아는 것이 중요합니다 여기 공식들이 있습니다 저는 공식의 유도와 증명하는 방법을 찾아보는 걸 추천합니다 전 공식에 대해 말하지 않을 겁니다 쓸 줄만 알면 되죠 공식의 결과값이 무엇이든 이건 3승 나누기 3 + 2승 나누기 2 + 6으로 나눈 것입니다 칸 아카데미 사이트에서 n^2들의 합 공식을 찾아보면 어떻게 유도되는지 알 수 있을 겁니다 수열의 합의 공식과 유도방법에 대해서도요