엄밀한 정의를 이용하여 x=3에서 x²의 도함수 구하기

저번 강의에서 곡선 위의 한 점에서의 기울기를 구하는 방법을 배웠습니다 저번 강의에서 곡선 위의 한 점에서의 기울기를 구하는 방법을 배웠습니다 먼저 우리가 기울기를 구하고 싶은 점에 대해 별로 떨어지지 않은 점을 이은 직선의 기울기를 먼저 구했죠 별로 떨어지지 않은 점을 이은 직선의 기울기를 먼저 구했죠 즉 할선의 기울기를요 식은 좀 복잡해 보일 수 있지만 실제로 이건 그냥 가까운 점에서의 y좌표가 되고 이건 원하는 점에서의 y좌표가 돼서 y좌표가 되고 이건 원하는 점에서의 y좌표가 돼서 이게 y변화량이었죠 그걸 x변화량으로 나눴고요 우리가 들었던 이 예에서는 두 x값 사이의 차가 h였죠 우리가 들었던 이 예에서는 두 x값 사이의 차가 h였죠 이 거리가 h였어요 그렇게 이 직선의 기울기를 구했고요 그리고 이 점이 이 점에 점점 가까이 가는 극한을 생각했죠 그리고 이 점이 이 점에 점점 가까이 가는 극한을 생각했죠 이 점이 사실상 이 점이 되게끔 아주 가까이 접근한다면 이 기울기가 원하는 접선의 기울기가 된다는 걸 알 수 있죠 그리고 그 극한을 우리의 함수의 도함수로 정의를 했습니다 f'(x)와 같다고 썼죠 이번 강의에서는 이걸 실제로 적용하는 예를 보여서 여러분이 좀 더 구체적으로 이해를 할 수 있게 해보려고 합니다 시작해보죠 일단 정확히 한 점에서의 기울기를 구하는 특수한 경우에 대해 다뤄봅시다 일단 정확히 한 점에서의 기울기를 구하는 특수한 경우에 대해 다뤄봅시다 축들을 다시 그리겠습니다 축들을 그릴게요 지금 우리 곡선이, 이게 우리가 보는 곡선인데요 y=x^2이죠 이게 y축이고 이게 x축이고요. x=3에서의 기울기가 궁금해요 제가 기울기라고 말씀드릴 때 여기서 접선을 하나 생각할 수 있죠 이렇게 가는 접선을 생각할 수가 있고요 딱 저 점에서 함수와 한 번 스치듯이 만나겠죠 그럼 이 접선의 기울기는 얼마일까요? 접선의 기울기, 즉 이 점에서의 함수의 기울기는 얼만가요? 접선의 기울기, 즉 이 점에서의 함수의 기울기는 얼만가요? 이걸 계산을 할 때요, 앞에서 사용했던 테크닉을 똑같이 사용한 뒤에 그걸 일반화해서 어떤 수가 주어질 때마다 매번 새로 할 필요가 없게 할 거예요 그럼 옆에서 다른 점을 하나 잡아보죠 3+Δx라고 부릅시다 표기를 조금 바꿔볼게요 어떤 책에서는 h를 쓰고 또 다른 책에서는 Δx를 쓰니까 둘 다 익숙해져서 나쁠 건 없죠 즉 이게 3+Δx입니다 그럼 먼저 이 점은 뭐죠? 곡선이 y=x^2니까 f(x)가 3의 제곱이 될테고 이게 9가 되겠죠 이 점이 (3,9)입니다 그럼 이 점은 뭐예요? 여기 위까지 올라가서 본다고 하면 이 점은 뭐죠? 여기서는 x가 3+Δx이고요 여기 있는 거랑 똑같은 거예요 x0+h과요 x0+h과요 그냥 3+h라고 부를 수도 있었겠죠 여기서는 3+Δx고요 그럼 y값은 얼마가 될까요? x값이 얼마든 간에 곡선 위의 점이니까 그 x값의 제곱이 될 거예요 x값이 얼마든 간에 곡선 위의 점이니까 그 x값의 제곱이 될 거예요 즉 (3+Δx)^2가 되겠죠 이제 이 할선의 기울기를 계산해 봅시다 이제 이 할선의 기울기를 계산해 봅시다 조금 보기 편하게 확대를 좀 해 볼게요 이 부분만 좀 확대를 하면 대충 이렇게 생겼겠죠 점 하나는 이 위치에 있을 거고요 다른 점은 여기 있겠죠 이게 할선이고요 이게 할선이고요 이렇게요 이건 여기 이 점 (3,9)죠 여기 이 점은 x좌표가 3+Δx 3보다 조금 더 큰 수죠 y좌표를 보면 그 제곱이 될 테고요 즉 여기가 3+Δx고요 이건 뭐죠? 9하고 그냥 풀어서 쓰고 있는 거예요. 분배법칙을 두 번 써도 되고요 그냥 풀어서 쓰고 있는 거예요. 분배법칙을 두 번 써도 되고요 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 이니까 이건 9에 이 둘의 곱의 두 배를 더한 게 될 테고요 이건 9에 이 둘의 곱의 두 배를 더한 게 될 테고요 즉 6Δx를 더하고 Δx의 제곱을 더하면 되죠 이게 두 번째 점의 좌표예요 좀 복잡해보일 수가 있는데요. 실제로 한 건 단지 이 x값을 제곱한 것밖에 없어요. y=x^2 위에서 보고 있으니까요 이제 할선의 기울기는 y변화량을 x변화량으로 나눈 값이 되겠죠 y변화량을 x변화량으로 나눈 값이 되겠죠 y변화량을 보면요, 먼저 지금 이 y값에서요 9 + 6Δx + (Δx)^2인데요 이게 이 y값이고 거기서 이 y값을 빼면 되죠 즉 9를 빼면 됩니다 그게 y변화량이에요 그걸 x변화량으로 나눠야죠 x변화량은 얼만가요? 여기는 금방 간단하게 해결이 될 건데요 여기 더 큰 x값을 보자면, 분자에서 위쪽 점을 기준으로 봤으니 분모에서도 같은 점을 기준으로 잡아야 할 거고요 3+Δx가 될 거고 여기의 x값은 얼마죠? 3을 빼면 되죠? 여기 값이 3이죠 이제 이걸 정리하면 어떻게 됩니까? 분자는 먼저 9끼리 지워지죠 9-9고요 분모에선 어떻게 되죠? 여기 3과 -3이 서로 지워지겠죠 즉 x변화량은 그냥 Δx인데 이게 말이 되는 이유는 지금 Δx가 정확히 이 점과 이 점의 차이거든요 이게 말이 되는 이유는 지금 Δx가 정확히 이 점과 이 점의 차이거든요 즉 Δx가 x변화량이 되어야 하고 즉 할선의 기울기가 어떻게 정리되냐면 먼저 6에다 x변화량을 곱한 것에 변화량 제곱을 더하고 그걸 다시 변화량으로 나눈 거예요 이건 더 약분이 되죠 분자와 분모를 모두 x변화량으로 나눠봐요 분자와 분모를 모두 x변화량으로 나눠봐요 너무 단조로우니까 색을 좀 바꿀게요 즉 접선, 아니 할선의 기울기가 이 두 점을 지나는 직선의 기울기가 뭐와 같냐면 분자와 분모를 모두 나눠주면요 이게 6이 되고 그냥 분자와 분모를 나눠주는 건데요 Δx를 더해서 6+Δx가 되죠 즉 이게 할선의 기울기예요 기울기가 6+Δx예요 여기 이 직선이죠 여기 살짝 붉은색으로 그린 이 직선이죠 지금 이 점이요 예컨대 Δx=1이었으면 예컨대 이 두 점이 3과 4였으면 지금 기울기가 6+1이 되겠죠 4를 고르면 Δx=1일 테니까요 6+1이 되겠죠 4를 고르면 Δx=1일 테니까요 즉 기울기가 7이 될 거예요 지금 Δx의 값에 관계없이 3과 3+Δx 사이의 기울기를 구할 수 있는 일반적인 공식이 있죠 두 점 사이에요. 우리가 원래 보고 싶었던 건 정확히 이 점에서의 기울기였죠 우리가 원래 보고 싶었던 건 정확히 이 점에서의 기울기였죠 그럼 Δx가 계속 작아지면 뭐가 일어나는지 봅시다 그럼 Δx가 계속 작아지면 뭐가 일어나는지 봅시다 지금 이게 Δx인데요 이 거리죠 Δx가 좀 더 작아지면 할선은 이렇게 되겠죠 더 작아지면 할선이 이렇게 될 거고 더 작아져요 더 작아지면 할선이 이렇게 될 거고 더 작아져요 그럼 접선의 기울기에 상당히 근접하게 되겠죠 그럼 접선의 기울기에 상당히 근접하게 되겠죠 우리가 기울기를 구하려는 직선이 바로 이 접선이에요 우리가 기울기를 구하려는 직선이 바로 이 접선이에요 Δx가 0으로 갈 때의 극한을 구합시다 Δx가 0으로 가는 극한을 생각하는데 우리의 할선의 기울기 6+Δx의 극한값은 얼마죠? 우리의 할선의 기울기 6+Δx의 극한값은 얼마죠? 상당히 단순하죠 그냥 이걸 0으로 두면 값이 6이 될 거예요 즉 x=3에서 우리의 접선의 기울기는 6이 되는 거예요 즉 x=3에서 우리의 접선의 기울기는 6이 되는 거예요 다르게 보는 방법도 있죠 f(x)=x^2라고 쓰면요 지금 x=3에서 도함수의 값 즉 이 함수의 x=3에서의 접선의 기울기를 보면 그냥 x=3에서 계산한 거고 그 값이 6이예요 아직 임의의 점에서 이 직선의 기울기를 구하는 일반적인 공식을 못 구했는데 다음 강의에서 해봅시다