엄밀한 정의를 이용하여 일반적인 점에서의 x²의 도함수 구하기

. 저번 강의에서 y=x^2라는 함수의 곡선에 대해 어떤 한 점에서의 기울기를 구했습니다 이제 이걸 일반화해서 y=x^2 위의 어떤 점에서든 기울기를 구할 수 있는 공식을 찾을 수 있는지 알아봅시다 함수를 여기에 다시 그려볼게요 좋은 그림이 있어서 나쁠 건 없으니까요 이게 y축을 그린 거고요 이게 우리의 x축이에요 x축이고요 곡선을 그릴게요 이렇게 생겼겠죠 이미 여러번 보신 곡선이에요 y=x^2에 해당하는데요 지금부터는 아주 일반적으로 얘기를 합시다 지금 우리가 해야할 건 뭐냐면, 일단 그냥 도함수 정의를 써볼게요 도함수 정의를 지금 우리가 해야할 건 뭐냐면, 일단 그냥 도함수 정의를 써볼게요 여기에 어떤 점을 하나 잡고요. x라고 해봐요 일반적으로 하는 건데요 x에서의 기울기를 구하고 싶어요 어떤 함수를 찾아서 x를 대입하면 x에서의 기울기가 나오는 그런 함수를 찾고 싶은 거예요 그 함수를 f'(x)라고 하겠습니다. f(x)의 도함수가 되는 거죠 결국 그냥 뭘 하는 거냐면요 f(x)를 보자면 x를 대입하면 거기서의 함숫값을 주고 있죠 이 그래프 위에서 말이에요 f'(x)에 대해서는 똑같은 x를 주더라도 거기서의 함숫값에 관한 정보를 주진 않아요 f'(x)에 대해서는 똑같은 x를 주더라도 거기서의 함숫값에 관한 정보를 주진 않아요 아, 이게 f(x)입니다 하지는 않는다는 얘기죠 대신 그 점에서의 기울기의 값을 줄 거예요 즉 f'(x)에 어떤 값을 대입하면 그 점에서의 기울기를 준는 함수인데 예컨대 3을 대입하면 3에서의 기울기가 6이라고 나올 거라는 거죠 예컨대 3을 대입하면 3에서의 기울기가 6이라고 나올 거라는 거죠 저번 예시에서 본 내용이죠 그런 걸 하고 싶은 거예요 이제 지난 두 강의에서 뭘 배웠냐면 f'(x)를 어떻게 정의하냐면 말이죠 그냥 이걸 이렇게 써볼게요 x와 x에서 조금 떨어진 점을 잇는 할선의 기울기에요 이 할선의 기울기를 보면 먼저 y변화량인데 x에서 조금 떨어진 점에서의 y값이죠 x에서 조금 떨어진 점에서의 y값이죠 f(x+h)에서 x에서의 함숫값을 빼면 되겠죠? 왜냐면 이게 지금 여기니까요 f(x)니까요 f(x)를 빼면 돼요 그걸 x변화량으로 나누면 되죠 여기가 x+h라고 하면 x변화량은 x+h - x죠 여기가 x+h라고 하면 x변화량은 x+h - x죠 이 거리 자체가 h라고 할 수도 있고요 즉 x변화량이 h가 될 거예요 즉 이게 어떤 두 점 사이의 할선의 기울기가 되는 거죠 즉 이게 어떤 두 점 사이의 할선의 기울기가 되는 거죠 또 아까 무슨 얘기를 했냐면 접선의 기울기를 구할 때 그냥 h가 0으로 갈 때 이 식의 극한을 생각하면 된다고 했죠 그럼 접선의 기울기를 얻는 거예요 이제 이걸 f(x)=x^2라는 특수한 함수에 대해서 적용해봐요 y=x^2라고 해도 되고요 즉 여기서 점을 하나 잡는데 (x,x^2)라는 점을 살펴봐요 f(x)가 그냥 x 제곱이에요 그리고 또 이 점을 보면요 좀 더 선명한 색을 써보면 여기가 x+h예요 지금 이 점이고요 좀 아래에 있죠 그리고 x+h의 제곱이죠 . 아시다시피 지난 강의에서는 특수한 x의 경우를 봤죠 3인 경우를 봤는데 지금은 일반적인 식을 보이고 싶은 거예요 임의의 x가 주어졌을 때 지난 강의에서 한 걸 계속 반복할 필요가 없도록요 일반적인 함수를 찾을 겁니다 7이 주어지면 7에서의 기울기를 구하고 -3이 주어지면 -3에서의 기울기를 구하고요 -3이 주어지면 -3에서의 기울기를 구하고요 100,000이 주어지면 100,000에서의 기울기를 구할 수 있게끔요 100,000이 주어지면 100,000에서의 기울기를 구할 수 있게끔요 여기다 적용해봅시다 y변화량을 x변화량으로 나눈 값을 알고 싶은 상황이에요 . 먼저 y변화량을 보면 일단 이 y값을 먼저 쓰고요 x+h의 제곱이죠 . 지금 이 y값을 쓴 거예요 지금 이거고요 (x+h)^2이죠 x+h를 잡은 뒤에 함숫값을 계산, 즉 제곱한 거고 그게 곡선 위에 있죠 즉 (x+h)^2인 거고요 그게 여기 있는 거고요 여기서 값은 얼마죠? 여기서 f(x)의 값은요, 지금 좀 복잡해지는데 x^2겠죠 x를 잡은 뒤에 거기서 함숫값을 계산하면 x의 제곱을 얻겠죠. 즉 x^2를 빼줍니다 그게 y변화량이에요 여기 지금 이 거리고요 도함수의 정의에 연관되는 부분을 찾자면 여기 이 푸른 식이 여기 이것과 같은 역할이죠 여기 이 푸른 식이 여기 이것과 같은 역할이죠 지금 함숫값을 계산한 거예요 보고 있는 함수가 f(x)=x^2인데요 x+h일 때의 함숫값을 계산한 건데요 제곱을 해야죠. a를 대입했으면 a^2이 됐겠죠 제곱을 해야죠. a를 대입했으면 a^2이 됐겠죠 사과를 넣으면 사과 제곱이 되는 거고요 x+h를 넣으면 (x+h)^2가 되는 거죠 x+h를 넣으면 (x+h)^2가 되는 거죠 이건 그런 거고요 또 여기 이 부분은 그냥 우리가 보고 있는 점에서 함숫값을 계산한 거죠 또 여기 이 부분은 그냥 우리가 보고 있는 점에서 함숫값을 계산한 거죠 여기서요 이게 y변화량입니다 그걸 x변화량으로 나눠봐요 x변화량을 보면 여기가 x+h고 여기가 x이면 x변화량은 그냥 h가 되겠죠 이 항은 거기서 나오는 거예요 즉 이건 그냥 두 점 사이의 기울기죠 이 두 점 사이의 기울기인데 물론 이 때 우리가 보고 싶은 건 이 점과 이 점이 서로 가까이 근접하는 그런 극한을 보고 싶은 거죠 이 점과 이 점이 서로 가까이 근접하는 그런 극한을 보고 싶은 거죠 이게 접선이 되도록요 그래서 h를 0으로 보내는 극한을 생각하고 f'(x)를 얻는 겁니다 이것과 정확히 같은 정의인데요 임의의 함수에 대해 일반적으로 얘기하는 게 아니라 특정한 함수를 쓴 거죠 f(x)=x^2에 대해서 본 거예요 즉 그냥 적용을 한 겁니다 f(x) 대신 x^2를 쓴 상황이죠 f(x+h) 대신 (x+h)^2를 쓴 거고요 이 극한을 계산할 수 있는지 봅시다 이건 h가 0으로 가는 극한과 같은데 제곱을 풀어서 써봅시다 같은 색으로 할게요 이게 x^2 + 2xh + h^2이고 여기서 x^2을 빼주죠 그냥 여기 있는 걸 전개한 것뿐이에요 그걸 전부 h로 나누고요 그럼 이걸 좀 정리할 수 있는지 봐요 일단 x^2가 있는 걸 바로 알 수 있고 -x^2가 있으니까 서로 지워질 거고요 다시 분자와 분모를 h로 나눌 수 있죠 다시 분자와 분모를 h로 나눌 수 있죠 즉 어떻게 정리가 되냐면요, f'(x)가 뭐와 같냐면 분자와 분모를 h로 나눴을 떄 2x+h를 얻죠 극한 기호를 빼먹었네요 이 극한과 같죠 굉장히 중요한 거예요 h가 0으로 갈 때 전부 h로 나눈 것의 극한인데 2x하고 h^2를 h로 나눴으니 h죠 지난 강의 내용을 기억하시면 특수한 x, x=3에 대해 했을 때는 6+Δx를 얻었었죠 특수한 x, x=3에 대해 했을 때는 6+Δx를 얻었었죠 즉 6+h를 얻었던 건데 굉장히 비슷한 형태에요 이제 여기서 h가 0으로 가는 극한을 취하면 여긴 그냥 지워지겠죠 즉 그냥 2x만 남은 것과 같은 거예요 이제 우리가 얻은 결론이 뭐냐면요, 굉장히 놀라운 결론인데요 흥미로운 결론이죠 f(x)가 x^2라고 했을 때 f'(x)=2x라는 거죠 지금 그걸 구한 거예요 강조하고 싶었던 건 이게 의미하는 바를 여러분이 이해하는 것이었습니다 강조하고 싶었던 건 이게 의미하는 바를 여러분이 이해하는 것이었습니다 f(x)는 어떤 값이 주어지면 그 값에서의 함숫값을 내놓는 거고요 f(x)는 어떤 값이 주어지면 그 값에서의 함숫값을 내놓는 거고요 f'(x)는 그 값에서의 기울기를 내놓는 함수가 되는 거죠 f'(x)는 그 값에서의 기울기를 내놓는 함수가 되는 거죠 좀 그려봅시다 아주 중요한 결론이니까요 처음에 생각했을 때는 직관적으로 다른 함수의 어떤 점에서의 기울기를 내놓는 함수를 생각하기 어려울 수 있어요 그러니까 이런 거죠 좀 더 제대로 그려볼게요 지금도 좀 그렇네요 이제 좀 만족스럽군요 양수 범위에서만 그려볼게요 그냥 다 그려볼까요 곡선이 대충 이렇게 생겼겠죠 그냥 다 그려볼까요 곡선이 대충 이렇게 생겼겠죠 이게 f(x)의 그래프입니다 f(x)=x^2인 곡선인데요 이런 거죠 이제 점 하나를 줘보세요 7에 대해 한 번 봅시다 7을 여기다 넣으면 제곱하는 거죠 49라는 수에 대응할 거예요 즉 여기에서 49를 얻는 거죠 (7, 49)가 되네요 여기서 함수를 그냥 쓰는 건 익숙하실 텐데요 그럼 f'(7)은 얼맙니까? f'(7)이요 2*7은 14인데요 14라는 수가 여기서 뭡니까? 무슨 의미죠? 그게 x=7일 때의 접선의 기울기가 되는 거예요 그게 x=7일 때의 접선의 기울기가 되는 거예요 즉 어떤 점을 잡고 거기서의 접선을 그리면 곡선에 딱 스치듯이 지나가는 직선인데 접선을 하나 그리면요 좀 접선같지가 않네요 이게 접선이면요 이해가 좀 되시죠 이 직선의 기울기를 보면요 y변화량 x변화량 다 하면 그 기울기가 14가 된다는 얘기입니다 x=7일 떄의 기울기를 보면 말이죠 꽤 가파른 상황이에요 기울기를 구하고 싶으면요 여기 x가 2라고 해봅시다 x=7일 때는 기울기가 14였죠 x=2일 때는 기울기가 얼마죠? f'(2)를 계산하면 2*2=4를 얻습니다 f'(2)를 계산하면 2*2=4를 얻습니다 즉 여기서 기울기는 4가 되죠 m=4라고 할 수가 있는 거예요. 기울기를 m이라고 쓰면요 f'(0)은 얼마죠? f'입니다 f(0)=0인 사실은 알죠? 0 제곱은 0이니까요 그럼 f'(0)의 값은 얼말까요? 2*0이니까 그냥 0이겠죠 그 값도 0입니다 그게 뜻하는 바는 뭘까요? 의미 해석이 어떻게 됩니까? 여기서의 접선의 기울기가 0이라는 거죠 기울기가 0인 직선은 이렇게 생겼죠 그냥 수평선같은 모양이에요 그리고 그게 말이 되는 것 같죠 x=0일 때는 접선이 수평선이 되겠죠 x=0일 때는 접선이 수평선이 되겠죠 또 다른 예를 들어봅시다 -1에 대해서 봐요 여기에 대해 보고 있는 거죠. x=-1인데 f(-1)은 그냥 제곱하면 되죠 x^2에 대해 보고 있으니까요 즉 그냥 1이에요 그게 지금 이 점인데 f'(-1)은 얼마인가요? f'(-1)은 2*(-1)이죠 2에다 -1을 곱하면 -2를 얻죠 그게 무슨 뜻이죠? x=-1일 때 이 곡선의 접선의 기울기가 -2가 된다는 뜻이죠 즉 여기서 접선을 하나 그리면요 이렇게 생겼을텐데요. 보시면 분명히 우하향 곡선이죠 이렇게 생겼을텐데요. 보시면 분명히 우하향 곡선이죠 그리고 이게 말이 되죠 여기서 기울기가 -2가 되는 겁니다 .