그래프를 통해 도함수의 극한식 나타내기

왼쪽 그래프를 이용해서 다음 극한을 구해봅시다 첫 번째 극한은 x가 3으로 갈 때 f(x)－f(3) 을 x－3 으로 나눠야합니다 x＝3일 때는 이 점입니다 여기가 f(3)이고 그 값은 1이 됩니다 이 점의 좌표는 (3, f(3)) 입니다 저 문제는 x가 3으로 다가갈 때 그 x와 이 점 사이의 기울기를 구하라고 요구합니다 3보다 큰 x를 생각해봅시다 (x, f(x))와 (3, f(3)) 사이의 기울기를 구할 때와 같은 식입니다 끝점의 y좌표가 f(x) 이므로 y값의 변화량은 f(x)－f(3) 입니다 이 간격을 의미합니다 그리고 그것을 x값의 변화량으로 나눠야합니다 그 변화량은 x－3 입니다 이 식은 두 점 사이의 기울기를 의미합니다 그 기울기는 이 그림상에서 대략 －2 가 됩니다 반대쪽도 마찬가지입니다 x가 3보다 작아도 기울기는 －2 입니다 어느 방향에서 하든 기울기는 같습니다 극한 식을 보면 x가 양의 방향에서 3으로 갈 수도 있고 음의 방향에서 3으로 갈 수도 있기 때문에 모든 방향에서 기울기가 같다는 것은 중요합니다 어느 방향이든 기울기가 －2가 되는 것입니다 이 문제는 무엇을 묻고 있는지 알아봅시다 여기 f(8)이 있습니다 생각해봅시다 여기는 x＝8이고 이 점의 좌표는 (8, f(8)) 입니다 이 점의 좌표는 (8, f(8)) 입니다 여기 f(8＋h)가 있고 우리는 얼핏하면 8＋h 가 대략 이쯤에 있어서 8보다 클 것이라고 착각할 수 있습니다 하지만 h가 0으로 가는 것은 음의 방향에서 갈 수도 있는것입니다 0보다 작은 것부터 시작해서 0에 가까워지는 것입니다 －1 －0.5 －0.1 －0.0001 와 같은 방법으로 0으로 갈 수도 있습니다 이러면 h는 0에 가까운 음수가 됩니다 그러니까 8＋h 는 그냥 8 근처의 임의의 점입니다 이 점도 가능합니다 x 값은 8＋h 입니다 여기의 y값은 f(8＋h) 입니다 다시 말하지만 이 두 점 사이의 기울기를 구해야합니다 그리고 h가 음의 방향에서 0으로 가는 것입니다 h가 0으로 가게 되면 이 점은 오른쪽으로 이동하게 되고 이 두 점은 서로 붙게 됩니다 그러니까 이 표현은 기울기를 의미하는데 여기선 일정해보입니다 이 간격에서 대략 보면 x가 1만큼 증가할 때 f(x)도 1만큼 증가하므로 기울기는 약 1입니다 만약 h가 양의 방향에서 0으로 다가갔다면 완전히 다른 결과가 나왔을 것입니다 여기에 있는 점들을 봐야 합니다 그렇게 되면 기울기가 무한대의 값을 가지게 될 것입니다