극한을 통한 도함수 예제

f(x)＝ln x 라고 합시다 x＝e 일 때 f(x)의 접선의 기울기를 구하고자 합니다 여기서 x＝e 입니다 (e, 1)이 이 곡선 위에 있습니다 f(e)＝1 입니다 그러니까 ln e＝1 입니다 제가 여기 접선을 그렸습니다 그리고 우리는 접선의 기울기를 알아내거나 표현할 수 있어야 합니다 저는 공식적인 정의와 또다른 정의를 모두 활용해서 기울기를 나타내겠습니다 나중에 둘을 비교할 수 있을 것 같습니다 공식적인 정의를 이용해봅시다 이 정의에 따르면 우리는 임의의 x에서 도함수를 구해야합니다 임의의 x에서 도함수를 구해야합니다 여기가 임의의 x라고 합시다 여기는 (x, f(x))입니다 여기는 x＋h 입니다 이 간격은 h가 됩니다 이 점의 좌표는 (x＋h, f(x＋h)) 입니다 공식적인 정의를 이용해보면 h 가 0으로 갈 때 이 두 점 사이의 기울기를 구해야합니다 h가 0으로 갈 수록 이 파란 점은 x에 가까워집니다 그리고 이 점은 점점 곡선으로 가겠죠 이 선은 갈수록 x에서의 접선과 비슷해질 것입니다 직접 해봅시다 저 선의 기울기는 무엇일까요? y축 상의 변화량 즉 f(x＋h)－f(x) 를 x축 상의 변화량 (x＋h)－x 로 나누면 됩니다 x축 상의 변화량은 h 이므로 그냥 h로 나눠주면 됩니다 우린 h가 0으로 갈 때 이 극한값을 구하고자 합니다 f(x)＝ln x 이면 식이 다음과 같이 됩니다 ln (x＋h) －ln x 를 h로 나눈것입니다 이 식은 f'(x)가 됩니다 x＝e 일 때 구해보려면 이 식에서 보이는 모든 x를 e로 대체하면 됩니다 이것은 도함수를 x에 대한 함수로 나타낸 것입니다 식이 상당히 복잡해 보입니다 극한을 포함한 많은 것들이 있습니다 다른 함수처럼 이 식의 x를 e로 대체합니다 제가 해보겠습니다 제 스크린이 없어졌습니다 다시 가겠습니다 f'(e)는 h가 0으로 갈 때 구분할 수 있도록 다른 색깔로 하겠습니다 ln (e＋h)－ln e 를 h로 나누면 됩니다 h로 나누면 됩니다 이처럼 이 극한값을 실제로 구할 수 있다면 그 값은 x＝e일 때의 접선의 기울기입니다 x＝e일 때의 접선의 기울기입니다 공식적인 정의를 이용해보았습니다 다른 정의를 이용하겠습니다 만약 여러분이 일반적인 도함수의 형태를 사용하지 않고 그냥 특정한 점에서의 기울기만 찾고 싶다면 이 정의를 사용하면 됩니다 이 정의를 사용하면 됩니다 다른 x 값을 생각해봅시다 다른 x값을 생각해봅시다 이 점의 x좌표는 x이고 y 좌표는 f(x) 즉 ln x 입니다 이 두 점 사이의 기울기는 무엇입니까? y축의 변화 ln x －1을 x 축상의 변화량인 x－e 로 나눠주면 됩니다 이것이 이 두 점을 이은 선의 기울기입니다 접선을 얻으려면 어떻게 해야할까요? x가 e일 때의 극한값을 구해보면 될 것 같습니다 x가 점점 가까워지고 이 두 점이 서로 가까워지면 이 두 점을 이은 선은 접선과 비슷해질 것입니다 x가 e로 갈 때 극한값을 구하면 됩니다 이 둘 중 하나를 구하면 됩니다 이것은 공식적인 정의의 극한을 이용하는 것입니다 위에 h 가 여기 들어가지 않게 만들어줍시다 공식적인 정의나 또다른 정의를 이용할 수 있는것입니다