극한을 통한 도함수의 엄밀한 정의

직선의 기울기에 관한 이야기들은 대수 공부를 할 때 먼저 했었습니다 그래도 다시 복습해서 나쁠 건 없죠 축을 몇 개 그려볼게요 이게 y축이고요 f(x)축이라고 부르는 게 나을 수도 있겠네요 y=f(x) x축도 그려볼게요. 이렇게요, 이게 x축이에요 또 직선을 하나 그려봅시다. 직선을 이렇게 그리고요 지금 복습하고 싶은 것은 뭐냐면 이 직선의 기울기는 어떻게 구하는가? 라는 질문입니다 기울기를 구하기 위해서는 먼저 직선 위의 두 점을 잡아야죠 이 점을 먼저 잡읍시다 여기가 x=a인 점이라고 해봐요 그럼 여기는 얼마가 되죠? f(a)가 되겠죠. 여기서 이 함수는 어떤 직선이 될테고요 f(a)가 되겠죠. 여기서 이 함수는 어떤 직선이 될테고요 f(x)=mx+b 라고 쓸 수 있습니다 m이랑 b가 얼마인지는 아직 알 수가 없죠 정리만 조금 하자면요 이게 a고요 여기서 y값은 a에서의 함숫값이 될테니 지금 이 점이 되겠죠 또 직선 위에서 다른 점을 잡아볼까요 여기를 b라고 해봅시다 그럼 이 점의 좌표는 어떻게 되냐면 (b, f(b))가 되겠죠 맞습니까? 그 점은 그냥 b에서의 함숫값을 계산한 점이 되니까요 그 점은 그냥 b에서의 함숫값을 계산한 점이 되니까요 여기에 b를 넣으면 저 점이 나오는거죠 여기 작게 선을 좀 그리면요 여기가 f(b)가 된다는 얘기죠 이 점의 좌표를 좀 확실히 해둡시다 (a, f(a))겠죠 그럼 이 두 점 사이의 기울기는 어떻게 계산합니까? 이 직선의 기울기겠죠 직선의 기울기가 변하지 않고 있으니까요 직선의 기울기가 변하지 않고 있으니까요 또 이 기울기를 계산하면 그 값이 m이 된다는 걸 알죠 그냥 대수를 복습하고 있는 건데요. 그걸 어떻게 계산할까요? 생각할 수 있는 게 몇 가지 있죠 기울기는 세로차/가로차죠 대수를 배우실 때는 아마 그렇게 배우셨을 겁니다 다르게 표현하면 y변화량 나누기 x변화량이 되죠 그러니 이 경우에 y변화량이 얼마고 x변화량이 얼만지 알아봅시다 y변화량은 얼마죠? 이 점을 기준점으로 잡을 수도 있고요 이 점을 기준점으로 잡을 수도 있는데 이게 x값과 y값이 더 크니 이걸 기준점으로 잡고 시작합시다 자, 여기서 여기로 갈 때 y의 변화량을 보면요 이 거리가 되죠 작은 삼각형을 하나 그려봅시다 이 거리가 y변화량이고요 y축의 위치로 옮겨도 상관없죠 이게 y변화량입니다 이게 거리이자 y변화량이에요 거리를 계산하면 얼마죠? f(b)-f(a)죠 즉 f(b)-f(a)와 같습니다 이게 y변화량입니다 x변화량은 얼말까요? 기울기를 계산할 때 y변화량 말고 x변화량도 필요하죠 x변화량은 얼만가요? 이 거리는 얼마죠? 여길 기준점으로 잡고 있다는 걸 기억하세요 즉 이 점의 y좌표에서 다른 점의 y좌표를 뺐죠 일관되게 가야 하니까요 이 점의 x좌표에서 이 점의 x좌표를 빼야겠네요 이 점의 x좌표는 b고요 그러니까 b-a가 되겠군요 이처럼 직선의 방정식을 알든지 두 점의 좌표를 알고 있다면 그냥 그 값들을 대입해서요 기울기를 바로 구할 수가 있겠죠 간단합니다 그냥 중등 대수에서 배운 내용이에요 그냥 한번 더 확실히 하기 위해서 예를 하나 들자면 이 점의 좌표가 (2,3)이라고 하고요 이 점의 좌표가 (5,7)이라고 하면요 이 직선의 기울기를 알고 싶으면 먼저 7-3을 계산하겠죠. y변화량으로요 이 직선의 기울기를 알고 싶으면 먼저 7-3을 계산하겠죠. y변화량으로요 이게 7이고 이게 3일 거고요 그걸 5-2로 나누면 되죠 이게 5고 이게 2일테니까요 즉 그게 x변화량이 되죠 5-2가요 7-4는 4고요. 5-2는 3이죠 즉 기울기는 4/3이 됩니다 그럼 이제 이걸 일반화할 수 있는지 한 번 살펴봅시다 그리고 이게 미적분학으로 들어가면서 새로 배우는 개념이 될 겁니다 이 개념을 곡선에 대해서 확장할 수 있는지 보자구요 곡선이 하나 있다고 합시다 곡선으로 확장하기 전에 곡선이 있어야죠 조금만 아래로 내려서요 비교해서 보시면 더 좋으니까 위에 좀 남겨놓죠 일반적인 경우에 대해 말하는데요 곡선이 하나 있다고 합시다 좀 친숙한 곡선으로 해봅시다 y=x^2의 그래프라고 해볼까요 대충 이렇게 생겼죠 여기서 기울기를 구하고 싶어요 어떤 점에서의 기울기를 구하고 싶다고 해봅시다 아니, 아예 기울기 얘기를 하기 전에요 곡선의 기울기를 구한다는 게 무슨 의미인지 생각을 해봅시다 여기서는 기울기가 항상 일정했죠? 하지만 곡선에서는 기울기가 변합니다 무슨 뜻인지 좀 직관적으로 감이 오게 말씀을 드리면 이 점에서 기울기는 얼만가요? 이 점에서의 기울기는 접선의 기울기가 됩니다 딱 그 점에서 겨우 접하는 직선 말이죠 그게 그 점에서의 기울기입니다 기울기가 음이죠 여기서는 기울기가 역시 음이지만 조금 덜 음수죠 이렇게 가는데요 새로 그린 게 잘 안 보이죠 다른 색으로 해보겠습니다 보라색으로 해볼게요 여기서는 좀 더 0에 가깝죠 하향 곡선인데 낙폭이 좀 덜해요 이제 여기로 가서 보면요, 원점에서 보면 기울기가 사실상 수평이에요 수평선 y=0가 이 점에서 접선이 되기 때문이죠 이제 x가 양인 구간에서 보기 시작하면 기울기가 증가합니다 접선을 그리려고 하는데요 여기선 더 크게 증가하고 있고 계속 더 크게 증가하죠 즉 기울기가 계속해서 변하고 있는 것이고 이게 직선과 곡선의 큰 차이입니다 이게 직선과 곡선의 큰 차이입니다 직선에서는 항상 기울기가 일정하죠 직선 위에서 아무렇게나 두 점을 택하고 y변화량을 x변화량으로 나누기만 하면 직선 전체의 기울기를 구할 수 있어요 y변화량을 x변화량으로 나누기만 하면 직선 전체의 기울기를 구할 수 있어요 하지만 여기서 쉽게 볼 수 있듯이 곡선에선 문제가 좀 더 미묘하죠 어떤 점에서 이야기하냐에 따라 결과가 다르니까요 단순히 곡선의 기울기가 얼마냐? 하고 묻지는 못한다는 거죠 곡선 위의 모든 점에서 기울기가 제각각이니까요 변하는 거죠 이쪽으로 더 올라가면 더 가파르겠죠 거의 이렇게 생겼을 거예요 실험을 조금 해볼까요 결과가 어떻게 나오는지는 알고 있으니까 별 문제는 없습니다만 이것보다 좀 더 잘 그려볼게요 이게 y축이고 이게 x축입니다 y축이라고 불러도 되고 f(x)축이라고 불러도 됩니다 편한대로요 곡선을 다시 그려볼게요 양인 구간에서만 그려보죠 이게 원하는 곡선입니다 이 점에서의 기울기를 구하고 싶으면 어떡하죠? 어떻게 해야 하나요? 기울기를 정의한 바에 따르면 점이 적어도 두 개는 필요한데요? 기울기를 정의한 바에 따르면 점이 적어도 두 개는 필요한데요? 점 하나만 가지고는 기울기를 어떻게 계산할지 몰라요 그러니 그냥 이 점을 뭐라고 부르냐면 x라고 부를게요 일반적으로 갈 건데요 이게 우리의 점 x입니다 하지만 기울기를 구하려면 중등 대수에서 쓰던 정의에 따르면 점이 2개가 필요하죠 그러니 다른 점을 생각합시다 x보다 미세하게 큰 점을 잡아요 그냥 그 점을 저기에 잡았다고 합시다 더 복잡해질 수도 있으니까 더 멀리 있는 점을 잡아보죠 여기 이 점을 잡았다고 해요 이 때 차를 보면 그냥 x보다 h만큼 더 큰 상황이죠 아니면 h만큼 더 크다고 하기 보다요 음, 그냥 h만큼 더 크다고 할게요 즉 이게 x+h죠 그게 정확히 이 점입니다 이제 거기에 해당하는 y좌표는 얼마죠? 곡선 위에서요 이 곡선은 y=f(x)의 그래프니까요 이 점은 우리가 특정한 x에 대해 f(x)가 되겠네요 이 점은 우리가 특정한 x에 대해 f(x)가 되겠네요 x를 고정했다는 걸 명확히 하기 위해서 x에 첨자로 0을 달아볼게요 즉 이게 x0이고 여기가 x0+h가 되죠 (역주: 원래는 아래첨자) 여기가 f(x0)이고요 그럼 여기 위에 있는 이 점은 어떻게 되죠? 여기 이 점이요 여기 y좌표가 얼마되냐면 여기 x좌표의 함숫값인데 좀 이동시킨 이 x좌표 말이죠 여기죠. 이 x의 함숫값이니까 f(x0+h)예요 그게 y좌표죠 즉 이 두 가까운 점들 사이의 기울기가 얼마가 되죠? 즉 이 두 가까운 점들 사이의 기울기가 얼마가 되죠? 이 한 점에서의 기울기를 말하는 게 아니고요 이 한 점에서의 기울기를 말하는 게 아니고요 이 두 점 사이의 직선의 기울기를 말하고 있는 거예요 직선을 직접 그린다고 하면요 이 곡선의 할선이 되겠죠 이 곡선과 두번 교차하겠죠 여기서 한 번 하고 여기서 한 번 하고 잘 안 보이시죠 좀 더 확대해서 보면 대충 이렇게 생겼겠죠 여기가 (x0, f(x0))이고 여기 위에 이 점의 좌표를 보면 x좌표가 x0+h가 되고 y좌표가 f(x0+h)가 되겠죠 x좌표가 x0+h가 되고 y좌표가 f(x0+h)가 되겠죠 이 함수가 뭔지는 몰라도 그냥 x좌표에 따라 함숫값을 계산해줄 뿐이죠 이 함수가 뭔지는 몰라도 그냥 x좌표에 따라 함숫값을 계산해줄 뿐이죠 이게 그 두 점이고요 이 할선의 기울기를 보는 것부터 시작하면 좋겠죠 이 할선의 기울기를 보는 것부터 시작하면 좋겠죠 아까 했던 예시와 마찬가지로 y변화량을 구하고 x변화량으로 나누면 되죠 여기에 그려볼게요 여기가 y변화량이 될 거고요 여기가 x변화량이죠 이 할선의 기울기는 얼마가 될까요? 기울기가 얼마가 되냐면요, 이 위의 점을 기준으로 잡을게요 좌표값이 좀 더 큰 점이니까요 y변화량을 알고 싶죠. 지금 여기서 값을 보면 y좌표를 보면 f(x0+h)가 될 거고요 그냥 여기서 함숫값을 계산한 것뿐이죠 복잡하게 보이긴 하는데 의미는 단순합니다 그냥 좀 더 큰 x에서 y좌표를 계산하고 있는 것뿐이에요 그 x값에서 곡선의 위치가 어디냐는 거죠 즉 y변화량을 계산할 건데 먼저 f(x0+h)하고 이건 그냥 이 점에서의 y좌표죠 거기서 여기 y좌표를 빼면 되죠 f(x0)을 빼면 돼요 즉 이게 y변화량이 됩니다 그걸 x변화량으로 나누면 되겠죠 그건 얼만가요? 여기가 x값이 더 크죠 이 점을 기준으로 잡았으니까 거기서의 x좌표를 먼저 봐야죠 이 점을 기준으로 잡았으니까 거기서의 x좌표를 먼저 봐야죠 x0+h에서 여기 x좌표를 빼면 되죠 그냥 아무 수나 고정했던 건데요 x0이죠 즉 이게 x변화량이 되겠죠 됐습니다 이게 할선의 기울기예요 아직 정확히 저 점에서 기울기가 얼만지는 몰라도 이게 좀 도움이 될 수 있을 거예요 좀 더 간단하게 표현하자면요. 이렇게 적어볼게요 할선의 기울기 그걸 좀 제대로 써보도록 할게요 할선의 기울기는 뭐와 같냐면 이 점에서의 함숫값 즉 f(x0+h)에서 이 점에서의 함숫값 f(x0)을 뺀 것과요 즉 f(x0+h)에서 이 점에서의 함숫값 f(x0)을 뺀 것과요 이게 지금 y변화량이 되는 거죠 지금까지 쓰던 기울기의 정의와 정확히 같은 겁니다 x변화량으로 나누는데요 이걸 좀 더 간단하게 쓸 수 있죠 (x0+h) - x0이라고 써져 있는데요 x0 - x0을 지울 수 있으니까 h로 나누면 되죠 즉 이게 y변화량을 x변화량으로 나눈 값이 되는 거예요 어렵지 않죠 하지만 시작할 때 목표가 뭐였냐면 정확히 이 점에서의 기울기를 구하고 싶었어요 좀 멀리서 보고 있는 셈이죠 어떻게 할까요? 지금 두 번째 점을 어떻게 정의했냐면 첫 번째 점에 그냥 h를 더한 걸로 잡았죠 그리고 극한이라는 유용한 도구가 있잖아요 여기 h는 그냥 일반적인 수예요 10이어도 되고, 2여도 되고, 0.02일 수도 있고, 10의 -100승일 수도 있죠 10이어도 되고, 2여도 되고, 0.02일 수도 있고, 10의 -100승일 수도 있죠 임의로 작은 수여도 된다는 얘기예요 이 때 이론적으로 볼 때 h가 0으로 가는 극한을 취하면 어떻게 되죠? 이 때 이론적으로 볼 때 h가 0으로 가는 극한을 취하면 어떻게 되죠? 처음에 꽤 큰 h로 시작해서 좀 더 h를 줄이면 이 할선의 기울기를 구할 테고요 좀 더 h를 줄이면 이 할선의 기울기를 구할 테고요 h를 좀 더 작게 하면 이 할선의 기울기를 구하겠죠 h를 조금 더 줄인다고 하면 이 할선의 기울기를 구할 거고요 즉 h를 0으로 보내면 원래 보고 싶었던 점에서의 기울기에 점점 가까워 지는 거죠 즉 h를 0으로 보내면 원래 보고 싶었던 점에서의 기울기에 점점 가까워 지는 거죠 물론 h가 큰 수라면 우리의 할선이 정확히 원하는 점에서의 기울기와는 한참 다르게 그려지겠죠 하지만 h가 0.0000001이라면, 무한히 작은 수라면 꽤 가까워진다는 거죠 즉 h가 0으로 가는 극한을 취하면 어떻게 되나요? 즉 h가 0으로 가는 극한을 취하면 어떻게 되나요? h가 0으로 갈 때 할선의 기울기의 극한인데요 녹색으로 써보면요 f(x0+h) - f(x0) 이게 y변화량이었고 그걸 x변화량인 h로 나누는 거죠 한 가지 명확하게 해두고 싶은 점은요 다른 미적분학 책들을 보면 분모에 h 대신 Δx를 쓰기도 합니다 다른 미적분학 책들을 보면 분모에 h 대신 Δx를 쓰기도 합니다 이 두 번째 점이 x0 + Δx로 정의가 되고 이 두 번째 점이 x0 + Δx로 정의가 되고 여기는 Δx로 쓸 수 있을 거고 Δx가 0으로 가는 경우를 보게 되는 거죠 똑같은 거예요 h든 Δx든 상관이 없습니다 그냥 한 점과 좀 더 큰 점의 차를 h로 두는 거고 그냥 한 점과 좀 더 큰 점의 차를 h로 두는 거고 그게 0으로 가는 극한을 생각하는 거예요 Δx로 불러도 전혀 상관이 없습니다 대신 지금 이 값을 뭐라고 부를 거냐면 접선의 기울기를 뭐라고 부를 거냐면 f의 미분이라고 부를 겁니다 접선의 기울기를 뭐라고 부를 거냐면 f의 도함수라고 부를 겁니다 직접 써볼게요 이걸 f'(x)와 같다고 쓰겠습니다 또 다른 함수가 되는 거예요 왜냐면 x에 따라 기울기가 바뀌기 때문이죠 어떤 x값을 고르든 기울기는 달라진다는 거예요 어떤 x값을 고르든 기울기는 달라진다는 거예요 꼭 달라야 하는 건 아니지만 지금 그린 곡선에선 달라지고 있죠 꼭 달라야 하는 건 아니지만 지금 그린 곡선에선 달라지고 있죠 달라질 수 있는 거예요 그러니까 여기서 어떤 x값을 잡으면 여기 이 공식을 적용해서 그 점에서 함수의 기울기를 구할 수가 있어요 여기 이 공식을 적용해서 그 점에서 함수의 기울기를 구할 수가 있어요 지금 시점에서는 이런 내용이 조금 혼란스럽고 추상적으로 느껴질 수 있습니다 지금 시점에서는 이런 내용이 조금 혼란스럽고 추상적으로 느껴질 수 있습니다 다음 강의에서는 기울기를 직접 계산하는 예시를 들어서 다음 강의에서는 기울기를 직접 계산하는 예시를 들어서 좀 더 구체적으로 설명해보겠습니다