선형변환 예제: 스케일 변환과 반사

선형변환에 대해 많이 말했습니다 이 동영상와 다음 몇개의 동영상들에선 본질적으로 어떻게 선형변형을 설계해서 벡터들을 원하는 대로 만들 수 있는지 보여드리겠습니다 선형변환 T는 Rn에서 Rm으로 사상된 걸 압니다. T가 벡터 x에 행하는 것을 또는 Rn에서 Rm으로 사상된 x의 변환을 어떤 m × n 행렬 곱하기 벡터 x 로 표현할 수 있습니다 모든 선형변환은 행렬로 표현할 수 있으며 이 행렬들을 언제나 만들 수 있습니다 단위 벡터 n×n 을 사용해서 표현하면 이렇게 생길 것입니다 1 그리고 n－1 0들이 밑에까지 계속 있습니다 그리고 다음 열은 0,1 그리고 나머지는 0들입니다 본질적으로 대각선으로 내려가면서 다 입니다 n×n 행렬입니다 이것들은 다 0들입니다 이 단위 행렬의 모든 열을 변환할 겁니다 이 열들을 표준기저 Rn이라고 합니다 이 열은 e1, 이 열은 e2 그리고 열이 n개니까 en까지 열이 있습니다 이 모든 열들은 Rn에 원소입니다 왜냐하면 n 행 그리고 n열 행열이기 때문입니다 행렬 A는 이 열들의 변환으로 표현될 수 있습니다 e1의 변환, e2의 변환 그리고 en의 변화까지 그렇게 표현할 수 있습니다 이걸 아는 게 되게 유용합니다 모든 기저벡터들의 변환 연산은 매우 쉽습니다 이들은 해당하는 차원 또는 변수에서 1 또는 0이 전부입니다 자 여기까지는 모두 복습이었습니다 이 정보를 가지고 이제 재미있는 변환을 만들어봅시다 Rn에 속한 집합들이 있다고 합시다 제가 하는 모든 건 R2에 있을 겁니다 하지만 이 동영상에서 배우는 많은 것들은 다른 차원에서도 일반화할 수 있습니다 여기는 R2입니다 당연히 2차원이겠죠 포인트들로 만든 삼각형들이 있다고 합시다. 첫번째 점은 여기 있습니다 포인트 (3,2)입니다 그리고 삼각형의 다음 포인트가 있습니다 이 포인트를 (-3,2)라고 합시다 이걸 분수로 쓰는 게 아니였습니다 잘못했습니다 이건 그냥 좌표 (3, 2)입니다 여기는 포이는 (-3, 2)입니다 이게 그 포인트입니다 (-3, 2) 그럼 재미를 위해 (3, -2) 포인트 또는 위치 벡터가 있다고 합시다 여기 있습니다 이 모든 건 위치 벡터들입니다 그들을 그리겠습니다 이 위치 벡턱 (3, 2)를 표준위치로 그릴 수 있습니다. 이렇게요 (-3,2)도 이렇게 표준위치로 그릴 수 있습니다 그리고 (3, -2)도 이렇게 그릴 수 있습니다 위치 벡터 자체보다 그 위치 벡터들이 구체화하는 위치들이 중요합니다 삼각형을 구성하는 위치 또는 위치벡터의 집합을 연결하면 삼각형을 만들 수 있습니다 이 집합의 변환을 적용하겠습니다 이 삼각형의 꼭짓점들을 변환 시키고 그 점들을 이어주면 됩니다 이전 동영상들에서 그렇게 했었습니다 그럼 여기서 변환을 만들겠습니다 이 정의역에서 뭘하고 싶은지 한번 써보겠습니다 그럼 x축을 중심으로 반사한다고 합시다 아닙니다 그냥 y축을 중심으로 반사한다고 하겠습니다 본진적으로 이 삼각형을 뒤집고 싶습니다 이 방향으로 뒤집고 싶습니다 이걸 뒤집으면 이런 결과가 예상됩니다 그래서 삼각형을 y축을 중심으로 반사합니다 그리고 y 방향으로 삼각형을 2배로 늘리고 싶습니다 그래서 이렇게 뒤집습니다 여기에 그린 것처럼요 그리고 늘릴겁니다 뒤집는 게 첫번째 단계입니다 두번째 단계에서는 삼각형을 늘릴 것입니다 이렇게 생기는 대신 2배로 늘릴 겁니다 이렇게요 x를 늘리지 않고 말입니다 어떻게 그렇게 할까요? 첫번째 단계는 y축을 중심으로 반사합니다 여기 있는 포인트에서 x 좌표 -3를 바꾸고 y 좌표는 그대로 냅두겠습니다 y는 그대로 2입니다 이 두번째 성분을 y 좌표라고 하겠습니다 이것을 x2 좌표라고 할 수도 있지만 그래프를 쓸때 y 좌표가 익숙하니까 이렇게 하겠습니다 이걸 계속 y 좌표라고 하겠습니다 우리가 원하는 건 -3이 3이 되는 것입니다 왜냐하면 우린 이 포인트를 여기로 옮기고 싶으니까요 그리고 여기 있는 3을 -3으로 옮기고 싶습니다 여기 이 x 좌표의 3을 -3으로 옮기고 싶습니다 부호를 바꾸기만 하면 되겠죠? y축에 대한 이 반사는 부호를 뒤집는 것, 즉 x좌표의 부호를 바꾸는 것과 같을 것입니다 그러므로 이 식은 x좌표에 -1을 곱한 것과 같겠네요 x1이라고 쓰도록 하겠습니다 이것이 x1이니까요 그리고 y축을 늘리는 것, 이것은 무엇을 의미하죠? 이 높이가 얼마가 됐던, 다음 단계는 그 높이의 두 배가 되도록 만드는 것이죠 여기 이 좌표는 (3,2)입니다 첫 번째 단계를 먼저 하지 않았다면 (3,4)가 되었을 것입니다 y좌표만을 두 배로 바꾸고 싶은 것입니다 그 다음으로 할 것은, 그냥 y좌표라고 하겠습니다, y좌표에 2를 곱하는 것이죠 지금까지 사용했던 표기법과 약간 다른 방식이지만 이 벡터들을 x1, x2라고 하는 대신, R2에 속하는 벡터라고 하겠습니다 첫 번째 항을 x항, 두 번째 항을 y항이라고 하겠습니다 어쨌든 방식은 같습니다 이 표기로 바꾸는 이유는 이 축을 x1, x2축이라고 부르는 대신 y축이라고 하는 데에 익숙해져있기 때문이죠 그렇다면 이 변환을 어떻게 행할 수 있을까요? 변환과 비슷한 단어로 쓸 수 있어요 벡터 x의 변환을 T라고 정의하겠습니다 이렇게 쓸게요 x와 y의 변환인 T는, x에 -1을 곱하고 싶습니다, 그러므로 x의 부호를 바꾸겠습니다 2 곱하기 y를 하겠습니다 이렇게 변환의 언어로 쓸 수 있습니다 꽤 이해하기 쉽죠? 근데 어떻게 해서 이걸 위한 행렬을 만들 수 있을까요 우리는 R2에 대하여 다루고 있습니다 그래서 R2에 있는 단휘 행렬 1, 0, 0, 1을 써야한다 그럼 모든 단위 행렬의 열에 변환을 적용할 수 있습니다 그럼 첫번째 열을 변환하면 결과가 어떻게 될까요? 우리는 새로운 행렬 A를 만들 겁니다 그리고 그건 1,0 의 변환과 같다고 합시다 그게 새로운 열입니다 이 열은 그냥 변환하겠습니다 두번째 열은 이 열의 변환입니다 이건 0, 1의 변환입니다 이렇게 말입니다 그럼 이건 뭐랑 같을까요? 1,0 변환이랑 같습니다 초록색으로 쓰겠습니다 그래서 A는 뭘까요? x는 1인 1,0 변환은 뭘까요 x항의 마이너스를 해서 -1입니다 2 곱하기 y항을 합니다 2 곱하기 0 은 0 입니다 이제 두번째 항을 구하겠습니다 0항의 마이너스면 그냥 0입니다 그리고 2 곱하기 y항이니까 2 곱하기 1이여서 2입니다 이제 이 변환을 다르게 표현할 수 있습니다 벡터 x, y의 변환은 행렬 곱하기 벡터로 표현할 수 있다 그러므로 이 변환은 -1, 0, 0, 2 곱하기 벡터입니다 그 벡터는 x, y 입니다 그럼 지금 구한 게 맞는지 응용을 해서 검증하겠습니다 먼저 행렬이 맞는지 보겠습니다 이 첫번째 포인트는 이것입니다 이건 -3,2 입니다 이건 -3, 2 여기서 보여드리겠습니다 이건만 볼 수 있습니다 -1, 0, 0, 2 곱하기 -3,2는 뭘까요? 이건 그냥 행렬 벡터곱입니다 -1 곱하기 -3 은 3 더하기 0 곱하기 2 더하기 0 그러므로 3입니다 0 곱하기 -3은 0입니다 더하기 2 곱하기 2 이건 3, 4입니다 그럼 여기 있는 포인트는 이제 포인트 3, 4입니다 이 포인트 말입니다 이제 여기는 있는 포인트 3, 2를 봅시다 변환 행렬 -1, 0, 0, 2 곱하기 3, 2 는 -1 곱하기 3은 -3 더하기 0 곱하기 2입니다 그럼 그냥 -3입니다 그럼 0 곱하기 3은 0 입니다 더하기 2 곱하기 2는 4입니다 0 더하며 이 포인트입니다 그래서 이 포인트느 변환 T를 적용하면 -3, 4입니다 -3, 4 입니다 용어를 자꾸 바꾸고 있네요 전 된다라고 하는 당신은 사상한다라고 해도 됩니다 이 용어는 함수랑 변환을 소개 시켜드릴 때 썻습니다 이 포인트는 R2에 있는 이 포인트로 사상합니다 그럼 마지막으로 이 포인트를 볼게요 이 포인트에다가 우리가 만든 변환 함수를 적용하겠습니다 그럼 -1, 0, 0, 2 곱하기 이 포인트 3, -2 이건 -1 곱하기 3은 -3 0곱하기 -2은 0입니다 이건 그냥 -3가 됩니다 0 곱하기 3은 0입니다 2 곱하기 -2는 -4입니다 -3, 4 으로 정리가 되네요 그러므로 이 포인트는 -3, 4 이 포인트가 됩니다 R2에 있는 집합은 이 점들을 이어줍니다 똑같은 변환을 써서 R3의 집합에 사상해서 점들을 연결하비낟 그건 벌써 봤습니다 동영상 3개 전에서요 이 집합의 상은 이 삼각형입니다 이 삼각형의 포인트들의 집합으로 만들어졌습니다 포인트들은 벡터들로 만들어졌습니다 이 위치 벡터들의 상은 이 포인트들을 지정합니다 지금 그리는 포인트들을 지정합니다 맞게하는지 보겠습니다 이렇게 하면 맞습니다 이 변환은 우리가 원하는 모든 것 했습니다 이 삼각형을 뒤집어서 이 변을 다른 저쪽으로 가게 했습니다 이건 늘렸습니다 y 방향으로 늘렸습니다 2의 배수로 늘렸습니다 처음은 뒤집었고 다음은 2의 배수로 늘렸습니다 항상 기초가 중요합니다 변환을 이렇게 쓸 수 있고 그걸 기저 벡터들에 적용할 수 있습니다 또는 단위 행렬의 열이요 이 변환드의 일반화된 주제는 말그대로 x 또는 y 방향으로 축척하고 작아지거나 팽창합니다 x 또는 y 방향으롱 그리고 x 또는 y 방향으로 뒤집어 그림자를 만들 수 있습니다 이것들은 대각행렬입니다 대각행렬 그럼 이것들이 왜 대각행렬인가요? 왜냐하면 대각선에만 0이 아닌 값들이 있기 때문입니다 이건 2×2 사례입니다 그럼 왜 3×3은 대각선말고 다 0일까요? 이건 잘 알아 들으실 수 있습니다 첫번째 항은 본질적으로 x1항에 하는 것이랑 똑같았습니다 두번째 항은 x2항 또는 y항의 예시입니다 만약 여러 항이 있었다면, 이게 3×3이면 이것 3차원에 했습니다 또 하나의 항이 더 있으면 4차원이된다 그래서 이 생각은 임의의 Rn으로 확대할 수 있다 여하튼 이 비디오의 핵심은 변환을 제작할 수 있는 것입니다 이 동영상에서 배운 것들의 컴퓨터 프로그래밍에서 그래픽 또는 다차원 게임들을 만들때 참 유용할 겁니다