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주요 내용
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R3에서 x축을 중심으로 한 회전

동영상 대본

마지막 동영상에서 R2에 속한 아무 벡터를 회전시키는 변환을 정의했다 이 변환은 그냥 R2에 속한 다른 회전된 벡터를 만든다는 걸 배웠다 이 동영상에서 범위를 넓여 똑같은 것을 R3에서 할거다 회전변환을 정의할 것이다 θ라고 부르겠습니다 이번에는 R3에서 R3로 사상할겁니다 삼차원에서는 특정 각도에 따른 회전은 조금 더 복잡해집니다 x축을 중심으로 회전한다고 가정하죠 x축을 중심으로 회전합니다 이걸 배운면 당신이 다른 축들에도 똑같이 할 수 있습니다 또한 x축을 중심으로 회전하고나서 y축 그리고 나서 z 축을 중심으로 다른 각도에서 회전하고 싶으면 지금 배우는 변환을 계속 응용하면 됩니다 미래 동영상들에서 더 자세히 배울 겁니다 이전 동영상에서 배운 걸 일반화해서 여러 차원에서 적용할 수 있다는 걸 깨달으실 겁니다 이 동영상에서는 3차원에서 회전변환을 적용할 겁니다 우리가 배울 걸 더 쉽게 말쓰드리겠습니다 몇개의 축들을 그리겠습니다 이건 제 x축입니다 이건 제 y축입니다 이건 제 z축입니다 당연히 이 좌표는 R3입니다 여기 있는 R3에 아무 벡터를 시계 반대 방향으로 x축을 중심으로 회전 시키겠습니다 zy 평면에 임의의 벡터를 그리겠습니다 그래야 시각화하기 쉽습니다 zy 평면에 벡터를 가만히 냅두면 계속 거기 있을 겁니다 하지만 반 시계 반향으로 θ의 각도로 회전 시키겠습니다 회전하는 벡터는 좀 더 시각화하기 어려울 겁니다 x 성분이 이렇게 나오고, y 성분도 있고 z 성분도 있는 벡터는 이렇게 생겼습니다 그리고 x 축을 중심으로 회전 시키면 z 그리고 y 성분은 바뀌지만 x 성분은 바뀌지 않습니다 아마 이렇게 생길겁니다 말이 되는지 한번 살펴보겠습니다 벡터를 회전 시키면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 이 벡터는 x 축을 중심으로 회전했습니다 이해하실 거라고 생각합니다 마지막 비디오를 바탕으로 우리는 변환을 만들고 싶습니다 R3를 다루고 있으니 이걸 3회전 θ라고 하겠습니다 우리는 3Rotθ(x)을 행렬로 쓰고 싶습니다 3Rotθ(x)=Ax입니다 이건 R3에서 R3로 변환하는 것이니까 3×3 행렬일 겁니다 이전 동영상에서 이 행렬을 찾으려면 단위 행렬에 변환을 적용해야 한다는 걸 압니다 그럼 R3에 있는 3×3 단위 행렬이 필요합니다 그럼 1,1,1,0,0,0,0,0,0. 이 열들은 R3의 기저 벡터입니다 이건 e1, e2, e3 입니다 이들은 R3의 기저벡터들입니다 이제 R3에 있는 각각의 기저벡터들에 변환을 적용시켜줘야합니다 행렬 A는 3×3 행렬입니다 A 행렬의 첫번재 열은 변환 3Rotθ를 첫번째 열벡터 1, 0, 0 적용합니다 그리고 똑같이 중가 열벡터에도 적용할 것입니다 이제 감이 오시겠죠 3Rotθ를 열벡터 0, 1, 0에 적용할 겁니다 또한 마지막 열벡터 0, 0, 1을 3Rotθ를 적용할 겁니다 이제 이런 건 여러번 봤죠 이제 그냥 응용하겠습니다 이제 R3에 있는 이 기저 벡터들을 회전시켜보겠습니다 x축을 중심으올 회전을 시키겠습니다 첫번째 열을 R3에 그리면 어떻게 생겼을까요? 이 벡턴는 x방향으로만 방향성이 있습니다 이걸 x 차원이라고하면 첫번째 성분은 x차원에 해당하고 두번째 성분은 y차원에서 해당합니다 그리고 세번째 성분은 z차원에 해당합니다 이 벡터는 그냥 이렇게 나오는 단위벡터겠죠? 이 벡터를 x축을 중심으로 회전하면 어떻게 될까요? 아무것도 안됩니다 이것 자체가 x축이므로 x축 중심으로 회전하면 방향성도 바뀌지 않고 크기도 바뀌지 않고 아무것도 바뀌지 않습니다 그래서 이 벡터는 1, 0, 0 입니다 이걸 회전하면 아무 일도 안 일어납니다 이게 좀 더 흥미로워집니다 이걸 보여드리려면 zy축을 그려야합니다 Z를 그려보겠습니다 이건 제 z축이고요. 오른쪽엔 y축입니다 그럼 기저벡터는 y축방향으로 1만큼 갑니다 이 기저 벡터는 이렇게 생겼습니다 이거의 크기는 1입니다 그리고 이걸 x축을 중심으로 회전하면 이렇게 생겼을 겁니다. 먼저 x축이 컴퓨터에서 나온다고 상상하세요 이렇게 나오고 있다고 생각하세요 x축을 각도 없이 그냥 수직으로 컴퓨터에 나오는 그래프를 그렸습니다 자 그럼 아까 파란색으로 만들 벡터를 각도 θ만큼회전을 하면 이렇게 생겼을겁니다 이건 이전 동영상에서 봤었죠 그럼 새로운 좌표가 뭘까요? x 좌표는 바뀌었을까요? 이 벡터는 x 차원으로 안 나오니까 x 좌표는 0이였습니다 zy 평면에만 있어서 회전하기 전에도 0이였습니다 회전한 후도 zy 평며에 있으니 이 벡터의 x 방향 또는 성분은 바뀌지 않습니다 그러므로 x방향은 계속 0입니다 그럼 y의 방향은 어떻게 될까요? 여기에서 우린 이전 동영상에서 한대로 똑같이 합니다 여기 보시는 것 처럼 제가 지목해드리는 길이는 새로운 y 성분이며 이 길이는 새로운 z 성분입니다 그럼 새로운 y 성분은 뭘까요? 이전 동영상에서 했으니 너무 자세히는 말씀 안드리겠습니다. 그럼 cos(θ)는 뭘까요? 이 벡터의 길이는 1입니다. 그렇죠? 이것들은 표준 기저 벡터입니다 이 표준 기저 벡터가 좋은 이유는 그 길이가 1이여서 입니다 cos(θ)는 빗변분의 인접한변입니다 여기서 인접하변은 이것입니다 그럼 빗변은 뭘까요? 그것은 1입니다 인접한변이 이제 새로운 두번째 성분입니다 이 성분은 그럽 cos(θ)겠죠? 그렇겠죠? 1은 무시하고 이게 인접한면 a 이므로 두번째 성분은 cos(θ)입니다 그럼 z 성분은 뭘까요? sin(θ)는 빗변 1분의 반대변입니다 그러므로 z 성분은 반대변이랑 같습니다 그 반대변의 크기는 이 벡터입니다 이 벡터는 회전된 벡터의 z성분입니다 그럼 여기는 sin(θ)입니다 이 z방향만 남았네요 이 z 기저 벡터는 이 그래프에서 어떻게 생겼을까요? 이해하기 더 수월하게 그냥 새로 그리겠습니다 이게 제 z축이고 이게 제 y축입니다 z 기저 벡터 e3은 이렇게 생겼습니다 z 방향으로만 갑니다 먼저 한번 각도 θ로 회전 시켜보겠습니다 이렇게 각도 θ로 회전 시켜보겠습니다 기존 x 성분은 0이였습니다 이건 x방향으로 안 나왔습니다 그냥 zy 평면에 있습니다 그리고 x 방얗으로 안 나갑니다 그래서 회전 후도 0입니다 그럼 새로운 y성분은 뭘까요? 새로운 y 좌표는 이 길이 또는 이 좌표 일 것입니다 어떻게 그걸 아냐고요? 왜냐하면 이 길이는 이 길이와 같습니다 그리고 이걸 각도 θ의 반대변이면 sin(θ)는 벡터길이 1분의 반대변입니다 그럼 이건 반대변이랑 같습니다 그리고 반대변은 sin(θ)입니다 새로운 좌표는 z축의 왼쪽에 있습니다 이건 음수 버전일 겁니다 이건 저 동영상에서도 했습니다 그러므로 이건 -sin(θ)일 겁니다 이 점 또는 좌표입니다 이건 -sin(θ)입니다 그럼 새로운 z 좌표가 뭘까요? 그건 이 길이일 겁니다 이걸 인접한변이라고 하면 cos(θ)는 1분의 인접한변입니다 그러므로 이 인접한변 또는 이 길이는 cos(θ)입니다 그러므로 변환행렬를 구했습니다 끝났습니다 변환 행렬 A는 이것입니다 이 동영상은 새로운 3Rot(θ) 변환에 대한 것입니다 3Rot(θ)에 3은 R3에서 회전을 하니까 그렇게 썼습니다 3xRot(θ)라고 하는 게 더 알아 듣기 쉽겠네요. 왜냐하면 행렬 회전은 x축 중심으로 했기 때문입니다 3Rot(θ)는 여기 있는 행렬입니다 다시 한번 쓰겠습니다 여기 있는 걸 다 지우겠습니다 3Rot(θ)는 아까 찾았던 행렬 곱하기 R3에 있는아무 벡터 x입니다 당신은 제게 이건 저번 비디오랑 비슷하다고 할 수 있습니다. R2에서 회전 정의할 때 변환 행렬은 이와 같이 비슷했습니다 이건 맞는 말입니다 왜냥하면 본질적으로 zy plane에서 시계 반대 방향으로 회전하니까요 이걸 왜 했을까요? R2에서도 보여준 것을 3차원 R3에서 보여줬습니다 이게 왜 유용하죠 x 축으로만 회전하는 건 제한된 경우입니다 이렇게 한 이유는 두가지입니다 첫번째는 R3까지 일반화할 수 있는 걸 보여주고 싶었습니다 또한 3차원 R3에서 하는 많은 횐전들은 먼저 이 동영상에서 했던 것 처럼 x축을 중심으로 회전하고 그런 다음 y축을 중심으로 회전하고 마지막으로 z축을 중심으로 회전하는 것입니다 이 비디오에서 다룬 x축 중심으로 하는 회전은 특별한 경우입니다 하지만 똑같은 방법으로 변환 행렬을 y축 또는 z축 중심으로 회전 시키거나 계속해서 차례대로 하나씩 적용 할 수 있습니다 미래에는 변환을 계속해서 차례대로 적용 시키것입니다 이게 유용했었으면 좋겠네요 R2에서 하던 회전을 R3의 범위로 넓인 것입니다