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행렬 벡터적으로 직선에 정사영 나타내기

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이전 강의에서 합벡터의 스칼라배가 정의하는 선을 확인했습니다 한번 써보겠습니다 스칼라배들은 당연히 실수입니다 변환를 대해서 깊이 다루지는 않았지만 변환을 정의하기는 했죠 선 L에 대한 투영을 변환으로 정의했습니다 이전 강의에서 R2에 있는 변환으로 그렸습니다만 Rn에서 Rn으로의 변환이 될 수 있겠죠 x를 L에 투영시킨 값은 다음과 같다고 정의했습니다 x와 이 벡터의 내적 x와 이 벡터의 내적을 벡터 자신과의 내적값으로 나눈 것 이 값에 선을 정의하는 벡터를 곱한 것과 같습니다 이것이 우리의 정의였죠 이 식을 처음 보고 떠오르는 몇 가지가 있을거에요 벡터를 자기 자신과 내적하면 무엇과 같죠? 임의의 벡터를 그 자신과 내적하면 벡터 길이를 제곱한 것과 같죠 x∙v를 ||v||²로 나누고 v를 곱한 것으로 다시 쓸 수 있습니다 v의 길이가 1이면 좋겠죠 v의 길이는 1입니다 v의 길이가 1이라는 것은 v가 단위벡터라는 뜻입니다 투영에 대한 우리의 식은 다음과 같이 간단히 정리되겠네요 x∙v에, 이것은 어떠한 스칼라값이 될 것입니다, v를 곱한 것으로 쓸 수 있습니다 이것이 단위벡터인지 어떻게 아느냐고 질문할 수 있겠네요 이렇게 하도록 하겠습니다 이전 강의에서 그렸을 때 임의의 선을 그렸죠, 이렇게요 이 선은 벡터 v를 정의할 수 있습니다 선에 임의의 벡터가 정의될 수 있죠 벡터 v는 이렇게 정의될 수 있습니다 단위벡터가 아닌 벡터 v가 주어졌다고 해봅시다 v의 길이가 1이 아니라고 가정해보죠 이것을 단위벡터를 이용해서 어떻게 정의할 수 있죠? v를 정규화시키면 됩니다 단위벡터를 이렇게 정의할 수 있겠네요 단위벡터를 이렇게 정의할 수 있겠네요 u라는 단위벡터로 정의하겠습니다 이것은 1을 v의 길이, ||v||²와 같겠네요 단위벡터에 대한 강의에서 이미 보여드렸습니다 임의의 벡터에 대해서, 벡터를 벡터의 길이로 나누거나, 혹은 벡터의 길이 분의 1을 곱함으로써 같은 방향의 단위 벡터를 항상 구할 수 있습니다 일반적으로 우리는 항상 선을 재정의할 수 있습니다 v의 가능한 모든 스칼라배는 v의 스칼라배인 단위벡터 u의 모든 스칼라배와 같을 것입니다 선을 재정의 할 수 있어요 선 L을 단위벡터의 모든 가능한 스칼라배로 재정의해보면, 여기서 스칼라는 실수의 임의의 원소입니다 투영에 관한 정의는 조금 정리될 수 있을 것입니다 x를 L에 투영시킨 것은 x와 단위벡터의 내적에 단위벡터를 곱한 것과 같겠네요 이전 강의에서 이 두 벡터를 다루었던 경우를 다시 생각해봅시다 벡터 v가 선을 정의한다고 했었죠 벡터 [2; 1]와 벡터 x [2; 3]이었던 것 같네요 이 정의를 가능케하려면 먼저 벡터를 단위벡터로 바꿔야합니다 길이를 알아야 단위벡터로 바꿀 수 있겠죠 이 경우 v의 길이는 무엇이죠? 2²+1² 이 값의 제곱근을 구하면 되죠 써볼게요 2²+1²의 제곱근은 제곱근 5입니다 단위벡터는, 그러므로 제곱근 5 분의 1을 여기에 곱한 것이 되겠습니다 [2; 1]에 제곱근 5 분의 1을 곱한 것이요 직접 곱해도 되고, 곱하지 않아도 돼요 이 형태로 남겨두어도 괜찮습니다 임의의 벡터 v에 대해서, 0이 아닌 벡터이기만 한다면, 같은 방향의 단위벡터를 항상 구할 수 있습니다 이러한 식을 다른 정의로 항상 정리할 수 있죠 이렇게 벡터 v의 단위벡터를 이용해서 정리할 수 있습니다 이것은 Rn에서 Rn으로의 변환이라고 했죠 확실하게 알지 못하는 것은 이것이 선형변환인지의 유무입니다 이렇게 항상 쓸 수 있어요 이것이 선형변환인지 확인해봅시다 선형변환이려면 두 가지 조건을 만족해야하죠 두 벡터를 L에 투영하면 어떻게 될지 봅시다 벡터 a와 벡터 v를 더해봅시다 벡터 a와 벡터 v를 더해봅시다 이것이 선형변환이라면 각각을 투영하고 더한 것과 같을 것입니다 과연 그런지 봅시다 단위벡터의 정의에 의해서 이것은, 이렇게 하는 것이 더 간단하니까 정의를 사용하도록 할게요 이것은 a+b를 u와 내적한 것에 단위벡터를 곱한 것과 같죠 내적에는 분배법칙이 작용하므로 이것은 a∙u+b∙u와 같을 것입니다 u는 단위벡터이지요 이것을 다시 한번 벡터 u와 곱한 것이 되겠네요 이 값들은 스칼라입니다 그러므로 스칼라곱에도 분배법칙이 작용하지요 (a∙u)u라고 쓸 수 있겠네요 이 값은 스칼라라는 것을 잊지마세요 (a∙u)u+(b∙u)u 이것은 무엇과 같을까요? 이 부분은 a의 투영과 같네요 정의에 의하면, a를 L로 투영한 것과 같습니다 이 정의에 의해서요 이 선에 관해, 단위벡터의 정의에 대하여 다룬다고 가정해봅시다 이 부분은 벡터 b를 L에 투영한 것과 같습니다 그러므로 선형변환의 첫 번째 조건을 만족시킨다고 볼 수 있겠네요 벡터의 합의 투영이 벡터의 투영의 합과 같습니다 두 번째 조건은 스칼라배의 투영이 투영의 스칼라배와 같아야 한다는 점입니다 써볼게요 임의의 벡터 a의 스칼라배를 L에 투영한 것은 뭘까요? ca와 단위벡터 u의 내적과 같습니다 이것은 더 직관적입니다 이것은 스칼라배이죠 내적의 규칙에 따라서 이것은 c(a∙u)u와 같습니다 이것은 c에 a를 L에 투영한 것을 곱한 것과 같습니다 선형변환의 두 가지 조건을 모두 만족했네요 이제 우리는 Rn의 선 L에 대한 투영은 선형변환임을 압니다 이 말은 곧 행렬 변환으로 표현할 수 있다는 뜻이 되겠네요 x를 L에 투영한 것의 정의는 재정의될 수 있죠 재정의한다고 뭐가 바뀌진 않아요 x와 선을 정의하는 단위벡터의 내적으로 바꿔쓰겠습니다 단위벡터라는 표기를 잊지마세요 이것에 단위벡터를 곱해야 벡터를 얻을 수 있겠죠 이것을 어떻게 행렬의 곱으로 바꿔쓸 수 있을까요? 어떠한 행렬의 곱에 x를 곱한 것으로 바꿔 써봅시다 좀 더 쉽게 접근하기 위해, 어차피 행렬 하나를 다루는 것이므로 2차원의 제한을 둡시다 L에 대한 투영이 R2에서 R2로 가는 사상이라고 가정해보겠습니다 임의의 차원이라고 가정해도 말이 됩니다 2차원에서 다룬다고 가정할 때, 행렬 A는 2×2의 행렬이 되겠네요 지난 몇 개의 강의들에서 행렬 A는 일반형 기저벡터를 열로 가지는 단위행렬이라고 했습니다 다음과 같이 쓸 수 있습니다 그리고 나서 각 열에 변환을 적용합니다 A는 다음과 같겠죠 첫 번째 열은 이것을 L에 투영한 것과 같을 것입니다 여기 주황색으로 쓸게요 이 부분이 어떻게 되죠? 이 부분에 u를 내적한 것이 되겠죠 u도 써보도록 할게요 단위벡터 u를 [u1; u2]라고 가정해봅시다 이렇게요 이 부분과 단위벡터를 내적해야합니다 한 번 써보겠습니다 옆쪽에 써볼게요 먼저 구하고 싶은 것은 L에 관한 투영, 이렇게 써보도록 하겠습니다 투영이 이것과 이것의 내적에 이 벡터를 곱한 것과 같다는 것을 알고있죠 이걸 써볼게요 벡터 [1; 0]∙[u1; u2] 이렇게 되겠죠 여기에 단위벡터를 곱해야합니다 이렇게 쓸게요, ([1; 0]∙[u1; u2])[u1; u2] 이것이 바로 변환 행렬의 첫 번째 열이 되겠네요 두 번째 열도 비슷하게 구해볼 수 있는데요, 아직 이것의 투영을 구할 수 없습니다 투영의 정의는 이것을 단위벡터와 내적하는 것이었죠 내적을 해봅시다 [0; 1]∙[u1; u2] [0; 1]∙[u1; u2] 여기에 단위벡터도 곱하여 ([0; 1]∙[u1; u2])[u1; u2] 매우 복잡해 보이지만, 변환 행렬을 계산할 때 간단하게 정리될 거에요 한 번 해봅시다 이 둘을 내적하면 뭐가 되죠? 여기에 쓰겠습니다 행렬 A는 1×u2+0×u2와 같겠죠 이것은 그냥 u1입니다 이 둘을 내적하면 이 부분이 u1으로 정리되고 여기에 [u1; u2]를 곱한 것이 첫 번째 열이 되겠네요 두 번째 열은, 이 둘을 내적하면 0×u1+1×u2 그러므로 u2에 단위벡터 [u1; u2]를 곱한 것과 같겠네요 곱해보면 뭐가 나오죠? 열 별로 쓸 수 있습니다 u1에 u1을 곱하면 u1² u1 곱하기 u2 는 u1u2 u2 곱하기 u1은 u2u1 u2 곱하기 u2는 u2²이 되겠죠 임의의 단위벡터가 주어질 때 그 벡터로 정의된 선에 대하여 다른 벡터를 투영하는 변환을 구할 수 있습니다 길고 복잡한 표현이죠? 하던 것으로 돌아가봅시다 임의의 선 혹은 벡터에 프로젝트한 투영을 구한다고 합시다 지난 강의에서 다뤘던 예시를 다시 해보도록 하죠 다음과 같은 벡터 v가 있어요 벡터 v는 [2; 1]이라고 했었죠 이것이 벡터 v입니다 v에 의해 정의된 선에 프로젝트된 변환은 어떻게 찾을 수 있을까요? 이 선에 프로젝트된 변환이요 이 선은 v라고 정의했습니다 먼저 할 수 있는 것은 v를 단위벡터로 바꾸는 것입니다 v를 같은 방향의 단위벡터로 바꿀 수 있습니다 단위벡터 u가 되겠네요 이 위에 이미 했었죠 근본적으로 벡터 v를 길이로 나눈 것과 같다고 했습니다 v를 그 길이로 나누어보도록 하죠 단위벡터는, 제곱근 5 분의 1에 벡터 v를 곱한 것과 같습니다 다음과 같이 쓸 수 있죠 단위벡터로부터 시작하여, 이 행렬을 만들고 나면 변환행렬도 구할 수 있습니다 이것이 u라면 행렬은 어떻게 될까요? 이것이 u입니다 그렇다면 행렬은 u1²가 되겠네요 u1²는 무엇이죠? u를 다시 써봅시다 이 선을 정의하는 단위벡터 u는 제곱근 5분의 2 제곱근 5분의 1 이렇게 쓸 수 있습니다 방금 이 스칼라값을 곱한 것입니다 이 행렬 A를 만들려면 u1²를 하면 되겠죠 이것을 제곱하면 뭐가 되죠? 2의 제곱을 제곱근 5의 제곱으로 나눈 것, 4 나누기 5 4 나누기 5가 되겠죠 u1에 u2를 곱한 것은 뭐가 되죠? 2 곱하기 1 나누기 (제곱근 5)²이므로 2/5가 되겠네요 방금 이 둘을 곱했습니다 u2 곱하기 u1는 뭐죠? 같은 값이겠죠 곱할 때는 순서가 중요하지 않습니다 그러므로 2/5가 되겠습니다 u2²은 뭘까요? 1² 나누기 (제곱근 5)²이므로 1/5가 되겠네요 이제 우리는, 행렬을 만드는 데 있어서 좋은 점은, 투영이, 이것이 원점이고 다른 벡터 x가 있다고 해봅시다 이제 우리는 변환을 정의할 수 있습니다 L에 대한 투영, 여기서 L은 단위벡터 u의 임의의 스칼라배입니다 이렇게 쓸 수 있겠죠 c는 실수의 원소입니다 이렇게 L이라는 선을 정의할 수 있습니다 임의의 벡터 x를 L에 투영한 것은 이 행렬과 같습니다 다음의 행렬에 x를 곱한 것과 같겠죠 꽤 간단히 정리되었죠? 다시 한번 행렬의 곱으로 모든 것을 정리했네요 x를 이 행렬과 곱하면, 이 선 L에 투영을 얻을 수 있습니다 이 벡터, a라고 할게요, a를 이 행렬과 곱하면 투영을 얻을 수 있습니다 선 위의 투영이요 이 벡터를, 원점을 지나가도록 다시 그리겠습니다, 표준적인 위치에 그리고 싶어요 이 벡터를, 이 행렬과 곱하면 여기 이 선에 포함되어 있는 이 벡터를 얻을 것입니다 여기서 빼게 되면, 직교합니다 직교의 정의는 이미 알고 있죠 마치 이 벡터의 그림자와 같은 것입니다 아무튼 꽤 깔끔히 정리된 것 같네요